Математические модели в экономике

Присваиваем ячейкам, содержащим итоговые прибыль, финансовые, трудовые и сырьевые затраты, а также количества продукции, имена, соответственно: "Прибыль", "Финансы", "Трудозатраты", "Сырье", "Пр1", "Пр2", "Пр3", "Пр4". Excel включит эти имена в отчеты.

Вызываем диалоговое окно Поиск решения командами Сервис-Поиск решения…

Назначение целевой  функции.

Устанавливаем курсор в окно Установить целевую ячейку и щелчком мыши по ячейке "Прибыль" заносим в него ее адрес. Вводим направление целевой функции: Максимальному значению.

Вводим адреса искомых переменных, содержащих количества продукций 1-4, в  окно Изменяя ячейки.

Ввод ограничений.

Щелкаем по кнопке Добавить. Появляется диалоговое окно Добавление ограничений. Ставим курсор в окошко Ссылка на ячейку и заносим туда адрес ячейки "Трудозатраты". Открываем список условий и выбираем <=, в поле Ограничение вводим адрес ячейки "Ресурс-Трудозатраты". Щелкаем по кнопке Добавить. В новое окно Добавление ограничений аналогично вводим ограничение по финансам. Щелкаем по кнопке Добавить, вводим ограничение по сырью. Щелкаем по ОК. ввод ограничений закончен. На экране снова появляется окно Поиск решения, в поле Ограничения виден список введенных ограничений.

Ввод граничных условий.

Ввод ГРУ не отличается от ввода  ограничений. В окне Добавление ограничений в поле Ссылка на ячейку при помощи мыши вводим адрес ячейки "Фин2". Выбираем знак <=. В поле Ограничение записываем 50. Щелкаем по Добавить. Вводим при помощи мыши адрес ячейки "Фин4". Выбираем знак <=. В поле Ограничение записываем 50. Щелкаем по ОК. возвращаемся в окно Поиск решения. В поле Ограничения виден полный список введенных ОГР и ГРУ (рис.1).

Рисунок 1.

Ввод параметров.

Щелкаем по кнопке Параметры. Появляется окно Параметры поиска решения. В поле Линейная модель ставим флажок. Остальные параметры оставляем без изменения. Щелкаем по ОК (рис.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.

 

Решение.

В окне Поиск решения щелкаем по кнопке Выполнить. На экране появляется окно Результаты поиска решения. В нем сообщается "Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены".

Создание и сохранение отчетов

Для ответа на вопросы задачи нам  понадобятся отчеты. В поле Тип отчета мышью выделяем все типы: "Результаты", "Устойчивость" и "Пределы".

Ставим точку в поле Сохранить найденное решение и щелкаем по ОК. (рис. 3). Excel формирует затребованные отчеты и размещает их на отдельных листах. Открывается исходный лист с расчетом. В графе "Количество" - найденные значения для каждого вида продукции.

Рисунок 3.

Формируем сводный отчет. Копируем и располагаем на одном листе  полученные отчеты. Редактируем их, так чтобы все разместить на одной  странице.

Оформляем результаты решения графически. Строим диаграммы "Количество продукции" и "Распределение ресурсов".

Для построения диаграммы "Количество продукции" открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем объемный вариант обычной гистограммы. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон данных =Лидовицкий! $C$14: $F$15. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы "Количество продукции". Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы.

Для построения диаграммы "Распределение  ресурсов" открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем трехмерную гистограмму. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон: Лидовицкий! $A$17: $F$19; Лидовицкий! $C$14: $F$14. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы "Распределение ресурсов". Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы (рис 4).

Рисунок 4.

 

Данные диаграммы иллюстрируют наилучший, с точки зрения получения  наибольшей прибыли, ассортимент продукции  и соответствующее распределение  ресурсов.

Печатаем лист с таблицами исходных данных, с диаграммами и результатами расчета и лист со сводным отчетом  на бумаге.

Анализ найденного решения. Ответы на вопросы

 

Согласно отчету по результатам.

