Численное решение краевых задач математической физики методом сеток

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

(национальный исследовательский  университет)»

 

 

 

Факультет информатики

 

Кафедра технической кибернетики

 

 

Расчётно-пояснительная  записка к курсовому проекту

по  дисциплине «Численные методы»

 

 

Тема: «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДОМ СЕТОК»

 

 

 

 

 

 

Вариант № 27

 

 

Выполнил студент      Абдулвалиев А.А.

 

Группа 6409       

 

Руководитель работы     Дегтярев А.А.

 

 

 

2 0 1 2 

Задание

Осуществить математическую постановку краевой задачи для  физического процесса, описанного в предложенном варианте курсового проекта.

Осуществить построение сеточной схемы, приближающей полученную краевую  задачу. При этом следует согласовать  с преподавателем тип сеточной схемы.

Провести аналитическое  исследование схемы: показать, что схема  аппроксимирует исходную краевую задачу, и найти порядки аппроксимации  относительно шагов дискретизации; исследовать устойчивость схемы  и сходимость сеточного решения  к решению исходной задачи математической физики.

Разработать (описать) алгоритм численного решения сеточной краевой  задачи.

Разработать компьютерную программу, реализующую созданный алгоритм, с интерфейсом, обеспечивающим следующие  возможности: диалоговый режим ввода  физических, геометрических и сеточных параметров задачи; графическую визуализацию численного решения задачи; возможность  сравнения решений, полученных альтернативными  методами; исследование методической погрешности.

Используя разработанную  компьютерную программу провести исследование погрешности сеточного решения  методом вычислительного эксперимента. Исследования провести на тестовом примере, согласованном с преподавателем. Дать сравнительный анализ результатов  исследований, полученных альтернативными  методами.

Оформить пояснительную  записку к курсовой работе в соответствии с требованиями, предъявляемыми к  учебным текстовым документам (СТО  СГАУ 02068410-004-2007, Общие требования к  учебным текстовым документам. – Самара, СГАУ, 2007).

 

 

Вариант 27

В тонком однородном стержне  длиной и сечением происходит тепловой процесс на временном промежутке . Боковая поверхность стержня теплоизолированная, теплоизолированными также являются и концы стержня. В начальный момент времени температура стержня описывалась функцией . Коэффициенты теплопроводности и объемной теплоемкости материала стержня равны и соответственно.

Для численного решения использовать конечно-разностную схему Кранка-Николсона.

Значения параметров:

 

 

Реферат

Пояснительная записка: 25 с., 7 рисунков, 4 источника.

 

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, ТЕПЛОВОЙ ПРОЦЕСС, АППРОКСИМАЦИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЙ СХЕМОЙ, РАЗНОСТНАЯ СХЕМА КРАНКА-НИКОЛСОНА, АППРОКСИМАЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ, СХОДИМОСТЬ, СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ.

 

Основным объектом исследования данного курсового проекта являются сеточные методы решения краевых  задач математической физики.

Целью данной работы является создание компьютерной программы  для расчета изменения температуры  в тонком однородном стержне.

Для решения поставленной задачи строится разностная схема Кранка-Николсона. Для схемы найден порядок аппроксимации, показана условная устойчивость и выполнение необходимого признака Неймана. Для реализации разностной схемы спроектирован программный модуль, позволяющий получить результаты заданными параметрами построения сетки. Проведена работа по исследованию качества полученного решения с помощью вычислительного эксперимента: сопоставление аналитического и сеточного решений, исследование скорости сходимости.

Программа написана на Java: 1.6.0_26, использовалась виртуальная машина Java HotSpot(TM) Client VM 20.1-b02.

 

Содержание

Задание 2

Реферат 4

Содержание 5

Введение 6

1 Постановка краевой задачи 7

2 Построение разностной схемы Кранка-Николсона 8

3 Аппроксимация 11

4 Устойчивость 13

5 Необходимый признак Неймана 15

6 Моделирование процесса на компьютере с помощью разностной схемы 16

7 Экспериментальное исследование скорости сходимости 19

Заключение 24

Список использованных источников 25

Приложение 26

 

 

Введение

Спектр краевых задач  математической физики, для которых  возможно получить аналитическое решение, довольно узкий. Одним из подходов, в рамках которого можно получить решение гораздо более широкого множества краевых задач математической физики, является метод конечных разностей. Этот метод позволяет осуществить построение разностных схем, в данной работе будет использована схема Кранка-Николсона.

Для решения краевой задачи сначала строится разностная схема  методом замены производных разностными  отношениями. Далее проводится исследование схемы, а именно исследование порядков аппроксимации численного решения  на регулярной сетке, а также исследование устойчивости решения, удовлетворения признаку устойчивости Неймана.

На основе полученной разностной схемы разработана программа, и  в данной работе будут приведены  некоторые полученные результаты в  сравнении с аналитическим решением той же задачи. Наконец, будет рассмотрен вычислительный эксперимент по определению порядков сходимости численного решения к аналитическому.

 

1 Постановка краевой задачи

Уравнение теплопроводности [1] для стержня при отсутствии бокового теплообмена имеет вид  .

Отсутствие теплообмена  на концах стержня выражается в виде условий:

Добавляя к этим краевым  условиям начальное условие  , получим задачу математической физики:

(1)

Введем обозначения:

 – линейный оператор, действующий  на функцию  . Результат действия оператора на пусть имеет вид:

.

Также рассмотрим вектор правых частей уравнений:

.

Если соблюдены ограничения  на переменные из системы (1), то краевая задача (1) представима в виде:

,

2 Построение  разностной схемы Кранка-Николсона

Определим равномерную сетку  как множество узлов  :

, где

Сеточная область  является аналогом области , для которой в разделе 1 поставлена краевая задача. На сеточной области определены сеточные функции, образующие пространство сеточных функций .

Построение схемы Кранка-Николсона  будем производить заменой производных, входящих в состав уравнения (1), разностными отношениями [2]. В эти разностные отношения входят значения функции в узлах шаблона неявной конечно-разностной схемы, приведенного на рисунке 1:

Рисунок 1 – Шаблон схемы Кранка-Николсона

(

- основные узлы;  - вспомогательный узел)

 

Обозначим значение функции  в узле :

.

Рассмотрим наряду с основными  узлами шаблона вспомогательный  узел , обозначенный крестом на рисунке 1. Значение функции нем обозначим:

.

Выразим производные, входящие в состав системы (1), через разностные производные, получим приближенные равенства:

,  (2.1)

,   (2.2)

.  (2.3)

Запишем первое уравнение системы (1) для узла и :

,       (2.4)

     (2.5).

Далее подставим (2.1) и (2.2) в (2.4); также подставим (2.1) и (2.3) в (2.5), увеличив в уравнении (2.1) индекс на единицу. Получим следующую систему:

 (2.6)  

 

где - значение решения во вспомогательном узле.

Для производной  на границах используем разностную аппроксимацию производной первого порядка (соответственно левую для правой границы и правую для левой границы):

Теперь если умножить каждое из уравнений (2.6) на число 0,5 и сложить, а также дописать начальное и граничные условия, то получим схему Кранка-Николсона для нашей задачи:

  (2.7)

где .

Эта схема является неявной  и для расчёта решения мы используем метод прогонки.

Введем обозначения:

 – линейный оператор, действующий  на сеточную функцию  , , значения которой в узлах с соответствующими номерами равны . Результат действия оператора на пусть имеет вид:

.

Также рассмотрим вектор –  одноиндексную сеточную функцию:

,        .

Тогда схема (2.7) представима в виде:

. 

3 Аппроксимация

Рассмотрим общий вид краевой задачи относительно функции :

Здесь - линейный оператор, а – составной функциональный объект.

