МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

РОССИЙСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ЮЖНО-САХАЛИНСКИЙ  ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) 
 
 
 
 

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 

по дисциплине: «Вычислительная математика» 

Вариант № 10

На тему: «Построение кривой обучения, оценка времени для производства дополнительного  количества продукции» 
 
 
 

                                            Выполнила: студентка 2 курса

                                            по сокращенной  программе

                                            на базе СПО

                                            (по профилю) специальности

                                            «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

                                            заочной формы обучения

                                            группы 2.109-у, шифр 10429

                                            Литовченко Евгения  Сергеевна

                                            Преподаватель: к.п.н., доцент

                                            Никитина Алла Борисовна 
 
 
 
 
 

г. Южно-Сахалинск

2011 г.

    Построение  кривой обучения, оценка времени для производства дополнительного  количества продукции

 
Оглавление

Экономический смысл определенного интеграла 3

Коэффициент неравномерности в распределении дохода 4

Кривая обучения 6

Пример 8

Список используемой литературы 10

 
 

 

    

    Экономический смысл определенного  интеграла

    Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Тогда объем v продукции, произведенной за промежуток времени с момента до момента t = T, выражается интегралом от z(t) на отрезке [, T]:

 

    Найдем  объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0, T].

    Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции ∆u, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+∆t], задается формулой ∆u = f(t)∆t. В общем случае справедливо приближенное равенство ∆u = f(ξ)∆t, где ξϵ[t, t+∆t], которое оказывается тем более точным, чем меньше ∆t.

    Возможность учета влияния различных факторов на изменение производительности процесса производства связана с использованием, например, Кобба – Дугласа. В этом случае производительность представляется в виде произведения трех сомножителей:

 

где функции  – величины затрат соответственно природных ресурсов, труда и капитала;   – некоторые числа.

     

     

 

    Коэффициент неравномерности  в распределении  дохода

    В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется  математика. Разработано несколько  видов коэффициентов – коэффициент  Лоренца, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие. Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.

    Лоренц (Lorenz) Макс (1876 – 1959) – американский экономист и статистик. Дал графическую интерпретацию неравенства в распределении дохода в обществе (кривая Лоренца).

    Рассмотрим  функцию , где y – это доля совокупного дохода, получаемая частью x наиболее низкооплачиваемого населения. Например,             0,6 означает, что 80% наиболее низкооплачиваемого населения получают 60% совокупного дохода. Очевидно, что , , . Предположим, что нет населения с нулевым доходом, т.е. , и весь доход получается всей совокупностью населения, т.е. .

    На  рис. 1 показан пример графика функции . Эта кривая называется кривой Лоренца. Если бы распределение доходов было совершенным, то 10% населения получали бы 10% совокупного дохода, 20% населения – 20% дохода и т.д. Тогда кривая распределения доходов была бы прямая . Отклонение реального распределения доходов от идеального измеряется отношением L площади между прямой и кривой Лоренца к площади, ограниченной прямыми , и осью , и называется коэффициентом неравномерности распределения доходов.

    Очевидно, что . Значение соответствует совершенному распределению доходов.

 

 

Рис. 1 Кривая Лоренца

 

    Кривая  обучения

    Часто требуется оценить, сколько времени потребуется на производства некоторого дополнительного количества продукции. Для подобных расчетов пользуются так называемой кривой обучения.

    Пусть – время, измеряемое в человеко-часах, необходимое для производства первых единиц продукции. Тогда приближенно равно времени, необходимому для производства -й единицы продукции. Обычно используют функции вида

    ,

где , .

    График  функции такого вида изображен на рисунке 2 и называется кривой обучения.

    Функция – убывающая, так как время, необходимое для выполнения некоторой операции, убывает при возрастании числа повторов.

    T до , определяется формулой

 

    Например:

    После сборки 100 часов оказалось, что в  дальнейшем время убывает в соответствии с формулой . Найти время, которое потребуется для сборки еще 20 часов (т.е. с номера 101 до номера 120).

    Решение:

 

 

Рис.2 Кривая обучения

 

    Пример

    Найти объем выпускаемой продукции  за пять лет, если в функции Кобба – Дугласа:

    .

    Решение:

    Подставляя  выражение функции производительности в формулу:

 

    Получаем  после вычислений:

 

    Исследуя  кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую OBA на рисунке 3), мы можем оценить степень неравенств в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

    Очевидно, что  при , и неравномерность распределения доходов тем больше, чем больше площадь фигуры ОАВ (см. рис. 3).

 

    

Рис.3 Зависимость процента доходов от процента имеющего их населения

 

 

    Список  используемой литературы

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 464 с.;
2. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»);
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие/под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009. – 646 с. – (Основы наук);
4. Попов А.М. Экономико-математические методы и модели: учебник для бакалавров/А.М. Попов, В.Н. Сотников; под ред. проф. А.М. Попова. – М.: Издательство Юрайт, 2011. – 479 с. – Серия: Бакалавр.;
5. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/Под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 575 с. – (100 лет РЭА им. Г.В. Плеханова).

 
 
 
 
 
 
 

                                                        Дата: 17.10.2011 г.

                                                        Роспись: