Автор: Пользователь скрыл имя, 28 Октября 2011 в 19:21, доклад
Существующий алгоритм решения транспортных задач (метод потенциалов) предполагает, что целевая функция стремится к минимуму. Однако существуют ситуации, когда в рамках транспортной модели требуется максимизировать целевую функцию, например, общий доход, объем продаж, прибыль, качество выполняемых работ и т.д.
При этом должно быть произведено такое изменение остальных поставок, чтобы получившаяся совокупность поставок не нарушала баланса спроса и поставок транспортной задачи.
Величина Δ ij называется оценкой свободной клетки (или характеристика).
В исходном решении задачи имеются клетки свободные от поставок.
Необходимо вычислить значение оценок Δij для этих свободных от поставок клеток. С этой целью для каждой свободной клетки составляется означенный цикл перерасчета (или замкнутая цепь, круг, кольцо, контур и т.д.).
Под циклом пересчета (цепью) понимается замкнутая ломаная линия. Вершинами цикла (цепи) являются клетки таблицы, проще – вершины лежат в клетках таблицы.
Причем одна из вершин находится в свободной от поставки клетке, в той, для которой определяется оценка Δij. Все другие вершины находятся в базисных клетках, т.е. клетках, занятых поставками.
Вершины, в которых поставки при перераспределении увеличиваются, отмечаются плюсом и называются положительными вершинами и, наоборот, вершины, в которых поставки при перераспределении уменьшаются отмечаются минусом и называются отрицательными вершинами.
В цикле знаки по вершинам расставляют начиная с вершины, лежащей в свободной клетке, для которой определяется Δij. В нее записывают знак плюс, затем знаки по вершинам чередуются: минус, плюс , минус, плюс и т. д., независимо от того, расставляют ли их по часовой стрелке или в обратном направлении. Таким образом, в цикле всегда насчитывается одинаковое число положительных и отрицательных вершин.
Следующий этап решения транспортной задачи заключается в улучшении опорного плана.
Если при каком-то опорном плане оказывается несколько свободных клеток с отрицательными оценками Δij, то за один переход к лучшему плану можно занять поставкой только одну клетку – ту, которая обеспечивает наибольшее снижение целевой функции.
4. Определяем оценку для каждой свободной клетки.
В свободную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (1,2; 1,1; 5,1; 5,2; ).
Оценка свободной клетки равна Δ12 = (6) - (6) + (0) - (0) = 0
В свободную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (1,4; 1,1; 5,1; 5,2; 3,2; 3,4; ).
Оценка свободной клетки равна Δ14 = (5) - (6) + (0) - (0) + (5) - (4) = 0
В свободную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,1; 2,4; 3,4; 3,2; 5,2; 5,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ21 = (5) - (3) + (4) - (5) + (0) - (0) = 1
В свободную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,2; 2,4; 3,4; 3,2; ).
Оценка свободной клетки равна Δ22 = (4) - (3) + (4) - (5) = 0
В свободную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,3; 2,4; 3,4; 3,2; 5,2; 5,1; 1,1; 1,3; ).
Оценка свободной клетки равна Δ23 = (4) - (3) + (4) - (5) + (0) - (0) + (6) - (3) = 3
В свободную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (3,1; 3,2; 5,2; 5,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ31 = (6) - (5) + (0) - (0) = 1
В свободную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (3,3; 3,2; 5,2; 5,1; 1,1; 1,3; ).
Оценка свободной клетки равна Δ33 = (6) - (5) + (0) - (0) + (6) - (3) = 4
В свободную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (4,1; 4,3; 1,3; 1,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ41 = (8) - (2) + (3) - (6) = 3
В свободную клетку (4;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (4,2; 4,3; 1,3; 1,1; 5,1; 5,2; ).
Оценка свободной клетки равна Δ42 = (4) - (2) + (3) - (6) + (0) - (0) = -1
В свободную клетку (4;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (4,4; 4,3; 1,3; 1,1; 5,1; 5,2; 3,2; 3,4; ).
Оценка свободной клетки равна Δ44 = (4) - (2) + (3) - (6) + (0) - (0) + (5) - (4) = 0
В свободную клетку (5;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (5,3; 5,1; 1,1; 1,3; ).
