Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1r4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью

,)=

      3. Плоскость  , на которой существует базис, в котором скалярное произведение принимает вид: .

Например, плоскостью является плоскость Для векторов этой 3-плоскости , _.

Получим:  

Поскольку каждая 3-плоскость ортогональна некоторой  прямой, то существует только 3 типа 3-плоскостей.

     Определение 1.3. Ортогональным дополнением к векторному пространству L̹R₄ называется векторное пространство, образованное всеми векторами, ортогональными к пространству L.

     Пример. Найдем множество векторов, ортогональных  к вектору . Если вектор ортогонален , то . Отсюда, =. Таким образом, ортогональным дополнением к вектору является множество векторов . Эти векторы определяют 3-плоскость которое является 3- 
плоскостью вида ¹R₃. Следовательно, R₁^¹R₃. Это означает, что к прямой R₁ ортогональной является 3-плоскость типа¹R₃. Верно и обратное.

     Аналогично  найдем множество векторов ортогональных к вектору. Если вектор ортогонален , то . Отсюда, =. Множество векторов, ортогональных вектору , имеет вид и определяет 3-плоскость которое является 3-плосткостью вида R₃. Следовательно, ¹R₁^R₃. Это означает, что к прямой ¹R₃ ортогональной является 3-плоскость типа R₃. Верно и обратное.

     Рассмотрим  вектор () и найдем множество векторов ортогональных к данному вектору. Если вектор ортогонален (), то .

     Получаем, что =.

     Отсюда, , а — произвольные. - это множество векторов, ортогональных вектору () и определяет 3-плоскость которое является 3-плосткостью вида . Значит, ^ . Это означает, что к прямой ортогональной является 3-плоскость типа . Верно и обратное.

     Заметим, что  Ì .

     Найдем  множество векторов, ортогональных  к векторам . Если вектор ортогонален _, то Отсюда, Û Таким образом, ортогональным дополнением к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которая является 2-плосткостью вида ¹R₂. Следовательно, R₂ ^¹R₂ (к двумерной плоскости R₂ ортогональной является плоскость вида ¹R₂).

     Найдем  множество векторов, ортогональных  к векторам . Если вектор ортогонален , то Отсюда, Û

     Таким образом, ортогональным дополнением  к векторам является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которое является 2-плосткостью вида R₂, Следовательно, R₂ ^¹R₂ (к двумерной плоскости R₂ ортогональной является плоскость вида ¹R₂). Верно и обратное.

      Найдем множество векторов, ортогональных  к векторам 
Если    вектор ортогонален  
, то

Отсюда, Û 
ÛÛ

      Таким образом, ортогональным дополнением к  векторам  
является множество векторов . Эти векторы определяют 2-плоскость которая является 2-плосткостью вида . Следовательно, ^ . 
 
 
 
 
 
 

 

      Таким образом, получена теорема.

      Теорема 1.1. В пространстве ¹R₄ существуют следующие типы прямых, плоскостей и 3-плоскостей:

      - прямые: R_1, ¹R₁, .

      - 2-плоскости: R_2, ¹R₂, .

      - 3-плоскости: R_3, ¹R₃, .

 

§2. Кривые в  пространстве ¹R₄ 

     В пространстве ¹R₄ выберем базис , где 
Точка MιR_4, имеющая в репере R координаты ( ): M( )_R.

     Определение 2.1. Кривой в пространстве ¹R₄ называется множество точек этого пространства, координаты которых задаются уравнениями:

                             (6)

      Или в векторном виде .       (7)

      Определение 2.2. Функция, имеющая непрерывные производные до k-го порядка включительно на отрезке [a,b], называется k раз дифференцируемой функцией на этом отрезке.

      Определение 2.3. Кривая g называется дифференцируемой класса С^k, если функции (6), задающие параметрические уравнения, являются k раз дифференцируемыми функциями.

      Пусть кривая g является кривой класса C³. Рассмотрим на дифференцируемой кривой g вектора:

        .

      Определение 2.4. Точка M, принадлежащая кривой g, называется неособой, если в этой точке вектора , линейно независимы. В противном случае точка M кривой g называется особой.

