Побудова парної економетричної моделі. Розрахунок інтервального прогнозу залежної змінної

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

 

 

 

 

Кафедра економіко-математичного  моделювання

 

 

 

 

 

 

Лабораторна робота №4

з економетрики

 

Тема: «Побудова парної економетричної моделі. Розрахунок інтервального прогнозу залежної змінної »

 

 

 

Варіант №15

 

 

 

 

 

Виконала: студентка

1-ї групи  2-го курсу

спец. 6601/1

 

Перевірила: викладач

Романюк Т.П.

 

 

 

 

 

 

 

 

Київ 2011

План роботи

 

1.Постановка задачі

2.Розрахунок оцінок параметрів  лінійної моделі Y=a₀+a₁x_t+u_t  трьома способами:

2.1 Створення системи нормальних  рівнянь в алгебраїчному і  матричному видах і розрахунок  оцінок параметрів

2.2 Розрахунок оцінок параметрів  по ф-ії «ЛІНЕЙН»

3.Перевірка адекватності моделі

4.Перевірка значущості параметрів  і моделі

5.Розрахунок інтервальних прогнозів  математичного сподівання і індивідуального  значення залежної змінної на 1 рік

6.Висновок

 

1.Постановка Задачі

 

Побудувати парну економетричну модель типу Y_t = a₀ + a₁x + U_t, залежності заощадження родини від доходу родини методом 1МНК. Оцінити адекватність моделі, значущість параметрів і розрахувати інтервальний прогноз заощадження на 1 рік.

T	Y (Заощадження родини, тис. грн в рік )	X0	Х (Доходи родини тис. грн.)
1	3	1	1
2	3,5	1	1,5
3	3	1	1,5
4	4	1	1
5	4,5	1	2
6	4,5	1	2,5
7	5	1	3
8	5	1	3,5

 

2. Розрахунок  СНР в алгебраїчному та матричному  видах і знаходження оцінок  параметрів моделі 3ма  способами. 

 

Знаходження системи  нормальних рівнянь алгебраїчним способом

Загальна формула алгебраїчного  розрахунку СНР

na₀+ ∑x_ta₁=∑y_t

∑x_ta₀+∑x²_ta₁=∑y_tx_t

 

 

 

 

 

Знайдемо СНР алгебраїчним розрахунком

t	Y	X0	X	X2	YX
1	3	1	1	1	3
2	3,5	1	1,5	2,25	5,25
3	3	1	1,5	2,25	4,5
4	4	1	1	1	4
5	4,5	1	2	4	9
6	4,5	1	2,5	6,25	11,25
7	5	1	3	9	15
8	5	1	3,5	12,25	17,5
Сума	32,5		16	38	69,5

 

Запишемо СНР за алгебраїчним способом

      8  a₀ +  16 a₁   = 32,5

      16 a₀ + 38a₁   = 69,5

 

Знаходження системи  нормальних рівнянь матричним способом

 

Транспонуємо стовпчики Х0 та Xt для отримання матриці Х'
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1,5	1,5	1	2	2,5	3	3,5

 

 

 

Перемножаємо матрицю  Х'  на матрицю Х (стовпчики Х0 та Xt)
8	16
16	38

 

 

Перемножаємо Х'  на Y

32,5

69,5

 

 

Запишемо СНР за матричним  способом

      8            16                a₀                             32,5

  16           38                a₁                           69,5

 

Знаходимоa₁та a₀

a1	0,75
a0	2,5625

 

Як бачимо, як за матричним, та і заалгебраїчним способом СНР отрималатотожні значення. Оцінки параметрівa₀ таa₁ також отримали  тотожні значення за всіма трьома способами. Це свідчить про правильність розв’язку задачі (знаходженні СНР та оцінок параметрівa_0,a₁)

a₀ відображає початковий стан даної моделі, споживання родини, (тис.грн в рік)

a₁  відображає на скільки вимірюваних одиниць (тис. грн) зросте залежна змінна Y - споживання родини від збільшення незалежної змінної Х - доходи родини, тис. грн.

2.2 Розрахунокоцінокпараметрів  по ф-ії «ЛІНЕЙН»

Спосіб І:за функцією Линейн(масив1;масив2;конст;стат)

Масив1 – відомізначення Y_{t –} стовпчик у_t

Масив2 – відомізначенняХ_{t –} стовпчик х_t

а1	а0
0,75	2,5625
0,1932	0,421070478
0,715232	0,473242362
15,06977	6
3,375	1,34375

 

 

 

 

 

 

3.Перевірка адекватності  моделі 

Для того, щоб знайти значення Y по данній моделі, необхідно перемножити матрицю значень Х на оператор 1НМК.

 

Y^ (Х*А)
3,3125	Y1
3,6875	Y2
3,6875	Y3
3,3125	Y4
4,0625	Y5
4,4375	Y6
4,8125	Y7
5,1875	Y8

 

Визначення величини значень залишків кожного спостереження

Знайтизначеннявипадковоївеличини  у  заданійеконометричніймоделіUt, що й буде відображати залишки кожного спостереження – відхилення одного значення Y від іншого. Дане значення знаходиться як результат віднімання відматриціотриманихзначеньзалежноїзмінноїYtвід матриці початкових значень залежної величини Yt.

Yt = Yt + Ut =>Ut = Yt-Yt

 

YY^U					U2	∑(YtYtсер)2
3	-	3,3125	=	-0,3125	0,097656	1,128906
3,5		3,6875		-0,1875	0,035156	0,316406
3		3,6875		-0,6875	0,472656	1,128906
4		3,3125		0,6875	0,472656	0,003906
4,5		4,0625		0,4375	0,191406	0,191406
4,5		4,4375		0,0625	0,003906	0,191406
5		4,8125		0,1875	0,035156	0,878906
5		5,1875		-0,1875	0,035156	0,878906
∑					1,34375	4,71875

 

Розрахунок коефіціентів детермінації та кореляції.

Необхідно знайти значення параметру R^{2 –} коефіцієнт детермінації, також значення R – коефіцієнту кореляції. Для знаходженняR² знаходимо σ²_u та σ²_y– відповідних значень дисперсій.

Розрахуємозначеннядисперсій σ²_u та σ²_y:

σ²_u =     ∑U_t²    =(1,34375)/(6) =0,223958333 

           n-m-1

 

σ²_y =   ∑(Yt-Y_tсер)²     = 4,71875/(7)= 0,674107143

            n-1

Після даного обрахунку  стає можливим вирахування коефіцієнта детермінації R² :

 

R² =        σ²_y- σ²_u     =0,667770419

                 σ²_y

Отже варіація залежної змінної Yt – споживання родини, (тис. грн в рік) залежить на 66,7% від варіції незалежної змінної Xt  - доходи родини (тис. грн.)

Знайдемо коефіцієнт кореляції R:

R  = 0.81717

Оскількикоефіцієнткорреляції 0,5<R<1, то робимовисновок, що дана економетрична модель – адекватна.

 

4.Перевірка значущості  параметрів і моделі

Для того, щоб оцінити  значущістьпараметрівданноїеконометричної моделі, необхідно знайти значення ta₀ та ta₁.

Розрахуємо дисперсійно-коваріаційну матрицю параметрів:

               σ²_a0       σ_a0a1                                                                    0,18    -0,07

 

covA =     σ_a0a1σ²_a1          =   σ²_u * (Х’Х)^-1=        -0,07   0.04

 

 

 

σа₀= 0,42

σа₁= 0,19

ta₀=a₀/σа₀ = 6,08568

ta₁=a₁/σа₁ =3,88198

 

Для ймовірностіά = 0,05, t_ά = 2,447

ta₀ > t_άta₁ > t_ά

Отже, параметри значущі.

Для того, щоб оцінити  значущість данноїеконометричної моделі, необхідно знайти значення F_p та F_ά та здійснити їх порівняння.

Визначаємо значення F_p:

F_p = F_p = R²/(1-R²)*(n-m-1)/m =15,07

F_ά = 5,99

F_p>F_ά

Отже, модель значуща.

 

5.Розрахунок інтервальних  прогнозів математичного сподівання  і індивідуального значення залежної  змінної на 1 рік

Для знаходження індивідуального  значення залежної змінної на Y на n+1 рік необхідно відповідне індивідуальне  значення незалежної змінної Х. Нехай  Х  9го року = 5,8. Тоді значення Y Знаходиться як результат множення матриці Х₁₁ (транспоновану) на оператор 1НМК (А):

                                 2,5625

Y₉= (1; 5,8) *             0,75          =6,91

 

 

 

Отже, на 9(n+1)рік залежна  змінна Y за значення незалежної змінної Х= 5,8 набуде значення 6,91.

Для знаходження прогнозів  математичного сподівання залежної змінної Y на n+1 рік необхідно знайти нижню та верхню межу даного прогнозу. Розраховуються за формулами:

НМ = Y - t_{ά *}σ_е

ВМ = Y+t_{ά *}σ_е

Знайдемо σ_е за формулою:

σ²_е =  σ²_{u *} (1/n+ (Х₁₁- Х_сер)²/∑(Х_t– Х_cер)²) = 0,62

σ_е= 0,79

НМ =3,87

ВМ = 7,73

Отже, з імовірністю 0,95 (95%) середнєспоживання на 9 рік будє в межах 3,87<=M(Y₉)<=7.73

σ²_{е (індивідуальне)} = σ²_е + σ²_u= 0,85

σ_{е (індивідуальне)}   = 0,92

НМ=3,54

ВМ = 8,06

Отже, з імовірністю 0,95 (95%) індивідуальне значення споживання на 9 рік буде в межах 3,54<=(Y₉)<=8,06