Технический прогресс в моделях экономического роста

      ,  ,

     Домашнее  хозяйство распределяет все время, которое есть в его распоряжении , кроме времени, необходимого для отдыха, между работой и учебой  . Поэтому уравнение бюджета времени i-го домохозяйства имеет вид

             (1)

     Объем приобретенного за время обучения человеческого капитала зависит не только от времени, которое выделил индивидуум, а и от количества произведенного государством общественного блага - инфраструктуры образования, которая измеряется объемом затрат на его производство:

            (2)

     Формула (2) является производственной функцией создания «человеческого капитала». Общественным благом все население может пользоваться бесплатно, его производство финансируется  за счет налога на прибыль.

     Целью домохозяйства является распределение своего времени между трудом и обучением так, чтобы максимизировать доход от труда и «человеческого капитала». Формально задача состоит в том, чтобы максимизировать сумму при ограничениях (1) и (2). Для решения необходимо составить функцию Лагранжа

     

     Эта функция достигает максимума  при 

          (3)

                  (4)

                   (5)

     Если  подставить формулы (3) и (4) в выражение (5), то получим такое выражение:

      .

     Из  производственной функции (2) имеем

      .

     Поэтому условие максимизации дохода отдельных  домохозяйств (6) можно записать в  виде

     

     При заданной технологии имеем . Тогда

      ,

     где - количество домашних хозяйств.

     Из  уравнения (7) и  (8) следует, что

        (9)

     Таким образом, пропорция, в которой  домохозяйства распределяет время, которым располагает, между работой и учебой, постоянно и зависит только от технологий производства национального дохода и общественных благ. Поскольку , то и количество времени, которое отводиться на работу и учебу, не изменяется в течение некоторого времени:

     Уравнение (9) можно записать в темпах прироста: , если , то

             (10)

       Из условий и следует, что , . Отсюда . Поэтому уравнение (10) можно записать в виде

       (11)

     Уравнение (11) выражает зависимость между темпом роста человеческого капитала и общественных благ. Увеличение последнего равняется налогам, которые были собраны за это время  
   (12)

     Прирост физического капитала равен объему сбережений:

                    (13)

     Поскольку рост предложения труда экзогенно задан, то зависимости (12) и (13) определяют возможности стабильного роста национального дохода, производимого по технологии

     

     Можно доказать, что в рассматриваемой модели устойчивое динамическое равновесие наступает при постоянных коэффициентах капиталоемкости   и «образованиеемкости» национального дохода. С учетом этого определим величину равновесного темпа прироста. Запишем уравнение производственной функции в темпах прироста

     

     Так как  , а   (на основании (11)), то

     

     Следовательно, равновесный темп прироста национального дохода

     

     Так как  , то , т.е. темп роста национального дохода превышает темп роста трудовых ресурсов. Поскольку равновесный темп роста не зависит от нормы сбережений и ставки подоходного налога, то можно определить их значения, максимизирующие фонд потребления при равновесном росте

      , 

     Оптимальная норма сбережений тем меньше, а  оптимальная ставка подоходного  налога для финансирования производства общественного блага тем больше, чем эластичнее производство национального дохода по объему общественного блага. 

     3. Эволюторные модели научно-технического прогресса

     В этом случае экономика рассматривается как одно неструктурированное целое и описывается производственной функцией с «дрейфующими» во времени коэффициентами. Впервые такой подход применил Тинберген, который считал, что медленное увеличение ресурсоотдачи в результате научно-технического прогресса можно отразить путем включения экспоненты в коэффициент нейтрального технического прогресса мультипликативной производственной функции:

      , ,

     где - мера НТП.

     Затем этот подход был развит и дифференцирован:

     1) трудоувеличивающий прогресс

      ,  ,

     т.е. столько единиц труда потребовалось  бы, если бы не было НТП;

     2) капиталоувеличивающий прогресс

      ,  ,

     т.е. столько единиц фондов потребовалось  бы, если бы не было НТП;

     3) ресурсоувеличивающий прогресс

      , , ;

4. продуктоувеличивающий прогресс

      ,

     где A(t), A_L(t), A_K(t) — некоторые растущие функции времени, как правило, экспоненты ( A(t) = ).

     Применение  экспонент при изменении НТП  целесообразно тогда, когда соответствующая функция A(t) растет с примерно постоянным темпом прироста , тогда (последнее верно при малом значении ). Далее будем считать, что это действительно так, т.е. прогресс эволюторен. 

