Математическое моделирование экономических систем

Свойства объекта  и его поведение зависят от того, каким образом мы его представляем в виде системы. Например, если воздух, находящийся в этой комнате, представить  в виде системы молекул, каждая из которых характеризуется своими координатами и скоростью, то поведение такой системы будет эргодично, если же определить его как систему, состоящую из одного элемента, показателями которого являются давление и температура, то такая система находится в равновесном режиме.

Для всех практических задач второй способ определения системы предпочтительнее. Мы получаем простую детерминированную систему, а в первом случае - сверхсложную вероятностную, которую мы не сможем исследовать, а если бы даже смогли, то нигде бы не использовали полученные результаты. Необходимо правильное определение системы и при исследовании экономических объектов, которыми мы желаем управлять. Инструментом исследования объектов для целей выбора оптимальных способов управления является кибернетическое моделирование.

1.4. Кибернетическое  моделирование

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно  или даже невозможно иметь дело непосредственно  с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые  важны в данном исследовании. Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет - это дешевле. При теоретическом исследовании атомного ядра физики представляют его в виде капли жидкости, имеющей поверхностное натяжение, вязкость и т.п. Управляемые объекты являются, как правило, очень сложными, поэтому процесс управления неотделим от процесса изучения этих объектов.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

При моделировании  используется аналогия между объектом - оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1) внешняя аналогия (модель самолета, корабля, микрорайона, выкройка); 
2) структурная аналогия (водопроводная сеть и электросеть моделируются с помощью графов, отражающих все связи и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов); 
3) динамическая аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический колебательный контур; 
4) кибернетические модели относятся ко второму и третьему типу. Для них свойственно то, что они реализуются с помощью ЭВМ. Смысл кибернетического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием, которое помещается в память ЭВМ вместе с программами, реализующими изменения показателей объекта, предусмотренные этим описанием.

С описанием  производят машинные эксперименты: меняют те или иные показатели, т.е. изменяют состояние объекта и регистрируют его поведение в этих условиях. Часто поведение объекта имитируется  во много раз быстрее, чем на самом  деле, благодаря быстродействию ЭВМ. Кибернетическую модель часто называют имитационной моделью.

Формирование  описания объекта (его системный  анализ) является важнейшим звеном кибернетического моделирования. Вначале  исследуемый объект разбивается  на отдельные части и элементы, определяются их показатели, связи между ними и взаимодействия (энергетические и информационные). В результате объект оказывается представленным в виде системы. При этом очень важно учесть все, что имеет значение для той практической задачи, в которой возникла потребность в кибернетическом моделировании, и вместе с тем не переусложнить систему. 
Следующим этапом является составление математических моделей эффективного функционирования объекта и его системной модели. Затем производится программирование описания и моделей его функционирования.

2. Управление

2.1. Понятие управления

Управление - это такое входное воздействие или сигнал, в результате которого система ведет себя заданным образом. Обычно управление направлено на то, чтобы система находилась в стационарном режиме (равновесном или периодическом).

Управление развитием  системы - это воздействия или  сигналы, направленные на изменение  структуры или множества состояний  системы. Например, план реконструкции  предприятия. В этом случае осуществляется управление поведением системы, которая реализует развитие данной системы.

Таким образом, управление всегда имеет определенную цель. Обычно она формулируется как  ограничение на множество возможных  состояний системы, или какой-либо показатель системы, который нужно  поддерживать в заданных пределах, либо максимизировать. Если известна зависимость указанного показателя от входных воздействий на систему, или ее состояния, то он называется целевой функцией.

Часто цель не может  быть достигнута сразу, а необходимо пройти несколько этапов, на каждом из которых имеется локальная цель, не совпадающая с главной целью. Эти локальные цели называются задачами управления. Пример: автобус идет по маршруту. Цель - конечный пункт. Задача - проехать по данной улице. Может оказаться, что направление движения по улице сильно отличается от направления на конечный пункт.

Для осуществления  процесса управления нужно наличие  трех элементов:

- управляемый  объект; 
- орган управления; 
- исполнительный орган.

Орган управления - это система, на вход которой поступают сигналы о состоянии управляемого объекта и среды, а на выходе - сигнал о необходимом в данной ситуации управлении.

Исполнительный  орган - это система, на вход которой поступает сигнал о необходимом управлении, а на выходе вырабатывается управляющее воздействие на управляемый объект.

Система управления объединяет орган управления и исполнительный орган.

Системы управления бывают следующими:

1) ручные - без  использования вычислительной техники; 
2) автоматизированные - используется вычислительная техника, которая принимает на себя основной поток информации, однако человек остается важнейшим звеном системы управления, функцией которого является принятие решений либо утверждение решений, выработанных ЭВМ; 
3) автоматические - человек не участвует в процессе управления и не входит в данную систему управления. Обычно он осуществляет контроль за правильностью функционирования объекта управления и вмешивается только при возникновении особых (например, аварийных) ситуаций. В автоматических системах управления человек является звеном другой системы управления, для которой управляемым объектом является данная автоматическая СУ с ее управляемым ею объектом.

