Процесс моделирования простейших финансовых операций. Простые проценты

S(0)=Ʃ С"(k)=Vk×C(k).

        Для финансовой ренты с использованием для дисконтирования схемы сложных процентов имеем:

S(k)=C, Vk=Vk.

        Здесь по-прежнему предполагаются ежегодные платежи (поток платежей имеет период один год), символ V обозначает годовой дисконт-фактор. В результате можно записать:

S(0) = Ʃ Vk×C=C× Vk, V=1/(1+p).

         Последовательность V, V2, V3,…Vn может быть рассмотрена как геометрическая прогрессия a0, a1, a2,…, a(n-1) со  знаменателем q=V. Тогда:

                           n                                     n

Ʃ  аk=a0×(qn×1)/q×1=Ʃ  ×Vk=V×( Vk-1)/V-1

                         k=1                                 k=1

         Поскольку V=1/(1+p)=(1+p), то после подстановки в выражение (I) получим:

S(0)=

          Определим предел приведенной величины S(0) при количестве периодов (лет), стремящихся к бесконечности. Так как (1+р)>1,то

lim (1+p)n=0 или lim S(0)=C/p.

          Из полученного соотношения следует, что для любого конечного срока n приведенная величина S(0) (дисконтированный поток платежей) такова, что должно выполняться условие S(0)<C/p.

           Одним из примеров рассматриваемого потока платежей является  погашение долгосрочного кредита. Кредит размером S(0) выдается в момент t=0 и погашается в течение n лет равными платежами (взносами) С. При заданной процентной ставке р кредит может быть представлен как дисконтированный к моменту t=0 поток платежей (рис.2.6.4.).

           В этих условиях возникает необходимость расчета различных параметров кредита. Размер периодического платежа по погашению кредита С может быть определен из выражения для приведенной величины S(0) (формула (1.2)).

С=.

              C(t)              C              C      C                    C

              0     1              2        3                     n                t

Рис.2.6.4

           Количество платежей n (количество периодов потока платежей) также определяется из формулы (1.1). Действительно, из этого выражения следует:

(1+p)-n=1-

или n=.

           Поскольку функция ln существует лишь для положительного аргумента, то из последнего выражения вновь следует требование:

1-S(0)×p/C>0 или S(0)<C/p. В противном случае кредит S(0) никогда не будет погашен периодическими платежами С.

           Если требуется рассчитать процентную ставку р, под которую следует предоставлять кредит в размере S(0)  c ежегодными выплатами С и сроком погашения n лет, то из выражения для S(0) следует:

S(0)×p=C×(1-(1+p)n)

или S(0)×p×(1+p)n × C×(1+p)n+C=0

Нерегулярные потоки платежей

            В общем случае отдельные платежи потока имеют разную величину и поступают в любые (непериодические) моменты времени. Поток платежей с такими свойствами называется нерегулярным потоком.

Наращенные суммы нерегулярных потоков платежей.

            Рассмотрим нерегулярный поток, предусматривающий платежи C(t) в момент времени t=t1, t2 … tn. Графическое представление такого потока платежей приведено на рис. 2.6.5.

              C(t1)   C(t2) C(t3)             C(tn)

                                  C(t)             

                   t1         t2    t3                                 tn               t

Рис. 2.6.5

           Наращенная сумма такого потока платежей,  приведенная к моменту t=T≥tn, определяется выражением:

                                                        n

S(T)=Ʃ  C(tk)×[1+p(T-tk)]

                                                       k=1

      Здесь p(T-tk) – процентная ставка на интервале T-tk. При неизменности годовой процентной ставки р на всем интервале времени (0;1) и использовании схемы сложных процентов имеем:

                                                                         n

1+p(T-tk)=(1+p)(T-tk) и   S(T)=Ʃ  C(tk)×(1+p)(T-tk)

                                                                        k=1

Дисконтирование нерегулярных потоков платежей.

          Для дисконтирования нерегулярного потока C(t) при t=t1, t2, … tn к моменту времени t=0 для каждого t=tk введем в рассмотрение дисконт-фактор V1k (рис.2.6.6)

                                                C(t1)   C(t2) C(t3)             C(tn)

                                  C(t)

              t1         t2       t3                               tn                              t

Рис. 2.6.6

       В этом случае сумма всех дисконтированных платежей C(t) к моменту t=0<t, равна:                                         n

S(0)=  Ʃ C(tk)×VTk.

                                                             k=1

     При неизменности  годовой процентной ставки р, учетной ставки d и дисконт-фактора V на всем интервале времени (0,tn) и использовании схемы сложных процентов имеем:

                                                                            n

Vk=(1-d)tk=1/(1+p)tk и S(0)=  Ʃ   C(tk)/(1+p)tk

                                                                            k=1

Двусторонние потоки платежей

      Двусторонним называется поток платежей, который предполагает распределенные во времени переходы денежных сумм от одного владельца к другому. С позиций одного участников такой многоэтапной операции можно считать, что поступление денежных средств к нему в момент времени t=tk соответствует положительному платежу (С (tk)<0). Графическое представление такого потока платежей приведено на рис. 2.6.7.