     4. Модель перевооружения трехсекторной экономики

     Постановочным образом рассмотрим модель перевооружения трехсекторной экономики. Под перевооружением будем понимать создание нового технологического уклада с новыми, более эффективными производственными функциями  , i = 0, 1, 2, в который постепенно, по мере его создания, будут «перекачиваться» все ресурсы из старого технологического уклада, заданного   старыми производственными   функциями    , ,

     i = 0, 1, 2.

     Создание  нового технологического уклада возможно в результате отдельного применения или сочетания следующих трех основных способов:

1. за счет собственных научно-технических и производственных возможностей (достаточно дешево, но долго, зато развивается собственный научно-технический потенциал, растут квалифицированные кадры);
2. путем приобретения за рубежом лицензий на производство оборудования, реализующего новые прогрессивные технологии (гораздо дороже, зато быстрее; свой научно-технический и кадровый потенциал также растет);
3. путем прямого монтажа и последующего использования закупленного на мировом рынке готового оборудования (дорого, зато быстро, но при отсутствии развития собственного научно-технического и кадрового потенциала).

     Главной составляющей перевооружения, преимущественно, должен быть первый способ, а второй и третий — дополняющими. Самый простой вид имеет модель, в которой присутствует только первый (из упомянутых) способ.

     При построении такой модели будем исходить из следующих упрощающих предположений.

     1. Старый технологический уклад  исчерпал себя, экономика находится в стационарном состоянии

      , , , 
, .

2. Создание нового технологического уклада происходите лагом  .
3. Поскольку создание  нового уклада осуществляется за счет 
   старого, т.е. путем использования фиксированных мощностей фондосоздающего сектора   и перелива инвестиционных ресурсов из 
   материального и потребительского секторов в новые секторы, то

      ,

     где — доля инвестиционных ресурсов, направляемых в старый потребительский сектор для обеспечения удельного выпуска предметов потребления на минимально допустимом уровне с:

      ;

      - доля инвестиционных ресурсов, направляемых в старый материальный сектор, для обеспечения материальными ресурсами старых фондосоздающего и потребительского секторов:

      , ;

      - доли инвестиционных ресурсов, направляемых в создание мощностей нового технологического уклада.

     4. Новый технологический уклад  отличается от старого только  производственными функциями  , ,   в то время как коэффициенты износа и прямых материальных затрат остались прежними.

     В целом весь процесс перевооружения распадается на   три этапа:

1. накопление;
2. отдача накоплений;
3. ускоренное вытеснение старого технологического уклада.

     На  этапе накопления при 0 < t < τ действует только старый технологический уклад:

     

     Накопление мощностей нового технологического уклада осуществляется за счет сокращения долей материального и потребительского секторов в ресурсах:

     

     На  этапе накопления при  τ < t < 2τ мощности нового технологического уклада начинают давать отдачу, однако новый технологический способ еще не в состоянии обеспечить общество предметами потребления хотя бы на минимальном уровне, поэтому старый и новый уклады сосуществуют при постепенном переливе трудовых ресурсов из старого уклада в новый.

     При сосуществовании двух способов показатели, характеризующие старый уклад будем отмечать значком «^», а новый — значком «*». Поскольку на этом этапе параллельно действуют старые и новые мощности, то распределение инвестиционных ресурсов также осуществляется параллельно: старые ресурсы — в старый способ с долями

     

     новые ресурсы — в новый способ с долями При этом трудовые ресурсы распределяются как на старый, так и на новый уклады,

     Примем, что перелив трудовых ресурсов осуществляется при постоянстве фондовооруженности (каждого сектора в каждом укладе)

         (2.1)    

     при этом внутри каждого способа лаг  отдачи капиталовложений равен нулю.

     Начиная с t = τ  в модели осуществляется в рамках нового технологического уклада нормальный воспроизводственный процесс, который в непрерывном времени и в отсутствие лага капиталовложений описывается следующими уравнениями:

                 (2.2)

     Поскольку  , , то при сделанных предположениях (2.1) уравнения (2.2) примут следующий вид:

             (2.3)

     Рассмотрим  уравнение для доли труда нового фондосоздающего сектора:

     

     Выберем  фиксированную  фондовооруженность  фондосоздающего сектора на уровне стационарного значения

     

     Тогда θ будет удовлетворять уравнению

     

     которое имеет следующее решение

     

     Теперь  однозначно определяются и  решения  остальных двух уравнений (при фиксированных  ):