Системы эконометрических уравнений, их применение в эконометрике

     где у1 - темп изменения месячной заработной платы ;у2 - темп изменения цен;х1 - процент  безработных;х2 - темп изменения постоянного  капитала;х3 - темп изменения цен  на импорт сырья.

     В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы  коэффициентов при зависимых  переменных различна.

     Представим  систему эконометрических уравнений  в матричном виде:

     BY + ГX = E,

     где В - матрица коэффициентов при  зависимых переменных;

     Y - вектор зависимых переменных;

     Г - матрица параметров при объясняющих  переменных;

     Х - вектор объясняющих переменных;

     Е - вектор ошибок.

     Если  матрица В диагональная, то рассматриваемая  модель является системой независимых  уравнений. Так, при трех зависимых  и трех объясняющих переменных модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + Е1,y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + Е2,y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + Е3.

     Если  матрица В треугольная (или может  быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему  рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + Е1,y2 = a02 + b21y1 + a21 x1 + a23 x2 + Е2,y3 = a03 + b32y2 + a31 x1 + a32 x2 + Е2.

     Т.е. зависимая переменная у1 первого  уравнения участвует как объясняющая  переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная у2 второго  уравнения рассматривается как  объясняющая переменная в третьем  уравнении.

     Если  матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных  уравнений. Так, для модели вида y1 = a01 + b12y2 + a11x1 + a12 x2 +Е1,y2 = a02 + b21y1 + b23y3 + a23x3+ Е2,y3 = a03 + b31y1 + a32x2 + a33x3+Е3. 

     1.3 Применение систем  эконометрических  уравнений 

     Применение  систем эконометрических уравнений  представляет собой непростую задачу.

     Проблемы  здесь происходят из-за ошибок спецификации. Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа. Более совершенными по сравнению со статическими моделями являются динамические модели экономики, которые содержат в правой части лаговые переменные и учитывают тенденцию развития (фактор времени). Значительные трудности создает невыполнение условия независимости факторов, которое в корне нарушается в системах одновременных (взаимозависимых) уравнений.

     Использование корреляционно-регрессионного анализа в контексте структурного моделирования — это попытка подойти к выделению и измерению причинных связей переменных. Для этого следует сформулировать гипотезы о структуре влияний и корреляции. Такая система причинных гипотез и соответствующих взаимосвязей изображается графом, вершины которого — это переменные (причины или следствия), а дуги — причинные отношения. Верификация гипотез требует установления соответствия между графом и системой уравнений, описывающей этот граф.

     Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии использования данных динамики. Рекурсивная система уравнений позволяет определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.

     Если  нужно всего лишь уточнить характер связей переменных, то используют метод  путевого анализа (путевых коэффициентов). В основе его лежит гипотеза об аддитивном характере (аддитивность и линейность) связей между переменными. К сожалению, применение путевого анализа в социально-экономических исследованиях затруднено тем, что не всегда линейная зависимость удовлетворительно выражает все разнообразие причинно-следственных связей в реальных системах. Значимость результатов анализа определяется правильностью построения максимально связного графа и, соответственно, изоморфной математической модели в виде системы уравнений. В то же время важным достоинством путевого анализа является возможность производить декомпозицию корреляций.

     В данной главе мы рассмотрели сущность систем эконометрических уравнений, их применение. Таким образом, понятие  одновременных эконометрических уравнений  и методы их решения были впервые  предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

     В зависимости от характера ограничений  и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

     Применение  систем эконометрических уравнений  представляет собой непростую задачу.

     Основной  областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные  модели кейнсианского типа.

 

      Глава 2. Системы эконометрических уравнений 

     2.1 Система независимых  уравнений 

     Объектом  статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение  тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений  регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма  функционирования. При использовании  отдельных уравнений регрессии, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это  предположение является очень грубым: практически изменение одной  переменной, как правило, не может  происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой  изменение во всей системе взаимосвязанных  признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии  не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков  на вариацию результирующей переменной.

     Система независимых уравнений – система, в которой каждая зависимая переменная y рассматривается как функция  одного и того же набора факторов x то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1;

Y2=a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2; Yn=an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

     Система рекурсивных уравнений – система, в которой зависимая переменная одного уравнения выступает в  виде фактора x в другом уравнении, то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1; Y2= b21y1 +a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2 ; Y3= b31y1 + b32y2+a31x1 + a32x2 +…+ a3mxm +ε2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

     Система взаимозависимых уравнений (система  совместных одновременных уравнений) – система в которой одни и  те же зависимые переменные в одних  уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую, то есть система вида: Y1= b12y2 + b13y3 +…+ b1nyn + a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1; Y2= b21y1 +b23y3 +…+ b2nyn + a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

     Приведенная форма модели – система линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

     Y1=δ11x1 +δ12x2 +…+ δ1mxm;

     Y2=δ21x1 +δ 22x2 +…+ δ2mxm;

     Yn=δn1x1 + δn2x2 +…+ δnmxm,

     где δij – коэффициенты приведенной формы  модели. 

     2.2 Пример модели  авторегрессии 

     В качестве первоначального примера  рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских  цен (индекса инфляции).

     Пусть I(t) - рост цен в месяц t. Тогда, по мнению некоторых экономистов естественно  предположить, что 

     I(t) = сI(t- 1) + a + b S (t - 4) + e, (1)

     где I(t- 1) - рост цен в предыдущий месяц 

     с - некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен  прекратится),

     a - константа (она соответствует  линейному изменению величины I(t) со временем),

     b S (t - 4) - слагаемое, соответствующее  влиянию эмиссии денег (т.е.  увеличения объема денег в  экономике страны, осуществленному  Центральным Банком) в размере  S (t - 4) и пропорциональное эмиссии  с коэффициентом b, причем это  влияние проявляется не сразу,  а через 4 месяца; наконец, e - это  неизбежная погрешность. 

     Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует  многие характерные черты гораздо  более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I(t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это  экзогенные переменные). Иногда, как  в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

     Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы  в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым  прошлым моментам.

     В-третьих, составление эконометрической модели типа (1) - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег  слагаемом b S (t - 4) - это результат  достаточно изощренной предварительной  статистической обработки. Далее, требует  изучения вопрос зависимости или  независимости величин S (t - 4) и I(t). От решения этого вопроса зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.

     С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных  параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

       

     2.3 Проблема идентифицируемости 

     Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной  формами модели.

     При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь  сталкивается с проблемой идентификации. Индетификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

     С позиции идентификацируемости структурные  модели можно подразделить на три  вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

     Модель  идентифицируема, если все структурные  ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам  приведенной модели, т.е. если число  параметров структурной модели равно  числу параметров приведенной формы  модели.

     Модель  неидентифицируема, если число приведенных  коэффициентов меньше числа структурных  коэффициентов, и в результате структурные  коэффициенты не могут быть оценены  через коэффициенты приведенной  формы модели.

     Модель  сверхидентифицируема, если число приведенных  коэффициентов больше числа структурных  коэффициентов.

     Структурная модель всегда представляет собой систему  совместных уравнений, каждое из которых  требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

     Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число экзогенных переменных (D), отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно  числу эндогенных переменных в данном уравнении (H) без одного.

     D+1=H – уравнение идентифицируемо;

     D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

     D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.

     Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим  в нем экзогенным и эндогенным переменным можно из коэффициентов  при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.