Оценка свободной клетки равна Δ53 = (0) - (0) + (6) - (3) = 3
В свободную клетку (5;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (5,4; 5,2; 3,2; 3,4; ).
Оценка свободной клетки равна Δ54 = (0) - (0) + (5) - (4) = 1
Опорный план является неоптимальным, поскольку имеются отрицательны оценки клеток (4,2;) равные: (-1).
Переход от неоптимального опорного плана к лучшему .
Поскольку в исходном опорном плане рассматриваемой задачи свободная клетка (4;2) имеет отрицательную оценку, то для получения плана, обеспечивающего меньшее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана.
Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
F(x) = 3*80 + 3*105 + 5*110 + 4*15 + 4*10 + 2*80 + 0*110 + 0*10 = 1365
4. Определяем оценку для каждой свободной клетки.
В свободную клетку (1;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (1,1; 1,3; 4,3; 4,2; 5,2; 5,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ11 = (6) - (3) + (2) - (4) + (0) - (0) = 1
В свободную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (1,2; 1,3; 4,3; 4,2; ).
Оценка свободной клетки равна Δ12 = (6) - (3) + (2) - (4) = 1
В свободную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (1,4; 1,3; 4,3; 4,2; 3,2; 3,4; ).
Оценка свободной клетки равна Δ14 = (5) - (3) + (2) - (4) + (5) - (4) = 1
В свободную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,1; 2,4; 3,4; 3,2; 5,2; 5,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ21 = (5) - (3) + (4) - (5) + (0) - (0) = 1
В свободную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,2; 2,4; 3,4; 3,2; ).
Оценка свободной клетки равна Δ22 = (4) - (3) + (4) - (5) = 0
В свободную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,3; 2,4; 3,4; 3,2; 4,2; 4,3; ).
Оценка свободной клетки равна Δ23 = (4) - (3) + (4) - (5) + (4) - (2) = 2
В свободную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (3,1; 3,2; 5,2; 5,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ31 = (6) - (5) + (0) - (0) = 1
В свободную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (3,3; 3,2; 4,2; 4,3; ).
Оценка свободной клетки равна Δ33 = (6) - (5) + (4) - (2) = 3
В свободную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (4,1; 4,2; 5,2; 5,1; ).
Оценка свободной клетки равна Δ41 = (8) - (4) + (0) - (0) = 4
В свободную клетку (4;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (4,4; 4,2; 3,2; 3,4; ).
Оценка свободной клетки равна Δ44 = (4) - (4) + (5) - (4) = 1
В свободную клетку (5;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (5,3; 5,2; 4,2; 4,3; ).
Оценка свободной клетки равна Δ53 = (0) - (0) + (4) - (2) = 2
В свободную клетку (5;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (5,4; 5,2; 3,2; 3,4; ).
Оценка свободной клетки равна Δ54 = (0) - (0) + (5) - (4) = 1
Из приведенного расчета видно, что ни одна свободная клетка не имеет отрицательной оценки, следовательно, дальнейшее снижение целевой функции Fx невозможно, поскольку она достигла минимального значения.
Таким образом, последний опорный план является оптимальным.
Минимальные затраты составят:
F(x) = 3*80 + 3*105 + 5*110 + 4*15 + 4*10 + 2*80 + 0*110 + 0*10 = 1365
Если в оптимальном решении задачи имеется несколько оценок равных нулю, то это является свидетельством того, что среди бесчисленного множества решений этой задачи существуют еще решения, являющиеся также оптимальными, поскольку значение целевой функции остается одинаковым — минимальным. Их принято называть альтернативными.
Примечание. Основной алгоритм распределительного
метода является не лучшим методом решения
транспортных задач, так как на каждой
итерации для проверки опорного плана
на оптимальность приходилось строить
[mп—(m+n—1)] циклов пересчета, что при больших
размерах матрицы оказывается очень громоздким
и трудоемким делом. Так, для расчетов
по матрице 10х10 на каждой итерации надо
строить 81 цикл, а по матрице 20x20 — 361 цикл.