Декартова система координат

Декартова система координат

Декартову систему координат вперше запропонував відомий французький математик Рене Декарт близько 1637 р. у праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору «Міркування про метод».

Зміст            1 Двовимірна система координат 2 Тривимірна та n-вимірна система координат 3 Орієнтація осей 4 Додаткова інформація 5 Дивіться також

 Двовимірна система  координат

Точка P має координати (5,2).

Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис), вертикальна як y (вісь ординат. В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z. Всі точки в системі Декартових координат, складають так званий Декартовий простір.

Точка перетину, де осі зустрічаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі  координат задається двома числами, які визначають відстань від осі  Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y). В тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від  загального правила найменування невідомих  величин другою половиною латинського  алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих  величин.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Перетин двох осей створює  чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації  квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординаті — позитивні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати в кожному квадранті, можна звести в наступну таблицю:

Квадрант	x	y
I	> 0	> 0
II	< 0	> 0
III	< 0	< 0
IV	> 0	< 0

Тривимірна та n-вимірна  система координат

На цьому малюнку точка P має координати (5,0,2), а точка Q — координати (-5,-5,10)

Координати в тривимірному просторі формують трійку (x, y, z).

Координати x, y, z для тривимірної  Декартової системи можна розуміти як відстані від точки до відповідних  площин: yz, xz, та xy.

Тривимірна Декартова  система координат є дуже популярною, тому що відповідає звичним уявам  про просторові виміри — висоту, ширину та довжину (тобто три виміри). Але залежно від галузі застосування та особливостей матиматичного апарату, сенс цих трьох осей може бути зовсім іншим.

Системи координат вищих  розмірностей також застосовуються (наприклад, 4-вимірна система для  зображення простору-часу в спеціальній теорії відносності).

Система декартових координат  у абстрактному n-вимірному просторі є узагальненням викладених вище положень та має n осей (по кожній на вимір), що є взаємоперпендикулярні. Відповідно, положення точки в такому просторі буде визначатися кортежем з n координат, або n-кою.

 Орієнтація осей

 

 

 

Ліва орієнтація — зліва, права орієнтація — справа.

В тривимірних Декартових координатах є неоднозначність: як тільки напрями осей x та у обрано, вісь z може буте направлена як в одну сторону від xy-площини, так і в  іншу. Це потребує спеціального визначення поняття орієнтації системи координат. Для тривимірної системи ці дві  можливості орієнтації осей прийнято називати «лівою» та «правою». Вони зображені на наступному малюнку.

Загальноприйнятою вважається «права» орієнтація, хоча ліва теж  застосовується.

 Додаткова інформація

З часів Декарта було розроблено багато інших систем координат. Один з важливих різновидів полярної систему координат, а саме сферичну систему координат застосовують в астрономії та навігації. В математиці нерідко переходять від однієї системи координат до іншої, в якій математична модель досліджуваної системи може бути набагато простішою. Доступний виклад основних систем координат в елементарній математиці можна знайти у статті Системи координат в елементарній математиці.

Історія

Поняття кута та радіуса  були відомі ще в першому тисячолітті  до н. е. Грецький астроном Гіппарх (190—120 рр. до н. е.) створив таблицю, в якій для різних кутів наводились довжини хорд. Існують свідчення про застосування ним полярних координат для визначення положення небесних тіл.^[2] Архімед в своєму творі Спіралі, описує спіраль Архімеда, функцію, радіус якої залежить від кута. Роботи грецьких дослідників, однак, не розвинулись у цілісне визначення системи координат.

В 9-тому столітті перський математик Хабас аль-Хасіб аль-Марвазі застосовував методи картографічних проекцій та сферичної тригонометрії для перетворення полярних координат в іншу систему координат з центром в певній точці на сфері, в цьому випадку, для визначення Кібли — напряму на Мекку.^[3] Перський географ Абу Райхан Біруні (973—1048) висунув ідеї, що виглядають як описання полярної системи координат.^[4] Він був першим, хто, приблизно в 1025 році, описав полярну екві-азимутальну еквідистанційну проекцію небесної сфери.^[5]

Існують різні версії щодо запровадження полярних координат  в якості формальної системи координат. Повну історію виникнення та дослідження  описано в праці професора  з Гарварду Джуліан Лоувел Кулідж Походження полярних координат.^[6] Ґреґуар де Сен-Венсан та Бонавентура Кавальєрі незалежно один від одного прийшли до схожої концепції в середині 17-го століття. Сен-Венсан описав полярну систему в особистих нотатках у 1625 році, надрукувавши свої праці в 1647, а Кавальєрі надрукував свої праці в 1635 році, й виправлену версію в 1653 році. Кавельєрі застосовував полярні координати для обчислення площі, обмеженої спіраллю Архімеда. Блез Паскаль згодом використав полярні координати для обчислення довжин параболічних дуг.

В книзі Методі Флукцій (написаний 1671, надрукованій у 1736), сер Ісаак Ньютон досліджував перетворення між полярними координатами, які він позначав як «Сьомий спосіб; Для спіралей» (англ. Seventh Manner; For Spirals), та дев'ятьма іншими системами координат.^[7] В статті, опублікованій в 1691 році в журналі Acta Eruditorum, Якоб Бернуллі використав систему з точкою на прямій, які він назвав полюсом та полярною віссю, відповідно. Координати задавались як відстань від полюса та кут від полярної осі. Робота Бернуллі була присвячена проблемі знаходження радіусу кривини кривих, визначених в цій системі координат.

Запровадження терміну полярні координати приписують Ґреґоріо Фонтана. У 18-му столітті він входив до лексикону італійських авторів. В англійську мову термін потрапив через переклад трактату Сильвестра Лакруа Диференціальне та інтегральне числення, виконаного в 1816 році Джорджем Пікоком.^[8][9] Для тривимірного простору полярні координати вперше запропонував Алексі Клеро, а Леонард Ейлер був першим, хто розробив відповідну систему.^[6]

 Графічне представлення

Точка в полярній системі координат.

Кожна точка в  полярній системі координат може бути визначена двома полярними  координатами, що зазвичай мають назву r (радіальна координата) та φ (кутова координата, полярний кут, азимут, інколи пишуть θ або t). Координата r відповідає відстані до полюса, а координата φ дорівнює куту в протигодинниковому напрямі від променя через 0° (інколи називається полярною віссю).^[1]

Наприклад, точка  з координатами (3, 60°) виглядатиме  на графіку як точка на промені, який лежить під кутом 60° до полярної вісі, на відстані 3 одиниць від полюсу. Точка з координатами (−3, 240°) буде намальована на тому ж місці, оскільки від'ємна відстань зображається в додатну  в протилежному напрямі (на 180°).

Однією з важливих особливостей полярної системи координат  є те, що одна й та сама точка може бути представлена нескінченною кількістю  способів. Це відбувається тому, що для  визначення азимута точки потрібно повернути полярну вісь таким  чином, щоб він вказував на точку. Але напрям на точку не зміниться, якщо здійснити довільне число додаткових повних обертів. В загальному випадку  точка (r, φ) може бути представлена у вигляді (r, φ ± n×360°) або (−r, φ ± (2n + 1)180°), де n — довільне ціле число.^[10]

Для позначення полюсу використовують координати (0, φ). Незалежно від координати φ точка з нульовою відстанню від полюса завжди знаходитиметься на ньому.^[11] Для отримання однозначних координат точки, зазвичай слід обмежити значення відстані до невід'ємених значень r ≥ 0 а кут φ до інтервалу [0, 360°) або (−180°, 180°] (в радіанах [0, 2π) або (−π, π]).^[12]

Кути в полярних координатах задаються або в  градусах, або в радіанах, при цьому 2π rad = 360°. Вибір, зазвичай, залежить від області застосування. В навігації традиційно використовують градуси, в той час як у деяких розділах фізики, та майже у всіх розділах математики використовують радіани.^[13]

Зв'язок між декартовими та полярними координатами

Пару полярних координат r та φ можна перевести в Декартові координати x та y шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса:

в той час як дві Декартові координати x та y можуть бути переведені в полярну координату r:

(за теоремою Піфагора).

