Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Января 2011 в 16:20, контрольная работа
Необходимое условие не является достаточным, чтобы стационарная точка была точкой экстримума. Для получения достаточных условий необходимо определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциал второго порядка обозначается и равен сумме произведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов. Если от частной производной найти частную производную по переменно й , то получим частную производную второго порядка по переменным , которая обозначается
1.Теоретическая часть.
Модели нелинейного программирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.Практическая часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Задача №2.2 18
Задача №6.1 22
Задача №8.3 23
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………… 28
Сведем систему неравенств к виду системы уравнений, введя неотрицательные переменные X3, X4, X5:
-X1 - X2 + X3 = -2
-X1 +2X2 + X4 = 4
X1 +2X2+X5 = 8
X1³0, X2³0, X3³0, X4³0, X5³0
F=2X1-6X2 -> max
Первая симплексная таблица:
| Базис | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | B |
| X3 | -1 | -1 | 1 | 0 | 0 | -2 |
| X4 | -1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 4 |
| X5 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 8 |
| F | -2 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В столбце
свободных членов В есть отрицательный
коэффициент. Исключим его, введя в базис
X1 вместо X3
(т.к.min((-2):(-1),(-2):(-1))=
| Базис | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | B |
| X1 | 1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 2 |
| X4 | 0 | 3 | -1 | 1 | 0 | 6 |
| X5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 6 |
| F | 0 | 8 | -2 | 0 | 0 | 4 |
В строке F есть отрицательные коэффициенты, и в соответствии с критерием оптимальности, мы не достигли точки max. Введем в базис X3 (отрицательный коэффициент в строке F) вместо X5. Воспользуемся правилом прямоугольника и составим 3-ю симплексную таблицу:
| Базис | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | B |
| X1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 8 |
| X4 | 0 | 4 | 0 | 1 | 1 | 12 |
| X3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 6 |
| F | 0 | 10 | 0 | 0 | 2 | 16 |
В последней строке F нет отрицательных коэффициентов, и в соответствии с критерием оптимальности, мы достигли точки max.
То
есть Fmax достигается при X1=8,
X2=0 и Fmax=16.
Задача содержит 2 переменные и может быть решена геометрически:
Построим на плоскости Х1ОX2 множество точек, удовлетворяющих системе неравенств (1).
Множество точек, удовлетворяющих системе неравенств (1) на рис. заштриховано - это четырехугольник ABCD. F – линия уровня, направление возрастания которой указывает вектор-градиент а(2;-6) (для удобства построения рассмотрим вектор а(1;-3)). При движении F в направлении а видим, что в последний раз F пересекает область четырехугольника ABCD в точке C. Найдем координаты точки C:
x1 +2x2 =8
x2=0 => x1=8 ; x2=0 и C(8;0).
Таким
образом, max F= F(C)= F(8;0)=2•8-6•0=16. Решение то
же.
Б)
при ограничениях:
(2)
Решаем симплекс- методом:
Сведем систему неравенств к виду системы уравнений, введя неотрицательные переменные X3, X4, X5:
X1 + X2 - X3 = 4
2X1 -X2 - X4 = 2
-X1 -2X2-X5 = -10
X1³0, X2³0, X3³0, X4³0, X5³0
или
-X1 - X2 + X3 = -4
-2X1 + X2 + X4 = -2
X1 + 2X2 + X5 = 10
X1³0, X2³0, X3³0, X4³0, X5³0
F=2X1-X2 -> min
Первая симплексная таблица:
| Базис | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | B |
| X3 | -1 | -1 | 1 | 0 | 0 | -4 |
| X4 | -2 | 1 | 0 | 1 | 0 | -2 |
| X5 | 1 | 2 | 0 | 0 | 1 | 10 |
| F | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В столбце
свободных членов В есть отрицательные
коэффициенты. Избавимся от них. Исключим
из базиса переменную X3, введя вместо
нее X1(т.к.min((-4):(-1),(-4):(-1)
| Базис | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | B |
| X1 | 1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 4 |
| X4 | 0 | 3 | -2 | 1 | 0 | 6 |
| X5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 6 |
| F | 0 | 3 | -2 | 0 | 0 | 8 |
В строке F есть положительные коэффициенты, и в соответствии с критерием оптимальности, мы не достигли точки min. Введем в базис X2 (положительный коэффициент в строке F) вместо X4 (т.к.min(4:1,6:3,6:1)=6:3).. Воспользуемся правилом прямоугольника и составим 3-ю симплексную таблицу:
| Базис | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | B |
| X1 | 1 | 0 | -1/3 | -1/3 | 0 | 2 |
| X2 | 0 | 1 | -2/3 | 1/3 | 0 | 2 |
| X5 | 0 | 0 | 5/3 | -1/3 | 1 | 4 |
| F | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 2 |
В последней строке F нет положительных коэффициентов, и в соответствии с критерием оптимальности, мы достигли точки min.
То есть Fmin достигается при X1=2, X2=2 и Fmin=2.
Задача содержит 2 переменные и может быть решена геометрически:
Построим на плоскости Х1ОX2 множество точек, удовлетворяющих системе неравенств (2).