Производственные функции

Министерство  образования РФ

Филиал  государственного федеративного бюджетного ОУ высшего профессионального образования

«ВоронежскийГАСУ» в г. Борисоглебске. 
 
 
 

Кафедра экономики и управления 
 
 

Курсовая  работа

по дисциплине 

«Экономико-математические методы и модели».

на тему «Производственные функции» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: студентка группы ЭУС-821

Богданова Е.Ю...

Принял: преподаватель

                                                                                                          Коровина О.В. 
 
 
 
 
 
 

Борисоглебск 2012.

План.

     Введение

     Виды  производственных функций

     Производственная  функция Кобба-Дугласа

     Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

     Производственные  функции в темповой записи

     Производственные  функции и прогнозирование- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Основные понятия

  Производственная  функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции

  

  Точное  толкование понятий затрачиваемого (или используемого) ресурса и  выпускаемой продукции, а также выбор единиц их измерения зависят от характера и масштаба производственной системы, особенностей решаемых (с помощью ПФ) задач (аналитических, плановых, прогнозных), наличия исходных данных.

  На  микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут измеряться как в натуральных, так и в стоимостных единицах (показателях). Годовые затраты труда могут быть измерены в человеко-часах (объем человеко-часов - натуральный показатель) или в рублях выплаченной заработной платы (ее величина - стоимостный показатель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или в других натуральных единицах (тоннах, метрах и т.п.) или в виде своей стоимости.

  На  макроэкономическом уровне затраты и выпуск измеряются, как правило, в стоимостных показателях и представляют собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т.е. суммарные величины произведений объемов затрачиваемых (или используемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

  Производственная  функция нескольких переменных - это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных л равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

  

  При построении ПФ для региона или  страны в целом в качестве величины годового выпуска Y (будем обозначать объем выпуска, или дохода, на макроуровне большой буквой) чаще берут совокупный продукт (доход) региона или страны, исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в качестве ресурсов рассматривают основной капитал (х₁ (=К) - объем используемого в течение года основного капитала), живой труд (х₂ (=L) - количество единиц затрачиваемого в течение года живого труда), исчисляемые обычно в стоимостном выражении. Таким образом строят двухфакторную f(х₁, х₂), или Y=f{K,L). От двухфакторных ПФ переходят к трехфакторным. В качестве третьего фактора иногда вводят объемы используемых природных ресурсов. Кроме того, если ПФ строится по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства может быть включен технический прогресс.

  ПФ  у =f(х₁, х₂) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, т.е. могут иметь представление в виде временных рядов.

  Пример . Для моделирования отдельного региона или страны в целом (т.е. для решения задач на макроэкономическом, а также и на микроэкономическом уровне) часто используется ПФ вида у = a₀x₁^a₁x₂^a₂, где а_0, а₁, а₂ - параметры ПФ. Это положительные постоянные (часто а₁ + а₂ = 1). ПФ только что приведенного вида называется ПФ Кобба-Дугласа (ПФКД) по имени двух американских экономистов, предложивших ее использовать в 1929 г. ПФКД активно применяется для решения разнообразных теоретических и прикладных задач благодаря своей структурной простоте. ПФКД принадлежит к классу так называемых мультипликативных ПФ (МПФ). В приложениях ПФКД х₁ = K равно объему используемого основного капитала (объему используемых основных фондов - в отечественной терминологии), x₂=L - затратам живого труда, тогда ПФКД приобретает вид, часто используемый в литературе:

     

  Пример . Линейная ПФ (ЛПФ) имеет вид: у= а₀ + а₁х₁ + a₂x₂. (двухфакторная) и у= а₀ + а₁х₁ + a₂x_{2+ …+}a_nx_n (многофакторная). ЛПФ принадлежит к классу так называемых аддитивных ПФ (АПФ). Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипликативной ПФ

  Выполняя  обратный переход, из аддитивной ПФ получим  мультипликативную ПФ.

  Если а₁ + а₂ = 1, то ее можно записать в несколько другой форме:

  

  

  называются  соответственно производителностью труда и капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим

  

  т.е. из двухфакторной ПФКД получим формально  однофакторную ПФКД. В связи с  тем, что 0 < a₁< 1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

  Отметим здесь, что дробь Y / K — называется производительностью капитала или капиталоотдачей, обратные дроби K / Y и L / Y называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска.

  ПФ  называется динамической, если:

  1) время t фигурирует в качестве  самостоятельной переменной величины (как бы самостоятельного фактора  производства), влияющего на объем  выпускаемой продукции;

  2) параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

  Отметим, что если параметры ПФ оценивались по данным врменных рядов (объемов ресурсов и выпуска) продолжительностью T₀ лет (т.е. базовый промежуток для оценки параметров имеет продолжительность T₀ лет), то экстраполяционные расчеты по такой ПФ 

  следует проводить не более чем на T₀ / 3 лет вперед (т.е. промежуток экстраполяции должен иметь продолжительность не более чем T₀/3 лет).

  При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью введения множителя НТП е^pt, где параметр (число) p(p>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

  

  Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу: Y(t) = f(A(t)-L(t), K(t)) или Y(t) = f(A(t) K(t), L(t)). Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

  Пример .. Поиведем вариант ПФКД с учетом НТП v(t} =

  

  Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы функции f называется спецификацией ПФ .

  Преобразование  реальных и экспертных данных в модельную  информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ .

  Проверка  истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.

  Выбор аналитической формы ПФ (т.е. спецификация) диктуется прежде всего теоретическими соображениями, которые должны явно (или даже неявно) учитывать особенности взаимосвязей между конкретными ресурсами (в случае микроэкономического уровня) или экономических закономерностей (в случае макроэкономического уровня), особенности реальных или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На спецификацию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказывают влияние результаты верификации ПФ. Отметим здесь, что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

     Глава 2. Производственная функция Кобба-Дугласа 

     Производственная  функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.  Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

     Производственные  функции, независимо от того, какой  вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

     1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).

     2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

     В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

      ,

     где  - объем выпуска;

     K- капитал (оборудование);

     М- сырье, материалы;

     Т – технология;

     N – предпринимательские способности.

     Наиболее  простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба  – Дугласа, с помощью которой  раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы  и взаимодополняемы.  Еще в 1928 году американские ученые — экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб — создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

     Q=AK ^α*L ^β ,

     где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

     K, L- капитал и труд;

     α,β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

     Если  α = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает  объем производства на 0,25%.

     На  основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

     1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

     α+ β=1 ( ).

     2)  непропорционально – возрастающую );

     3) убывающую .

     Рассмотрим  короткий период деятельности фирмы, в  котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с одной переменной изображен на рис. 1 (кривая ТР_н).

       
 

     Рис. 1. Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов 
 
 

. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции