Построение и анализ графиков функций

3 Интегральное исчисление в экономическом анализе

Интегральное исчисление основано на понятии определенного интеграла.

Интеграл (от лат. integer - целый) это одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Геометрический смысл определённого интеграла: интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x) (рисунок 2).

Рисунок 2.

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю. 

В рыночной экономике широко используется понятие потребительского излишка (CS–consumer’s surplus).

Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся  на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично  определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

И, наконец, введем еще одно  понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения.

Интегральное исчисление применяется также для нахождения дисконтированной стоимости денежного потока и степени неравенства в распределении доходов.

Как известно, дисконтирование представляет собой специальный приём для сопоставления текущей и будущей (очевидно, более низкой, чем текущая) ценности денежных сумм. Дисконтирование также называют снижение ценности отсроченных денежных поступлений.

В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется математика. Разработано несколько видов коэффициентов - коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие. Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.

4 Свойства функций

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из ко­торых относятся: непрерывность, монотонность, унимодальность и дифференцируемость функции. Рассмотрим вкратце эти свойства функций.

1. Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки А, называется непрерывной в этой точке, если     

2. Возрастающие и убывающие функции называются мо­нотонными функциями.

Функция у=f(х) называется возрастаю­щей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если х1 < х2, то f(x1) < f(х2).

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если х1 < x2, то f(х1) > f(х2).

3. Унимодальной называется функция, имеющая на заданном отрезке [a,b] один максимум или минимум. Использование свойства унимодальности позволяет построить эффективные методы локализации экстремума – методы золотого сечения и чисел Фибоначчи.

Экстремум функции [extremum] - термин, объединяющий понятия максимума и минимума функции.

4. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) , где A - число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx части A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е. df(x0) = A·Δx.

5 Производные функций

Производной функции в точке х0 называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении х к х0. Производная функции в точке х0 обозначается символом .

Производная функции и сама является функцией - она определяется значением в точке . Эта функция обозначается символом или .

Геометрический смысл производной функции в точке - это тангенс угла наклона между осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через точку с абсциссой .

Если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, а значит, производная положительна.

Если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, а значит, производная отрицательна.

Если угол наклона касательной равен нулю, то тангенс равен нулю, а значит, производная равна нулю.

Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует.

Правила вычисления производныx:

1. Производная суммы двух функций:    .

2. Производная произведения постоянной и функции:    .

3. Производная произведения двух функций:   .

4. Производная частного двух функций:    .

5. Производная сложной функции:    .

6. Производная функции вида :   .

Таблица производных:

6 Эластичность функций

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относитель­ное изменение исследуемого экономического показателя под дей­ствием единичного относительного изменения экономического фак­тора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Эластичность функции у = f(x) показывает относительное изменение значения функции у в расчете на единицу относительного изменения аргумента х. Если эластичность переменной у по переменной х обозначить εх(y), то, используя определение эластичности, получаем:

Учитывая, что при (то есть, при малых приращениях аргумента отношение приращений ∆у и ∆х приближается к производной у по х), имеем:

Если f(х) считать общей (совокупной) величиной (как, например, общая или совокупная выручка), то M(f) = ∆y/∆x - соответствующая ей предельная величина (например, предельная выручка, или дополнительная выручка ∆у от дополнительной единицы ∆х), а ∆(у) - средняя величина (средняя выручка, или выручка в среднем на единицу х, равная у/х, в нашем примере это - цена). Таким образом, эластичность функции равна отношению предельной и средней величин.

Заключение

Математические методы в экономике — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Изучение применения анализа функций и использования дифференциального и интегрального исчисления в математическом моделировании экономических систем имеет важное прикладное значение в экономике.

Список использованной литературы

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Дело и Сервис, 2001. – 369 с.

2. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. — СПб.: Питер, 2000.

3. Трояновский В. М. Элементы математического моделирования в макроэкономике. — М.: Издательство РДЛ, 2001.

4. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб.пособие для студ.вузов, обуч. по эконом. спец. — М.: ЮНИТИ, 2000.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для студ. Вузов, обуч.по эконом.спец./ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999.

16