Цилиндр под действием внутреннего давления

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования 

«Московский государственный  технический университет  имени Н.Э. Баумана»

(МГТУ  им. Н.Э.Баумана)

________________________________________________________________________ 

Факультет

«ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ  НАУКИ»

Кафедра

«ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА» 

 

Курсовой  проект по дисциплине

«Математическое моделирование механики

  сплошных сред» 
 

Цилиндр под действием внутреннего давления 
 
 

ИСПОЛНИТЕЛЬ

студентка гр. ФН2-71                                     ________________  / Запевалова А. Е    / 
 

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ                         ________________  /   Котович А. В.       / 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва 2010

 

Содержание 

1. Задание на курсовой проект………………………………………….3 стр.
2. Теоретическая часть…………………………………………….…….4 стр.
1. Основные уравнения…………………………………………….….4 стр.
2. Краевые условия…………………………………….………….…..5 стр.
3. Анизотропная термовязкоупругая среда  Кельфина-Фойгта…….6 стр.
4. Термовязкоупругая сплошная среда  Максвелла………………....7 стр.
3. Практическая часть…………………………………………………....8 стр.
1. Краевые условия…………………………………………………….8 стр.
2. Вязкоупругая сплошная среда Максвелла………………..…….….9 стр.
3. Анизотропная термовязкоупругая среда  Кельфина-Фойгта…….12 стр.
4. Выводы…………………………………………………………………15 стр.
5. Список литературы……………………………………………………16 стр.
 

      Задание на курсовой проект 

      Полый несжимаемый цилиндр из изотропного  стандартного линейного материала  нагружен внутренним давлением  , где время, , , Внутренний радиус цилиндра , наружный ; наружная поверхность цилиндра жестко закреплена.

      Определить  зависимость компонентов тензора  напряжений от координат и времени  в условиях плоской деформации и  осевой симметрии. Динамические эффекты  не учитывать. Использовать модели Кельвина-Фойгта и Максвелла. 
 
 
 
 
 
 
 

 

Теоретическая часть 

Данная задача актуальна т. к. может использоваться при решении задач о, например, нефтепроводных или водопроводных трубах, находящихся под землей или в другом жестком закреплении, где определенная модель среды будет выбираться в зависимости от наиболее существенных факторов. 

1.1 Основные уравнения 

При условиях сформулированных в этой задаче зависимость радиальной компоненты перемещения от радиальной координаты находятся непосредственно  из условия несжимаемости. После того как распределение перемещений становится известным, задача сводится к виду, в котором она имеет только одну независимую переменную – время.

Рассуждая вышеизложенным способом, запишем условие несжимаемости  в виде 
 

 – радиальная  компонента перемещения в цилиндрических  координатах .

Пренебрегая действием  динамических эффектов запишим уравнение  движения в циклических координат 
 
 

Связь между  деформациями и перемещением в цилиндрических координатах: 
 
 
 

 

1.2 Краевые условия 

Цилиндр имеет  жестко закрепленную конструкцию, т. е. перемещение отсутствует на правой границе в цилиндрической системе  координат. Т. о. имеем краевое условие 
 
 

На цилиндр  действует внутреннее давление, т. е. на левой границе в цилиндрической системе координат будет выполняться  условие   
 
 

Получаем систему: 

 
                     

 

1.3 Анизотропная термовязкоупругая  среда  Кельфина-Фойгта 

Анизотропная  термовязкоупругая среда  Кельфина-Фойгта задается соотношением 
 
 

где – компоненты тензора коэффициентов упругости, - компоненты тензора коэффициентов вязкости с и коэффициентами, аналогичными константам Ламе, а – компоненты тензора скоростей.

В условиях плоской  деформации и осевой симметрии имеем 
 
 
 

Пренебрегая тепловыми  эффектами и учитывая уравнения  и получаем термовязкоупругую среду Кельфина-Фойгта для условий плоской деформации и осевой симметрии в виде 
 
 

 

1.4 Термовязкоупругая  сплошная среда   Максвелла 

Термовязкоупругая сплошная среда  Максвелла  определяется соотношением 
 
 

где , где – символ Кронекера, а и   - определяющие константы. 

В условиях плоской  деформации и осевой симметрии имеем 
 
 
 

Пренебрегая тепловыми  эффектами и с учетом уравнений и получаем термовязкоупругую сплошную среду Максвелла для условий плоской деформации и осевой симметрии примет вид 
 

 

Практическая часть 

2.1 Краевые условия 

Решение уравнения несжимаемости имеет простой вид: 
 
 

где – функция времени, которую необходимо определить.

Учитывая краевое  условие 

Тогда система  уравнений примет вид 
 

 
Применив преобразовние Лапласа  и, учитывая вид функции внутреннего  давления 
 
 

Так  же, тогда  учитывая , и получаем для цилиндрических координат 
 
 
 
 

 

2.2 Вязкоупругая сплошная среда Максвелла

Из соотношения  для термовязкоупругой сплошной среды  Максвелла для условий плоской деформации и осевой симметрии, перейдем в цилиндрические координаты, учитывая уравнения и , получим соотношения 
 
 
 

Учитывая гидростатическое напряжение , получаем уравнения 
 
 
 
 

Применим преобразования Лапласа 
 
 
 
 

Подставим их в  уравнение движения  
 
 
 
 
 
 

Т. е. производная  равняется 0, откуда следует, что .

Используя второе уравнение из системы краевых  условий (15),получаем: 
 
 
 

Используя первое уравнение из системы краевых  условий (15),получаем: 
 
 

 

Выражаем  

 
 

Подставим уравнение  в систему (21): 
 
 
 
 
 
 
 

Используя обратное преобразование Лапласа, получаем конечные зависимости для вязкоупругой сплошной среды Максвелла: 
 
 
 
 

Геометрическая  интерпретация решения (рис.1, рис.2, рис.3), для

Рис.1. Зависимость от  

Рис.2. Зависимость от  

Рис.3. Зависимость от

 

2.3 Анизотропная термовязкоупругая среда  Кельфина-Фойгта

Из соотношения  для анизотропной термовязкоупругой среды  Кельфина-Фойгта для условий плоской деформации и осевой симметрии, перейдем в цилиндрические координаты, учитывая уравнения и , получим соотношения: 
 
 
 

Учитывая гидростатическое напряжение , получаем уравнения 
 
 
 
 

Применим преобразования Лапласа к системе  
 
 
 
 
 

Подставим их в  уравнение движения  
 
 
 

Т. е. производная  равняется 0, откуда следует, что .

Используя второе уравнение из системы краевых  условий (15),получаем: 

 
 
 
                   

Используя обратное преобразование Лапласа, получаем конечные зависимости для анизотропной термовязкоупругой среды  Кельфина-Фойгта: 
 
 
 

Геометрическая  интерпретация решения (рис.4, рис.5, рис.6), для

Рис.4. Зависимость от  

Рис.5. Зависимость от  

Рис.6. Зависимость от  
 

 

Выводы 
 

      В данной курсовой работе была рассмотрена  модель жестко закрепленного цилиндра, под действием внутреннего давления, определена для неё зависимость компонентов тензора напряжений от координат и времени в условиях плоской деформации и осевой симметрии. Использовались модели Кельвина-Фойгта и Максвелла.

      По  результатам вычисления можно заключить, что для различных моделей, полученные зависимости компонент напряжения отличаются, только вдоль цилиндрической оси .

 

      

Список  Литературы 

1. Кристенсен  Р. Введение в теорию вязкоупругости: Пер. с англ. – М., 1974. – 338 с.
2. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н. Математические модели термомеханики. – М.: Физматлит, 2002. – 168 с.