Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают  в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

  В  1953 году Г. Кендалл предложил  стандартные обозначения определений,  которые используются исследователями без изменений. Для однофазных СМО символика Кендалла выглядит следующим образом :

  A / B / n / m 2.1

  Где  A и B входной поток и поток  обслуживания соответственно ,

  n –  число каналов, n 1,

  m - ёмкость накопителя.

 Потоки  случайных событий могут иметь различный вид:

- М  – экспоненциальное распределение  длительностей интервалов поступления  заявок или длительностей обслуживания ( индекс М от определяющего  слова марковский процесс, т.е.  такой, когда поведение процесса  после момента времени t зависит лишь от состояния процесса в момент времени t и не зависит от поведения до момента времени t),

- D - детерминированное  распределение длительностей интервалов  поступления заявок или длительностей  обслуживания,

- Ек - поток  Эрланга к – го порядка для длительностей интервалов между приходами заявок или длительностей обслуживания,

- GI - рекуррентный  поток (длительности интервалов  статистически независимы и имеют  одинаковое распределение),

- G - общий  вид распределения.

  Тогда  в символах Кендалла вместо А и В подставляется символ одного из упомянутых потоков, например:

M/M/1 - экспоненциальные  потоки с одним каналом обслуживания  и неограниченной ёмкостью.

D/GI/5/10 - детерминированный входной поток,  рекуррентный поток обслуживания, многоканальное СМО с 5 одинаковыми каналами, ёмкость накопителя 10 и т.д. 

 

 
Математическая  модель однофазной СМО

 

Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными  обслуживающими приборами в любой  момент времени полностью определяется числом заявок k, находящихся в ней. Действительно, если k≤n, то k заявок находятся на обслуживании, очереди нет; k приборов заняты обслуживанием заявок, а n – k приборов свободны. Если k > n, то все приборы заняты (n заявок обслуживается), а k–n заявок находится в очереди.

Величина k может принимать значения k=0, 1, 2, . . ., N, где N = n+m, причем для СМО с отказами m=0, а для систем с неограниченной очередью m и N --  ∞.

Увеличение  числа заявок в системе (переход  из состояния S_k в состояние S_k+1) происходит под воздействием потока заявок интенсивности £, которая не зависит от k, то есть £_k,k+1 = £.     

Уменьшение  числа заявок в системе (переход  из состояния S_k в состояние S_k–1) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивности µ и потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивности v, причем £_k,_k+₁= f(k, n, µ, v), а вид этой функции определяется типом СМО.

Из этого  следует, что однофазной СМО соответствует  граф состояний, вершины которого (S₀, S₁, S₂, . . .) образуют последовательную цепочку и любые две соседние вершины соединены двумя встречно направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).

Определим предельные вероятности состояний  Р_k, для СМО с конечным числом состояний. Для СМО P_k, – это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровно k заявок.

В СМО  с конечным числом состояний всегда имеет место стационарный режим, так как между любыми двумя вершинами графа существует маршрут.

Уравнения Колмогорова имеют вид:

– состояние S₀

£₁₀P₁=£₀₁P₀    (2.10)

– состояние S₁

£₀₁P₀+£₂₁P₂=£₁₀P₁+£₁₂P₁;  

учитывая  выражение (2.10), получим

£₂₁P₂=£₁₂P₁    (2.11)

– состояние S₂

£₁₂P₁+£₃₂P₃=£₂₁P₂+£₂₃P₂;

учитывая  формулу (2.11), имеем

£₃₂P₃=£₂₃P₂   (2.12)

— состояние S_k-1 (по аналогии)

      £_k,k-₁P_k=£_k-1,_kP_k-1    (2.13)

– состояние S_N-1

        £_N-1,_NP_N-1=£_N,N-1P_N .   (2.14)

Для состояния S_N непосредственно по графу находим уравнение

     £_N-1,_NP_N-1=£_N,N-1P_N , 

которое совпадает с уравнением (2.14).

Поэтому последнее уравнение исключаем  из /рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки

N     

∑  P_k =1         (2.15)

k=0

Для решения  системы уравнений (2.10) – (2.15) выразим  все вероятности P_kk

   ___

=(1,N) через Р₀ и получим

   P₁=λ₀₁/ λ_{10 *} P₀;                                                                            (2.16)

P₂=λ₁₂/λ₂₁P₁=λ₀₁/λ₁₀*λ₁₂/λ₂₁*P₀

……………………………

P_k=λ_k-1,k/λ_k,k-1*P_k-1=λ₀₁/λ₁₀*λ₁₂/λ₂₁***λ_k-1,k/λ_k,k-1*P₀

      k 

P_k=P₀ П   *λ_i-1,i/λ_i,i-1,      k=1,2…..N

           i=1

Подставляя  значения Рд в формулу (2.15), получим

             N   k 

       P₀+P₀∑  П *λ_i-1,i/λ_i,i-1=1             (2.17)

                k=1 i=1

             -1

            N   k

   P₀ = ∑   П*λ_i-1,i/λ_i,i-1

          _{k=1    i=1} 

Обратим внимание на структуру формул (2.16) и (2.17). В формуле (2.16) имеем произведение отношений интенсивностей пере-хода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле (2.17) имеем сумму этих произведений, вычисленных для всех вершин графа

         __

S_k(k=1,N) .

Подставляя  в формулы (2.16) и (2.17) значения интенсивностей переходов λ_i,i-1 и λ_i-1,i  для СМО любого типа, можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели, эффективности. 

 

 
Пример  практического решения  задачи

 

Существует  однолинейная однофазная модель массового  обслуживания, где λ - средняя плотность потока требований; µ – параметр обслуживания одного требования; N – очередь (максимально возможна). Рассмотрим время t. Как меняется система от t до t+ . Е0 – событие в системе отсутствуют требования в момент времени t+ . Вероятность событий : в момент времени t – требование отсутствует полная группа событий в момент времени t – одно требование. Полная вероятность отсутствий. , где Е1 – в системе находится одно требование в течение t времени. Еn – в системе находится n требование в течение t времени.   Стационарная вероятность – такая вероятность, которая не зависит от времени.  

Следовательно, при этом Pn(t)=const, a P’n(t)=0.  

Принимая  условия cтационарности, определим коэффициент загрузки 

Операционные  характеристики – это те характеристики, которые влияют на выбор той или  иной системы массового обслуживания (максимальная длина очереди, средняя длина очереди, максимальное и среднее время нахождения в системе).

Среднее число требования в системе: 

Дисперсия или квадрат отклонения среднего числа требований:

Средняя длина очереди:   

Среднее время ожидания обслуживания:   

Максимальная длина очереди:  
 

 

 
Список  литературы

 

Игнатьева А.В. Максимцов  М.И, Исследование систем управления. Учебное  пособие для Вузов (ГРИФ) М. Юнити-Дана 2003 г.

Голик С.Е. Математичееские  методы системного анализа и теории принятия решений. Часть 2. Учебное пособие. Ред.изд. отдел СЗПИ. 1997г.

Тынкевич М.А.  Экономико-математически методы. Учебное  пособие. 2 изд. Кемерово 2000г.