Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная  работа № 

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 

Дана линейная система уравнений:

                    (1)

Необходимо найти  решение системы уравнений (1). 

Метод итераций. 

Предположим, что  в система уравнений (1) диагональные коэффициенты , тогда систему (1) можно представить в приведенном виде

                 (2)

где    .

Введем следующие  обозначения

и перепишем  систему (2) в виде одного матричного уравнения

                       (3)

Найдем последовательные приближения (итерации) следующим образом. В качестве начального приближения возьмем вектор и подставим его в правую часть уравнения (3); получим первое приближение . Продолжая аналогичные вычисления придем к векторной последовательности приближений:

                    (4)

Последовательность  будет сходиться к решению , если для матрицы выполняется одно из неравенств

                    (5)

Условие, позволяющее  принять приближение в качестве решения с точностью , можно представить следующей формулой

.                        (6) 
 

Метод Зейделя. 

Отличие метода Зейделя от простой итерации состоит в том, что как только неизвестная найдена, она используется на этой же итерации для вычисления оставшихся неизвестных. 

Пусть дана приведенная система уравнений (3). Выберем начальное приближение  . Полагая, что k-е приближение найдено, построим согласно методу Зейделя -е приближение по формулам

                        (7) 

Достаточные условия сходимости для метода Зейделя  те же самые, что и для метода простых  итераций. 
 
 

 

Найти решения систем линейных алгебраических уравнений  методом итераций и методом Зейделя с точностью =0,0001.

 

Решение уравнений средствами программы Excel. 

Задача. Найти решение уравнения .

Отметим, что у полинома третьей степени  имеется не более трех вещественных корней. для нахождения корней их предварительно нужно локализовать. С этой целью необходимо построить график функции или ее протабулировать. Например, протабулируем наш полином на отрезке с шагом 0,2.

 

Из рисунка  видно, что полином меняет знак на интервалах: , и . Это означает. что на каждом из них имеется корень данного уравнения. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, значит, мы локализовали все его корни.

Найдем  корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды  Сервис®Подбор параметра.

В качестве начальных значений приближений  к корням можно взять любые  точки из отрезков локализации корней. Возьмем. например, их средние точки: -0,9; 0,3 и 0,7 и введем их в диапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введем формулу

=C2^3-0,01*C2^2-0,7044*C2+0,139104.

С помощью  маркера автозаполнения заполним этой формулой диапазон ячеек D2:D4. Таким образом, в ячейках D2:D4 вычисляются значения полинома при значениях аргумента, введенного в ячейки С2:С4, соответственно.

Выберем команду Сервис®Подбор параметра и заполним диалоговое окно Подбор параметра следующим образом. В поле Установить в ячейке укажем D2. В поле Значение вводим 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значение ячейки введем С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку. отведенную под переменную).

После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещает в ячейку С2. В данном случае оно равно -0,920340812. Два оставшихся корня находят аналогично в ячейках С3 и С4. Они равны 0,210213539 и 0,720718302.  

Найти все корни уравнения 

 

Найти один корень уравнения.