Максимальная прибыль, которую  можно получить при соблюдении всех условий задачи, составляет 1292,95 р.

Для этого необходимо выпускать  максимально возможное количество продукции № 2 - 172,75 и № 4 - 29,41 единиц с финансовыми затратами не превышающими 50 р. на каждый вид, и продукции № 1 - 188,9 и № 3 - 213,72. При этом ресурсы  по трудозатратам, финансам и сырью  израсходуются полностью.

Согласно отчету по устойчивости.

Изменение одного из исходных данных не приведет к другой структуре найденного решения, т.е. к другому ассортименту продукции, необходимому для получения  максимальной прибыли, если: прибыль  от реализации единицы продукции  №1 не увеличится более чем на 1,45 и уменьшится не более чем на 0,35. Таким образом:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

прибыль от реализации единицы продукции  №2 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 1,61. Таким образом:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

прибыль от реализации единицы продукции  №3 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 0,39. Таким образом:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

прибыль от реализации единицы продукции  №4 может уменьшиться не более  чем на 2,81, т.е. на 56,2% и увеличиваться  неограниченно. Таким образом: прибыль 4 > 2,19 = (5 - 2,81) ресурс по сырью может  быть увеличен на 380,54, т.е. на 47,57% и уменьшен на 210,46, т.е. на 26,31%. Таким образом: 589,54 < С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Согласно отчету по пределам:

Количество выпускаемой продукции  одного из видов может изменяться в пределах от 0 до найденного оптимального значения, это не приведет к изменению  ассортимента продукции, необходимого для получения максимальной прибыли. При этом, если на выпускать продукцию №1, то прибыль составит 971,81 р., продукцию №2 - 895,63 р., продукцию №3 - 865,51 р., продукцию №4 - 1145,89 р.

Выводы

 

Проведенное исследование математической модели и ее последующий анализ позволяет  сделать следующие выводы:

Максимально возможную прибыль, составляющую 1292,95 р., при выполнении всех заданных условий и ограничений можно  получить, если выпустить продукции  №1 - 188,9 единиц, продукции №2 - 172,75 единиц, продукции №3 - 213,72 единиц, продукции  №4 - 29,41 единицы.

После выпуска продукции все  ресурсы будут истрачены полностью.

Структура найденного решения наиболее сильно зависит от реализации единицы  продукции №1 и №3, а также от уменьшения или увеличения всех имеющихся  ресурсов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса

Теоретические положения.

Балансовый метод - метод взаимного сопоставления финансовых, материальных и трудовых ресурсов и потребностям в них. Балансовая модель экономической системы - это система уравнений, удовлетворяющих требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение продукта в отраслевом разрезе, в межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Схема межотраслевого баланса.

 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовый продукт
	1 2 3... j... n
1 2 3 . . . i . . . n	X11 X12 X13... X1j … X1n X21 X22 X23... X2j... X2n X31 X32 X33... X3j... X3n ... . ...I. . ... . Xi1 Xi2 Xi3... Xij... Xin ... . ... . ... . Xn1 Xn2 Xn3... Xnj... Xnn	Y1 Y2 Y3 . II . Yi . . . Yn	X1 X2 X3 . . . Xi . . . Xn
Амортизация Оплата труда Чистый доход Валовый продукт	C1 C2 C3 Cn U1 U2 U3 III Un m1 m2 m3 mn X1 X2 X3 Xn	IV

 

Каждая отрасль в балансе  является и потребляющей и производящей. Выделяют 4 области баланса (квадранты) имеющих экономическое содержание:

таблица межотраслевых материальных связей, здесь X_ij - величины межотраслевых потоков продукции, т.е. стоимость средств производства произведенных в i отрасли и потребных в качестве материальных затрат в j отрасли.

Конечная продукция - это продукция выходящая из сферы производства в область потребления, накопления, на экспорт и т.д.

Условно чистая продукция Zj - это сумма амортизации Cj и чистой продукции (Uj + mj).

Отражает конечное распределение  и использование национального  дохода. Столбец и строка валовой  продукции используется для проверки баланса и составления экономико-математической модели.