Для визначення кутової  координати φ, слід взяти до уваги  два наступні міркування:

• Для r = 0, φ може бути довільним дійсним числом.
• Для r ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π].

Для обчислення φ  в інтервалі [0, 2π), можна скористатись такими рівняннями ( позначає обернену функцію до тангенсу):

Для обчислення φ  в інтервалі (−π, π], можна скористатись такими рівняннями:^[14]

Зважаючи на те, що для обчислення полярного кута не досить знати відношення y до x, а  ще й додатково знаки одного з  цих чисел, багато сучасних мов програмування мають серед своїх функцій окрім фукнції atan, яка визначає арктангенс числа, ще й додаткову функцію atan2, яка має окремі аргументи для чисельника та знаменника. В мовах програмування що підтримують необов'язкові аргументи (наприклад, у Common Lisp), функція atan може отримувати значення координати x.

 Рівняння кривих у полярних координатах

Завдяки радіальній природі полярної системи координат, деякі криві можуть бути досить просто описані полярним рівнянням, тоді як рівняння в декартовій системі координат  були б набагато складнішими. Серед  найвідоміших кривих можна назвати полярну розу, спіраль Архімеда, лемніскату, равлик Паскаля та кардіоїду.

Коло

Коло задане рівнянням r(φ) = 1

Загальне рівняння кола з центром в (r₀,θ) та радіусом a має вигляд:

Це рівняння може бути спрощене для окремих випадків, наприклад

є рівнянням, що визначає коло з центром в полюсі та радіусом a.^[15]

 Пряма

Радіальні прямі (ті, що проходять через полюс) визначаються рівнянням

,

де θ — кут, на який пряма відхиляється від полярної осі; тобто, θ = arctg m де m — нахил прямої в Декартовій системі координат. Нерадіальна пряма, що перпендикулярно перетинає радіальну пряму φ = θ в точці (r₀, θ) визначається рівнянням

Полярна роза

Полярна роза задана рівнянням r(φ) = 2 sin 4φ.

Полярна роза — відома математична крива, схожа на квітку з пелюстками. Вона може бути визначена простим рівнянням в полярних координатах:

для довільної сталої θ₀ (включно з 0). Якщо k — ціле число, то це рівняння визначатиме розу з k пелюстками для непарних k, або з 2k пелюстками для парних k. Якщо k — раціональне, але не ціле, графік заданий рівнянням утворить фігуру подібну до рози, але пелюстки будуть перекриватись. Рози з 2, 6, 10, 14 і т. д. пелюстками цим рівнянням визначити неможливо. Змінна a визначає довжину пелюсток.

 

Спіраль Архімеда

Одна з гілок спіралі  Архімеда що задається рівнянням r(φ) = φ для 0 < θ < 6π

Відома спіраль Архімеда названа на честь її винахідника, давногрецького математика Архімеда. Цю спіраль можна визначити за допомогою простого полярного рівняння:

Зміни параметру a призводять до повороту спіралі, а параметру b — відстані між витками, яка є константою для конкретної спіралі. Спріаль Архімеда має дві гілки, одну для φ > 0 а іншу для φ < 0. Дві гілки плавно сполучаються в полюсі. Дзеркальне відображення однієї гілки відносно прямої що проходить через кут 90°/270° дасть іншу гілку. Ця крива цікава тим, що була описана в математичній літературі однією з перших, після конічного перетину, й найкраще серед інших визначається саме полярним рівнянням.

 

 

Тривимірне розширення

Полярна система  координат поширюється в третій вимір двома системами: циліндричною та сферичною, обидві містять двовимірну полярну систему координат як підмножину. По суті, циліндрична система  розширює полярну додаванням ще однієї координати відстані, а сферична — ще однієї кутової координати.