Для решения этой задачи мы используем ее сеточный аналог:

Сеточное решение аппроксимирует исходную задачу, если где - дискретный аналог функции [3]. Покажем, что сеточная задача аппроксимирует исходную и найдем порядки аппроксимации. Для этого рассмотрим невязку, которая возникает при замене сеточного решения дискретным аналогом непрерывного решения

 

где

Сначала рассмотрим Разложим каждое слагаемое в выражении невязки в окрестностях некоторой точки Для простоты введем обозначение Также обозначим как Будем действовать поэтапно. Выпишем отдельно

_{Теперь  найдем разложение в  ряд первого слагаемого:}

Во втором слагаемом нам  понадобится 

Теперь мы можем найти  разложение выражения

Получим разложение числителя  второго слагаемого:

_{И выражение  числителя первого  слагаемого:}

_{Окончательно, используя ранее  полученные промежуточные  результаты, узнаем порядок локальной  аппроксимации первого  сеточного уравнения:}

_{Как видно  из локальной аппроксимации  первого разностного  уравнения в точке} всилу произвольности выбора индексов

Проделаем аналогичный путь для :

Как видим, второе разностное уравнение аппроксимирует второе уравнение  задачи (1) со сколь угодно высоким порядком.

Рассмотрим далее :

Локальный порядок аппроксимации:

Аналогично :

Локальный порядок аппроксимации:

В целом для всей системы  уравнений можно сказать, что  схема аппроксимирует исходную задачу, и погрешность аппроксимации схемы .

4 Устойчивость

Чтобы разностная схема была устойчивой, в первую очередь необходимо существование решения и притом единственного, также необходимо выполнение следующего условия:

где - возмущение правой части (погрешность схемы, неточность модели, вычислительная погрешность) [3].

Учитывая то, что наша схема  линейна, задачу нахождения отклика  на возмущение можно записать следующим  образом:

  (4.1)

Определим нормы в пространствах  и таким образом:

где и - возмущения правой части и .

Пусть , перепишем уравнение (4.1):

Далее предположим, что  и воспользуемся неравенством треугольника:

_{Раз уж записанное выше равенство  справедливо, то и  подавно справедливо  будет}

Заметим, что правая часть  неравенства не зависит от коэффициента , а значит, справедлива для всех значений коэффициента, и тогда, попутно приведя подобные слагаемые, запишем:

Нам интересно, ограничена ли норма  относительно возмущения правой части, для того чтобы это узнать, рассмотрим последнее уравнение при различных значениях

_…

Учтем, что , и получим

Итак, мы доказали, что схема  устойчива при выполнении условия  .

5 Необходимый  признак Неймана

Необходимый признак Неймана для разностных задач определяет необходимое условие устойчивости схемы. Таким образом, если он не выполняется, то схема не является устойчивой [4].

Теорема звучит так: для устойчивости разностной схемы (2.7) необходимо, чтобы существовали такие постоянные и , что для любых сеток мелкостью   и для любых значений параметра было справедливо неравенство .

Собственные числа  оператора будем искать, сделав замену , и сделав в нашей схеме (без граничных условий) замену

где -мнимая единица.

Первое уравнение системы  с учетом замены примет вид

Найдем выражение для  собственного числа 

Заметим, что  , кроме того , значит

_{Что говорит  нам о выполнении условия устойчивости Неймана.}

6 Моделирование процесса на компьютере с помощью разностной схемы

Получено соотношение, которое позволяет реализовать разностную схему программно:

 

Из начальных условий нам известны значения функции на временном слое , а также соотношения на граничных слоях и Этого достаточно, чтобы определить значения функции во всех узлах на всех временных слоях.

Для получения значений функции  на каждом временном слое будем решать систему линейных уравнений , где матрицы и вектора имеют следующий вид

 

        

где

Для решения будем использовать метод прогонки, обладающий асимптотической сложностью O(n). Код программы, использовавшейся для моделирования процесса, приведен в приложении.

Ниже приведем некоторые результаты на графиках, отображающих решение, полученное разностным методом и аналитическим методом решения.