Численные методы

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по  дисциплине «Численные методы»

 

 

 

Вариант № 39

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент Ермилин  М.В.

Группа ФБИ-91

Факультет Бизнеса

Шифр 090309304

 

Преподаватель: Соболева О.Н.

Дата сдачи 

Дата защиты

 

 

 

 

 

Новосибирск, 2012

 

Курсовое  задание

 

Вариант 39

Задание 1. Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение. Определите число верных знаков.

 

Задание   2.   Выясните погрешность   задания  исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами

1.

 

a=0.2456±0.0005; b=0.00078±0.00003; c=0.008±0.004

 

2.m=4 a=0.2456; b=0.00078; c=0.008

Если трансцендентные  функции (sin,ln и т.п.) вычисляются с помощью

библиотек компьютерных средств (Pascal, Delphi, MatLab и пр.) или

калькулятора, погрешность метода можно пренебречь (но не погрешностью

исходных  данных или округления).

 

Задание 3

 

Исследование  метода Холецкого для нахождения собственных значений для

произвольной самосопряженной матрицы.

 

Для вычислений подберите тесты  с известными собственными значениями. Погрешность нужно оценивать по любой норме разности между точными и вычисленными значениями. Симметричные матрицы подбирать разного вида: хорошо и плохо обусловленные, разной размерности, плотные и разреженные.

 

Задание 1.

 

a=0.2456±0.0005; b=0.00078±0.00003; c=0.008±0.004

 

- точное значение

- приближенное значение

-абсолютная погрешность

- относительная погрешность

 

 

Операции

	2*0.00203583=0.00407166	0.00407*0.2456^2=2.456*
	0.04253	2.00115*
	0.16667	0.03333
	0.2092	4.92133*
	3*	22.99766*
	0.20923	4.92588*
	7.99898*	0.49996
	0.70919	2.6713*

Воспользуемся универсальными оценками:

 

 

 

Предельная  абсолютная погрешность:

 

 

m - число верных знаков

n – старший разряд приближенного значения

 

 

Задание 2.

m=4 a=0.2456; b=0.00078; c=0.008

 

f(a,b,c)=

Пологаем верными 4 цифры, тогда

 

Относительная погрешность 

Абсолютная  погрешность **

 

Принцип равных вливаний

a*

b*

 

 

a* b*+

Допустимая  погрешность данных

 

 

 

 

Задание 3

Исследование  метода Холецкого для нахождения собственных значений для

произвольной самосопряженной матрицы.

 

Для вычислений подберите тесты  с известными собственными значениями. Погрешность нужно оценивать  по любой норме разности между  точными и вычисленными значениями. Симметричные матрицы подбирать  разного вида: хорошо и плохо обусловленные, разной размерности, плотные и разреженные.

 

Пусть А-симметричная, положительная матрица. Тогда она представима в видеA=L где:

,

Элементы  матрицы L можно вычислить, начиная с верхнего левого угла по формулам:

 

 

Выражение под  корнем всегда >0, если А-действительная положительная матрица.

Существует  обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если А-положительно-определенная эрмитовая матрица, то существует разложение, где L-нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а L*-эрмитово-сопряженная к ней матрица.

 

Для комплекснозначных эрмитовых матриц используются формулы:

 

 

 

Нахождение собственные значений в MATLAB

Функция holec реализует разложение Холецкого.

 

Пример:

Действительная  матрица

Комплекснозначная матрица

 

 

Головная  программа. Функция для нохождения собственных значений методом Холецкого.

Cond(A)-проверка кондиции А

Diag(B)-вывод диагонали матрицы В

Eig(A)-вывод реальных собственных значений А

Norm(eig(A)-diag(B))-вычисление разности собственных значений матрицы А, вычисленных с помощью стандартной функции eig и нашей программой

 

Пример:

По степени  обусловленности

Число обусловленности 2-хорошо обусловленная матрица

Точность  вычисления 8.2963*

 

Число обусловленности 11.53-плохо обусловленная матрица

Точность  вычислений – 613.519

Вывод: Метод  хорошо себя проявляет на хорошо обусловленных  матрицах.

 

По размерности

Точность  вычислений – 7.6533*

Вывод: С  увеличением размерности, точность вычислений увеличивается.

 

Плотная матрица

Точность  вычислений 178.6

 

Разреженая матрица

Точность  вычислений – 16.55

Вывод: точность вычислений по методы Холечкого разреженых матриц выше, чем плотных.