2.2. Схема управления

Исполнительный  орган изображен в виде вентиля, что отражает процесс, происходящий в нем: маломощное воздействие приводит в движение большой поток энергии, который идет в УО в качестве управляющего воздействия (выключатель, кран и т.п.), т.е. ОУ сам является исполнительным органом по отношению к ИО.

2.3. Способы управления

Различают три  способа управления, в зависимости от того, на основании какой информации ОУ формирует управляющий сигнал.

1) Управление  по отклонению - используются сведения  об изменениях выхода УО, его  поведения. Этот способ реализует  замкнутая схема управления.

Здесь имеется замкнутый контур y -> u -> x -> y , поэтому такая схема управления называется замкнутой. Связь ОУ -> УО называется прямой, УО -> ОУ - обратной связью.

Обратная связь  может быть положительной и отрицательной. Положительная обратная связь такая, при которой увеличение y приводит к таким значениям x, которые влекут дальнейший рост y, при отрицательной - рост y приводит к значениям x, вызывающим уменьшение y.

Примеры положительной  обратной связи: цепные реакции, взрыв, система аварийной сигнализации. Во всех подобных случаях небольшое отклонение должно вызвать как можно более энергичную реакцию управляемого объекта.

Отрицательная обратная связь осуществляется, например, при управлении запасом товаров  на складе: при возникновении существенного  отклонения запаса от нормативного предпринимаются меры по устранению этого отклонения - завоз товаров, либо реализация излишка.

2) Управление  по возмущению или нагрузке - используются  сведения о возмущающих воздействиях  на управляемый объект со стороны  окружающей среды. Этот способ управления реализует разомкнутая схема управления.

                       +-------+                    ¦

                       ¦  ОУ   ¦<-------------------¦

                       +-------+                    ¦B

                           ¦                        ¦

                           ¦u                      \¦/

   +-------+               ¦                    +-------+

   ¦  ИЭ   ¦_____________¦\¦/¦__________________¦  УО   ¦____________

   +-------+             ¦/ \¦               x  +-------+      y

3) Комбинированное управление является сочетанием двух предыдущих способов управления.

                       +-------+                    ¦

                       ¦       ¦<-------------------¦---------+

                       ¦  ОУ   ¦<-------------------¦         ¦

                       +-------+                    ¦B        ¦

                           ¦                        ¦         ¦

                           ¦u                      \¦/        ¦

   +-------+               ¦                    +-------+     ¦

   ¦  ИЭ   ¦_____________¦\¦/¦__________________¦  УО   ¦_____¦______

   +-------+             ¦/ \¦               x  +-------+      y

Замкнутая система  управления позволяет быстро реагировать  на нежелательные отклонения в поведении объекта, с целью устранить эти отклонения. Однако она не следит за причинами, вызвавшими отклонения. В результате объект может выйти из-под контроля, а управление только замедлит его нежелательное поведение. Пример: лечение рака аспирином. Замкнутая система поддерживает равновесие, она обеспечивает достижение цели управления, когда возмущающих воздействий много и не все они могут быть измерены, а также когда заранее не известно влияние возмущений на управляемые величины.

Разомкнутая система  управления учитывает причины (возмущения среды), которые вызывают то или иное поведение объекта. Она позволяет лечить болезнь, а не симптомы. Однако результат управления проявляется медленно, может оказаться, что объект уже пришел в нужное состояние, однако продолжаются управляющие воздействия, которые выводят его из этого состояния.

Если СУ реагирует  на каждое, даже случайное, отклонение, то может возникать "рысканье" системы, ее неустойчивость.

Комбинированная СУ позволяет осуществлять учет длительно  действующих, запаздывающих по своему действию причин (возмущения среды) и фактических результатов управления (поведения объекта). Вначале происходит грубая настройка объекта на условия его работы, затем точное регулирование в соответствии с фактическим поведением объекта.

2.4. Задачи управления

Имеются четыре основных задачи управления: 
1) стабилизация; 
2) программное управление; 
3) слежение; 
4) оптимальное управление.

Стабилизация  системы - это поддержание ее выходных показателей вблизи заданных значений у0.

              +----------------+       y

              ¦                ¦<-----------------------------+

              ¦ |y-y0|< eps    ¦                              ¦

              +----------------+                    ¦B        ¦

                           ¦                        ¦         ¦

                           ¦u                      \¦/        ¦

   +-------+               ¦                    +-------+     ¦

   ¦  ИЭ   ¦_____________¦\¦/¦__________________¦  УО   ¦_____¦______

   +-------+             ¦/ \¦               x  +-------+      y

Примеры:

1) Система управления  организма - поддержание температуры  тела, давления крови и т.п. 
2) электроснабжение - стабилизация напряжения и частоты тока. 
3) управление народнохозяйственным комплексом - поддержание стабильных значений основных макроэкономических показателей.

Программное управление - поддержание выходных показателей  вблизи заданных значений y0, зависящих  от времени заданным образом. Схема - та же, с заменой y0 на y0(t).

Примеры:

1) вывод ракеты  на спутниковую орбиту, причем наилучшая траектория У0(t) заранее известна - рассчитана, исходя из свойств земной атмосферы и тяготения; 
2) станок с числовым программным управлением; 
3) программа "500 дней". 
4) федеральные и региональные целевые программы социально-экономического развития