Модель динамика популяций

Содержание

1. Введение

2. Математические модели

3. Математическое  моделирование

4. Динамика  популяций

5.   Популяция

6. Модель  неограниченного  роста численности  популяции

7. Модель  Мальтуса (рождаемость  смертность)

start="8"

 Модель  Ферхюльста (рождаемость  и смертность с  учетом роста численности)

9. Заключение

10. Список  литературы

 
 
 
 
 

1.Введение 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Математические модели

Математическая  модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называетсякомпьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом. 
 
 

3.Математическое моделирование 

Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование  и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех  случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений. 
 
 
 
 
 
 
 

4.Динамика популяций 

Ключевые понятия: популяция - давление среды - емкость  среды - динамика численности популяции

Как мы уже отмечали, каждый вид на Земле занимает определенный ареал - в силу того, что каждый вид  способен существовать лишь в определенных условиях среды. Однако условия обитания в рамках ареала одного вида (особенно, если речь идет об эврибионтном виде) могут существенно отличаться. Это (и не только это) приводит к тому, что на территории, занимаемой видом, возникают достаточно обособленные группы особей, которые отличаются друг от друга целым рядом признаков.

Эти группы особей в  пределах одного вида получили название популяции.

ПОПУЛЯЦИЯ - элементарная группировка особей одного вида, занимающая определенную территорию и обладающая всеми необходимыми условиями для поддержания своей стабильности длительное время в меняющихся условиях среды.

Это - определение  С.С. Шварца, не трудно заметить, что  он определял популяцию с эвлоюционно-экологических  позиций. В то же время есть не мало определений понятия "популяция" с точки зрения генетики, экологии. Нам будет удобнее использовать определение Николая Федеровича Реймерса:

ПОПУЛЯЦИЯ - это совокупность особей одного вида, имеющих общий  генофонд и населяющих определенное пространство, с относительно однородными условиями обитания.

Динамика численность  популяции и ее структура (возрастной, половой состав) являются ее важнейшими характеристиками. Знание типа роста  популяции и ее структуры, как  мы увидем ниже, имеет важное экологическое значение. Кроме того, динамика численности популяции является излюбленным объектом для создания разнообразных математических моделей.

Численность популяции  обычно обозначают заглавной N. Отношение  прироста N к единице времени dN/dt выражает мгновенную скорость изменения численности популяции, то есть изменение численности в момент времени t.

Не трудно догадаться, что прирост популяции будет  зависеть от двух факторов - рождаемости  и смертности. Разумеется, при условии  отсутствия эмиграции и иммиграции (такая популяция называется изолированной). Разность рождаемости b и смертности d и представляет собой коэффициент прироста изолированной популяции:

r=b - d

Различают максимальную мгновенную скорость прироста популяции rmax и фактическую скорость увеличения популяции ra. При воображаемых идеальных условиях, когда рождаемость максимальна, а смертность минимальна, raдостигает наибольшей величины - rmax.

Если бы скорость прироста оставалась постоянной, то рост численности  популяции происходил по экспоненте:

dN/dt=rN;

Nt=N0ert.

Здесь Nt - численность популяции в момент времени t, N0 - начальная численность численность популяции, r - скорость прироста (в расчете на одну особь), а e - основание натурального логарифма. Такая экспоненциальная зависимость изображена на рисунке ниже красной линией и носит название биотического потенциала, так как, как правило, она отражает лишь ту потенциальную численность, которую бы могла иметь популяция в случае отсутствия различных ограничивающих ее рост факторов.

Поэтому в естетсвенных условиях обычно наблюдается иная зависимость  численность популяции от времени. Это зависимость описывается S-образной логистической кривой (она изображена на графике зеленой линией). По достижении какого-то предела график выходит на плато, численность стабилизируется и испытывает только сезонные и разногодичные флуктуации, связанные с изменением погодных условий, численности других популяций (являющихся хищниками или, наоборот, пищевыми ресурсами по отношению к данной популяции) и другими внешними факторами.

Что касается математического  выражения этой зависимости, то она  отличается от экспоненциальной наличием корректирующего фактора: (К-N)/K, где K - максимально возможная в данных условиях численность популяции. K называется также емкостью среды, а область на графике между кривой биотического потенциала и логистической кривой - давлением среды. Соответственно, уравнение для этой зависимости с учетом крректирующего фактора будет выглядеть так:

dN/dt=rN[(K-N)/K].

Наличие определенной емкости среды, ограничивающей рост популяции, является важной экологической  закономерностью. Устойчивое существование  всего биотического сообщества связано  с существованием механизмов, регулирующих численность составляющих сообщество популяций. В экологии известно не мало примеров, когда нарушение этих механизмов (например, интродукция видов в экосистемы, где у них нет естественных врагов) приводило к плачевным последствиям.

Хочется особо сказать  о человеческой популяции. Споры  о существовании "пределов роста" и емкости среды применительно  к человечеству не утихают до сих  пор. Оптимисты уверяют, что человечество может увеличиваться в численности  до бесконечности: вот изобретем, как получать еду из пыли путем перегруппировки атомов, расселимся по другим планетам. Пессимисты предсказывают скорый коллапс: как только численность человеческой популяции превысит критический уровень. В оценке этого "критического" уровня и скорости приближения к нему эксперты также расходятся.