              C(t1)       C(t3)                   C(tn)

                                C(t)               

                                                      C(t2)             C(t4)

Рис. 2.6.7

     Для оценки эффективности в целом финансовой операции, представляемой нерегулярным двусторонним потоком платежей, используются различные показатели. Один из них, называемый чистой приведенной величиной (NPV-net present value), рассчитывается как приведенная (современная) величина потока по формуле:

                                                                    n

NPV= S(0)= Ʃ  C(tk)-Vtk

                                                                   k=1

где C(tk) – поступления или выплаты потока, рассматриваемые как платежи потока с соответствующими знаками

          Операция считается эффективной для участника, если показатель для него является положительным.

          При неизменности годовой процентной ставки р и использовании схемы сложных процентов:

                                                                n

NPV= S(0)=  Ʃ  C(tk)/(1+p)tk

                                                                k=1

         Заметим, что знак показателя NPV не зависит от момента времени, к которому приводится поток платежей. Таким образом, для оценки эффективности любой многоэтапной финансовой операции достаточно рассчитать NPV для любого момента приведения и определить знак этого показателя.

1.2. Простые проценты.

               Простая процентная ставка - процентная ставка, которая применяется к одной и той же, начальной сумме на протяжении всего срока ссуды либо депозита. Обычно простая процентная ставка используется для начисления выплат и процентов по краткосрочным ссудам со сроком до одного года.

              Для расчета суммы, которую заемщик заплатит по окончанию срока кредитования, используя простую процентную ставку, применяется следующая формула:

C=CK * (1 + ПС*КП)

где:

С – сумма, которую заемщик заплатит в конце срока кредитования

СК – сумма кредита;

ПС - процентная ставка (при ежемесячных выплатах годовую процентную ставку следует разделить на 12, при ежеквартальных – на 4, если же проценты начисляются ежедневно, то годовую процентную ставку следует разделить на количество дней в году, в зависимости от используемой банком базы, это может быть либо 360 дней, либо 365 (366) дней (фактическая база));

КП - количество периодов начисления процентов (срок, на который выдан кредит).

               В основе любой кредитной операции, т. е. передачи денег в долг заемщику от кредитора, лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу денег в долг, называется процентными деньгами или процентами. Происхождение этого названия связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита. Плата за кредит может взиматься как в конце срока кредита, так и в его начале (авансовый процентный доход). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока), при этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная ссуда. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т. е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов — антисипативным. В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение, поэтому термин "декурсивный" обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте. При использовании же антисипативных процентов используют полное наименование.

Виды процентных ставок

 Рассмотрим сначала декурсивный способ, когда проценты начисляются в конце срока кредита. С количественной стороны кредитная операция характеризуется следующим основным соотношением:

                                                       S=P+I                                                      

(1.1.1)

где Р — первоначальная сумма (сумма кредита); I — процентный доход - сумма платы за кредит; S — сумма, подлежащая возврату (полная стоимость кредита). Сумма платы за кредит I обычно определяется в виде процента от суммы самого кредита - iT. Это отношение называется ставкой процентов, точнее, ставкой процентов за период Т:

iT = i/P=(S-P)/P

(1.1.2)

Временной период, в конце которого приходуется процентный доход, называют еще периодом начисления процентов (часто встречается термин "период конверсии"). Процентная ставка относится ко всему периоду действия кредитного соглашения. Поскольку сроки кредитов меняются в широком диапазоне (от нескольких дней до десятков лет), то для сравнения условий различных кредитов процентную ставку задают по отношению к некоторому базовому периоду. Наиболее распространен годовой базовый период — в этом случае говорят о годовой процентной ставке. Если период конверсии совпадает с базовым, то годовая процентная ставка совпадает с фактической (1.1.2). Если же срок сделки имеет другую длительность, то годовая процентная ставка, служащая основой для определения процентной ставки за период (фактической процентной ставки), называется номинальной. Процентная ставка за период вычисляется по формуле

iT= iT,

(1.1.3)

где i — номинальная годовая процентная ставка; Т — срок действия соглашения, по истечении которого кредит должен быть возвращен вместе с процентами. Если период конверсии укладывается целое число раз в году, то ставка за период вычисляется по формуле

iT= i/T,

(1.1.4)

где Т = 1/m; m — число периодов начисления процентов в году, или частота начисления процентов.

 Закон наращения  по простой процентной ставке. Дисконтирование; будущая и текущая стоимость денег.

 Процентный доход по закону простых процентов вычисляется исходя из того, что номинальная процентная ставка не зависит от периода начисления процентов:

I=PiT,     

(1.1.6)

Сумму S также называют накопленным (наращенным) значением исходной суммы Р. Используя формулы 1.1.1, 1.1.6, получим:

S=P(1+ iT) =Ps(T),