Численное моделирование осесимметричных процессов теплопроводности

 

Рассмотрим систему уравнений

 

 

   ,         (14)

 

 

Такая алгебраическая задача возникает при отыскании периодического, , решения системы трехчленных уравнений     при условии

   

 

Относительно коэффициентов  системы будем предполагать, что   (15)

Приведем получающиеся формулы  решения задачи (14) – формулы циклической  прогонки:

 

 

  (17)

 

,   

 

 

 

Метод циклической прогонки является устойчивым, так как решения  задач (17) ищутся методом прогонки, который устойчив при выполнении условий (15), а знаменатель в выражении для не обращается в нуль. Действительно, из (15), (16) видно, что . .   Предполагая , получаем

 

.  (19)

 

Учитывая (17) и (19), находим . Из всего сказанного следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

Тестовая  задача

Количество шагов по осям x и y

по t

_шаг

отрезки времени

_{коэффиценты}

 

 

 

 

 

 

 

Заданная функция

_{нижняя граница}

_{передняя граница}

_{задняя граница}

_{левая граница}

_{правая граница}

Заданное решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2

Циклическая прогонка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиографический список

 

1. Волков Е.А. Численные  методы. М. Наука. 1987. 
2. Самарский А.А. Теория разностных схем М. Наука. 1989. 
3. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. Наука. 1978.

4. Калиткин Н.Н. Численные  методы. М. Наука. 1978.

5. Амосов А.А., Дубинский  Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные  методы для инженеров. М. МЭИ. 2003.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

Введение 3

Постановка задачи в прямоугольных декартовых координатах 5

Дискретизация задачи. Простейшие разностные схемы 6

Метод переменных направлений 7

Cтационарное уравнение в осесимметричном случае 10

Разностные схемы для стационарного уравнения

в осесимметричном случае 12

Оценка точности разностной схемы для осесимметричного случая 15

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

в полярных координатах 21

Циклическая прогонка 22

Приложение 1. Тестовая задача 24

Приложение 2. Циклическая прогонка 28

Библиографический список 29