5.Популяция

Популяция - это совокупность особей одного вида, находящихся во взаимодействии между собой и совместно заселяющих общую территорию 
Основные характеристики популяции: численность, плотность, рождаемость, смертность, темп роста и др. 
Кроме того, популяции имеют определенную структуру:возрастную(соотношение особей разного возраста), сексуальную(соотношение полов), пространственную (колонии, семьи, стаи и пр.). Так возрастная структура популяции является важной характеристикой влияющей на рождаемость и смертность. Соотношение разных возрастных групп в популяции определяет ее способность к размножению в данный момент, причем обычно в быстро растущих популяциях значительную долю составляют молодые особи. Соотношение молодых особей у промысловых птиц и пушных зверей к численности всей популяции определяет во время охотничьего сезона размер допустимых квот на отстрел или отлов.  
Соотношение полов также имеет практическое значение (стада домашних животных, когда без ущерба динамики численности популяции можно изъять определенное количество особей того или иного вида)  
 

6.Модель неограниченного роста численности популяции

Все живые организмы  теоретически способны к очень быстрому увеличеню численности. При неограниченных ресурсах и отсутствии гибели от болезней, жищников и т.п. даже при низкой исходной численности популяция любого вида за сравнительно короткий срок может так вырасти, что покроет весь земной шар сплошным слоем. 
Способность к увеличению численности за данный промежуток времени называют биотическим потенциалом вида 
У разных видов биотический потенциал разный: у крупных млекопитающихся численность может возрастать в год лишь в 1,05 - 1,1 раза, а у мелких насекомых (рачков, дафний) численность в год может возрасти в 10¹⁰-10³⁰раз. А у бактерий и одноклеточных водорослей еще быстрее. Во всех этих случаях, при идеальных условиях численность будет расти в геометрической прогрессии и график изменения численности будет представлять собой экспоненту. Рост численности в геометрической прогрессии называется экспонециальным ростом.  
В лабораторных условиях наблюдать экспоненциальный рост можно в популяциях дрожжей, водоросли хлореллы, бактерий на начальных стадиях роста. 
В природе экспоненциальный рост наблюдается при вспышках саранчи, непарного шелкопряда и других насекомых. Экспоненциально может расти численность животных, заселенных в новую местность, где у них мало врагов и много пищи ( класический пример - рост численности кроликов, завезенных в Австралию). 
Во всех этих случаях экспоненциальный рост наблюдается в течене коротких промежутков времени, после чего скорость роста численности снижается. 
Построим модель неограниченного роста амеб. 
Постановка задачи: 
Одноклеточная амеба делится каждые 3 часа на двое. Построить модель роста численности клеток через 3,6,9,12... часов. Факторы, приводящие к гибели амеб не учитываются. 
Математическая модель 
Формула нарастания времени : 
T(I+1)=T(I)+A 
А - интервал нарастания времени (для амеб он равен 3) 
Формула для расчета численности амеб 
K(I+1)=K(I)*B 
где K(I) - численность амеб в I-й промежуток времени, K(I+1) - количество амеб в I+1 -й момент времени, B - биотический потенциал амеб (он равен 2 для промежутка времени 3 часа )  
Компьютерная модель 
Создадим таблицу вида:

 
Так как расчет рождаемости и  смертности у популяции людей вычисляется на 1000 человек, то биотический потенциал следует уменьшить в 1000 раз (смотри формулу в В3) 

7.Модель Мальтуса (рождаемость смертность)

 

В популяциях микроорганизмов  удельная скорость роста зависит  от скорости деления клеток. Исходные клетки делятся на дочерние, что и определяет прирост численности. 
В популяциях многоклеточных организмов удельная скорость роста зависит от рождаемости и смертности.  
Рождаемость характеризует частоту появления новых особей в популяции. Раличают рождаемость абсолютную и удельную. Абсолютная рождаемость - число особей , появившихся в популяции за единицу времени. Удельная рождаемость выражается в числе особей на особь в единицу времени. Например, для популяции человека как показатель удельной рождаемости обычно используют число детей, родившихся в год на 1000 человек. 
Смертность (абсолютная и удельная) характеризуетскорость убывания численности популяции, вследствии гибели особей от хищников, болезней, старости и т.д. 
Используя такие параметры модели изменения численности популяции , австрийский священник Мальтус опубликовал в 1802 году результаты своих исследований , основанных на данных о росте населения в американских колониях. Приведем его рассуждения. 
Математическая модель 
Пусть в популяции с начальной численностью N особей за промежуток времени dt появляется dN овых особей. Если число вновь появившихся особей прямо пропорционально N и dt. то имеем уравнение dN=r*dt*N. Разделив обе части на dt получим  
dN/dt = r*N (1) 
dN/dt - абсолютная скорость роста численности , r - биотический потенциал 
решением уравнения (1) будет 
N(t)=N₀*e^rt (2) 
в дискретном виде это уравнение можно записать так 
N(t+1)=N₀*e^r*(t-t0) (3) 
Это уравнение можно взять за основу при создании компьютерной модели. 
Компьютерная модель