Итог материальных затрат любой  потребляющей отрасли и ее условно  чистой продукции равен валовой  продукции этой отрасли:

(1)

Валовая продукция каждой отрасли  равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции этой отрасли.

(2)

Просуммируем по всем отраслям уравнения 1:

Аналогично для уравнения 2:

Левая часть это валовый продукт, тогда и правые части приравниваем:

(3)

 

Постановка задачи.

Имеется четырехотраслевая экономическая система. Определить коэффициенты полных материальных затрат на основе данных: матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор валовой продукции (табл.2).

 

Таблица 2.

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат	Вектор валовой продукции
0,042 0,016 0,016 0,078 0,078 0,078 0,016 0,124 0,016 0,042 0,18 0 0 0,078 0,016 0,042	138 697 282 218

 

Составление балансовой модели.

Основой экономико-математической модели межотраслевого баланса являются матрицы  коэффициентов прямых материальных затрат:

(4)

 

Коэффициент прямых материальных затрат показывает какое количество продукции  i отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j отрасли.

Учитывая выражение 4, выражение 2 можно  переписать:

(5)

- вектор валовой продукции.

- вектор конечной продукции.

Матрицу коэффициентов прямых материальных затрат обозначим:

 

Тогда система уравнений 5 в матричной  форме:

 

(6)

 

Последнее выражение это модель межотраслевого баланса или модель Леонтьева. При помощи модели можно:

Задав величины валовой продукции  Х определить объемы конечной продукции  Y:

 

(7)

 

где Е - единичная матрица.

Задав величины конечной продукции  Y определить значение валовой продукции Х:

 

(8)

 

обозначим через В величину (Е-А) - ¹, т.е.

, то элементы матрицы В будут .

 

Для каждой i отрасли:

- это коэффициенты полных  материальных затрат, показывают  какое количество продукции i отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j отрасли.

Для расчета экономико-математической модели межотраслевого баланса с  учетом заданных величин:

Матрицы коэффициентов  прямых материальных затрат:

 

Вектора валовой продукции:

Единичную матрицу, соответствующую  матрице А примем:

 

Для расчета коэффициентов полных материальных затрат воспользуемся  формулой:

Для определения валовой продукции  по всем отраслям, формулой:

Для определения величины межотраслевых  потоков продукции (матрица х) определим элементы матрицы х по формуле:

, где i = 1…n; j = 1…n;

n - количество строк и столбцов квадратной матрицы А.

Для определения вектора условно  чистой продукции Z элементы вектора вычисляются по формуле:

Решение задачи на компьютере

 

Загружаем программу Mathcad.

Создаем файл под именем Lidovitskiy-Kulik. mcd. в папке Эк/к 31 (2).

На основании предварительных  установок (шаблона) создаем и форматируем  заголовок.

Вводим с соответствующими комментариями (ORIGIN=1) заданные матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А и вектор валовой Х продукции (все надписи и обозначения вводим латинским шрифтом, заданные формулы и комментарии должны располагаться либо на уровне, либо выше рассчитываемых значений).

Рассчитываем матрицу коэффициентов  полных материальных затрат В. Для этого  вычисляем единичную матрицу, соответствующую матрице А. Для этого используем функцию identiti (cols (A)).

Рассчитываем матрицу В по формуле:

 

 

Определяем объемы валовой продукции  по всем отраслям Y по формуле:

Определяем матрицу х величин межотраслевых потоков продукции. Для этого определяем элементы матрицы, задавая комментарии:

i=1. rows (A) j=1. cols (A) x_i,j=A_i,j ·X_j

После этого находим матрицу х.

Рассчитываем вектор условно чистой продукции Z, задав для этого формулу:

Поскольку в балансе Z - это вектор-строка, найдем транспонированный вектор Z^T.

Найдем итоговые суммы:

9.11.1 Условно чистой продукции: 

9.11.2 Конечной продукции: 

9.11.3 Валовой продукции: 

Печатаем результаты решения на бумаге.