     Определение 2.5. Прямая называется касательной к кривой в точке M, 2-плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой g, 3-плоскость называется соприкасающейся 3-плоскостью кривой g в точке M. 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Очевидно, ÌÌ.

      Теорема 2.1. Кривая g имеет в каждой точке касательную и притом единственную.

      Если  r=r(t) - векторное уравнение кривой, то касательная в точке Р, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора r'(t).

      Теорема 2.2. Кривая g имеет в каждой точке соприкасающуюся плоскость. При этом соприкасающаяся плоскость либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную к кривой, является соприкасающейся.

      Если  r=r(t) – уравнение кривой g, то соприкасающаяся плоскость в точке, соответствующей значению параметра t, параллельна векторам r'(t) и r''(t).

      Теорема 2.3. Задание касательной, соприкасающейся плоскости и соприкасающейся 3-плоскости корректно, т.е. не зависит от параметризации кривой.

      Для доказательства достаточно перейти  к новому параметру и сравнить направляющие вектора.

      

     

       
 
 

     Определение 2.5. Соприкасающийся флаг – это совокупность, состоящая из точки кривой, касательной к кривой в этой точке, соприкасающейся  
2-плоскости к кривой в этой точке и соприкасающейся 3-плоскости к кривой в этой точке. [M, ], M ÌÌÌ.

     Соприкасающийся флаг может быть следующих видов.

     1⁰. {M, R₁, R₂, R₃}. Например,

     2⁰. {M, R₁, ¹R₂, ¹R₃}. Например,

     3⁰. {M, R₁, , ¹R₃}. Например,

     4⁰. {M, R₁, , }. Например,

     5⁰. {M, ¹R₁, ¹R₂, ¹R₃}. Например,

     6⁰. {M, , , ¹R₃}. Например,

     7⁰. {M, , , }. Например,

     8⁰. {M, R₁, R₂, ¹R₃}. Например,

     9⁰. {M, R₁, R₂, }. Например,

     10⁰. {M, , ¹R₂, ¹R₃}. Например,

     Более подробно в своей дипломной работе я рассмотрю кривые, имеющие соприкасающийся флаг вида 2⁰.

     Рассмотрим  кривую g с соприкасающимся флагом 2⁰.

     Построим  в произвольной точке M кривой g канонический репер  
{M, e₁, e₂, e₃, e₄}.

     Введем  на кривой g естественную параметризацию s следующим образом:

                 (8)

     Теорема 2.4. Для кривой g: , заданной в естественной параметризации, получим  (9)

     Доказательство.

     .

     Из (8) следует . Значит,  и, следовательно,  
, . (10)

     Дифференцируем  равенство (10):  
Отсюда,

     Ч.т.д.

     Вектор  направлен по касательной в точке М: . Вектор выберем в соприкасающейся плоскости перпендикулярно :

Условие перпендикулярности к в соприкасающейся плоскости: 
 
Отсюда: . 
 

     Вектор  выберем в соприкасающейся 3-плоскости перпендикулярно векторам и .

           (11)

     Найти и можно используя  условия ортогональности: 

     Подставив и в формулу (8) получим вектор .

     Вектор  выберем в ¹R₄ перпендикулярно ,,.

     В нашем случае векторы ,, - векторы действительной длины, а вектор - вектор мнимой длины.

     Пусть кривая g задана в естественной параметризации. Вектора ,, , канонического репера будут заданы тоже с помощью параметра s.

     Рассмотрим  векторы ,, . Эти векторы можно будет разложить по базису ,, :

      (12)

     Теорема 2.5. Производная вектора постоянной длины перпендикулярна этому вектору.

     Доказательство.

     Пусть

     Þ

     Ч.т.д.

     Из  теоремы 2.5. следует, что .

     Домножим  первое уравнение (12) скалярно на . Получим . Аналогично, . (13)

     Домножим  первое уравнение (12) скалярно на , второе на , затем сложим их. (,)+(,)=+. Выражение =0.

     Отсюда, = .

     Аналогично, =, =, =, =,=.

Выберем , . При этом имеет мнимую длину.  
Тогда   (14)