Алгебра матриц

       Функции, предназначенные для работы с  задачами линейной алгебры, собраны  в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается кнопкой  на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаны позже. 

Транспонирование

        Транспортированием называют операцию, переводящую матрицу размерности mxn в матрицу размерности n x m, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Пример приведен в листинге на рис.2. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Matrix (Матрица) или нажатием клавиш <Ctrl>+<1>. He забывайте, что для вставки символа транспонирования матрица должна находиться между линиями ввода. Напоминание о линиях ввода по отношению к матрицам приведено ранее. 

Сложение

        В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+> или <-> соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых (пример на рис.3).

        Кроме сложения матриц, MathCAD поддерживает операцию сложения матрицы со скалярной величиной, т.е. числом (пример на рис.4). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.

         Результат смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом  (пример на рис.5). 

Умножение

       При умножении следует помнить, что  матрицу размерности m x n допустимо умножать только на матрицу размерности n x p (р может быть любым). В результате получается матрица размерности m х р.

       Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или  воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение) (рис.1). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в примере на рис 6. Символ умножения матриц

   можно выбирать точно так же, как и в скалярных  выражениях.

        Обратите  внимание, что попытка перемножить  матрицы A и B несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе MathCad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение, появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы числу столбцов второй матрицы.

        Еще один пример, относящийся к умножению вектора  на матрицу-строку и, наоборот, строки на вектор, приведен на рис. 7. Во второй строке этого примера показано, как  выглядит формула при выборе отображения  оператора умножения No Space (Вместе). Однако тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому.

        Аналогично  сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы  на скалярную величину (пример на рис.8). Символ умножения вводится так же, как и в случае умножения двух матриц. На скаляр можно умножать любую матрицу размера m x n.  

Определитель  квадратной матрицы

       Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (рис. 1) или набрать на клавиатуре <|> (нажав клавиши <Shift>+<\>). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определить уже введенной матрицы, нужно выполнить следующие действия:

1. Переместить курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (напоминаем, что линии ввода — это вертикальный и горизон-тальный отрезки синего цвета, образующие уголок, указывающий на текущую область редактирования).
2. Ввести оператор нахождения определителя матрицы.
3. Ввести  знак равенства, чтобы вычислить определитель.

        Результат вычисления определителя приведен в примере  на рис. 9. 

Модуль  вектора

        Модуль  вектора (vector magnitude) обозначается тем же символом, что и определитель матрицы. По определению, модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов (пример на рис.10). 

Скалярное произведение векторов

        Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно u · v = | u | · | v | · cos j, где j — угол между векторами. Если векторы ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом умножения (пример на рис.11). Для обозначения скалярного произведения пользователь также может выбирать представление оператора умножения.

       Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ который является общеупотребительным символом векторного произведения.

        С осторожностью  перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такого умножения см. в листинге на рис.12. 

Векторное произведение

        Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом a между ними равно вектору с модулем | u | · | v |  · sin a, направленным перпендикулярно носкости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произвение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<8>.

Заключение

      Задачи линейной алгебры, решаемые в Mathcad, можно условно разделить на два класса. Первый — это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов (см. разд. 3) и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. п. Второй класс — это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Литература: 

  1. Акулич И.Л. Математическое программирование  в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.

  2. Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.

  3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков  Г.Г. Численные методы. — 8-е  изд.. — М.: Лаборатория Базовых  Знаний, 2000.

  4. Бахвалов Н.С. Численные методы учебник для ВЗУов М., Наука, 1978

  5. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.

  6. Воробьева Г.Н. Данилова А.Н. Практикум по численным методам: М., учебник 1987

  7. Каханер Дэвид. Численные методы и программное обеспечение учебник для ВЗУов М., Мир, 1998