Көп айнымалы функция

8. дәріс. КӨП АЙНЫМАЛЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИЯЛАРЫ – 2 сағат

1. Айнымалылар арасындағы функциялық тәуелділік. 

    Біз осы уақытқа дейін , бірі  екіншісіне тәуелді  болып,  бірге қосыла өзгеретін екі  айнымалыны оқып үйрендік: тәуелді  айнымалы мәнімен тәуелді айнымалы  немесе функция мәні толық  анықталады. Бірақ ғылымда болсын, өмірде болсын тәуелсіз айнымалылар  саны бірнешеу болып та кездесе  береді, мұндай жағдайда  функция  мәнін анықтау үшін алдымен  сол тәуелсіз айнымалылардың  бірге қабылдайтын мәндерін тағайындау  керек. 

1. Мысалы, дөңгелек цилиндрдің көлемі  V  оның табан радиусы мен биіктігі функциясы ; осы айнымалылардың арасындағы тәуелділік формуласымен өрнектеледі.  Бұл өрнек бойынша тәуелсіз айнымалылар мен мәндері бойынша оларға сәйкес V  мәнін табуға болады.

  Қиық  конус көлемі V  тәуелсіз үш айнымалының – екі табанының радиустары мен және биіктігі тың функциясы болатыны мына формуласынан көрініп тұр.

2. Ом заңы бойынша тізбектегі электр тогының кернеуі V  тізбектегі кедергі мен ток  күші  мен қатысымен байланысқан. Егер V  мен -ді  берілген десек, онда -ді функциясы деп анықтауға болады. .
3. Цилиндр поршені астындағы газ массасының температурасы тұрақты емес десек., онда  бір моль газ массасының көлемі V және қысымы р оның абсолют температурасы Т-мен Клайперон формуласы деп аталатын мына  формуламен байланысады. Бұдан, мысалы, мен -ны тәуелсіз айнымалылар десек, онда функция -ні олар арқылы былай өрнектеуге болады:
4. Қандай да болмасын дененің физикалық күй-жағдайын оқып үйренгенде , оның қасиеттерінің бір нүктеден екінші нүктеде өзгеріп отыратындығын жиі байқауға болады. Мысалы,  тығыздық, температура , электр потенциалы  т.б. Бұл шамалардың барлығы да «нүкте функциялары » немесе нүкте координаталары ке тәуелді функциялар. Егер дененің физикалық күй-жағдайы уақытқа байланысты өзгеріп отырса, онда бұл тәуелсіз айнымалыларға тағы да уақыт қосылады. Бұл жағдайда  функция тәуелсіз 4 айнымалыға  байланысты болады.

  Бірнеше  тәуелсіз айнымалылардың функциялары  туралы ұғымды анықтау үшін алдымен  айнымалы саны екеу болатын қарапайым  жағдайдан бастаймыз.  

  Екі айнымалының функциялары  және олардың анықталу облыстары. 

    Екі  және тәуелсіз айнымалылардың өзгерісі жөнінде сөз еткенде, олар  қандай қос мәндерді бірге қабылдауы мүмкін болатындығын әр жолы көрсетіп отыру қажет; осы қос мәндердің жиыны айнымалылардың өзгеру облысы болады.

  Анықтама: Егер облысындағы тәуелсіз айнымалыларының әрбір қос мәніне қандай да бір ереже немесе заң бойынша тің жиынынан анықталған бір мәні сәйкес келсе , онда айнымалы (өзгеру облысы Z ) жиынындағы тәуелсіз айнымалылардың функциясы делінеді.  М жиыны функцияның анықталу облыс болып табылады. Тәуелсіз айнымалылар , -тің өздерін олардың функциясы -ке қатысты атқанда функция аргументі делінеді. арасындағы  функциялық тәуелділік  тәуелсіз айнымалы  біреу болғандағы жағдайдағыдай  былай белгіленеді: т.б. 

    Анықталу облыстары көрсетіліп, аналитикалық жолмен немесе формуламен  берілген функциялардың бірнеше  мысалдарын көрсетейік.

  Мына 1) және 2) формулалары барлық қос мәндер үшін формулаларды анықтайды. Мына3) формулалары сәйкес  немесе теңсіздіктерін қанағаттандыратын қос мәндер үшін ғана жарамды. Ал мына  5) формуласы және  -тің әрқайсысы теңсіздіктерін қанағаттандыратын мәндерінде ғана функцияны анықтайды.

  Енді  мынадай мысал келтірейік. 6) Үшбұрыш  қабырғалары ерекше өзгеретін болсын, бірақ олар қалай өзгерсе, де оның периметрі тұрақты шама ге тең дейік. Егер оның екі қабырғасын және  деп белгілесек, онда үшінші қабырғасы  тең болады. Демек, үшбұрыш х және у қабырғаларымен толық анықталады. Үшбұрыш ауданы олармен қалай байланысады? Герон формуласы бойынша  бұл аудан мынаған тең. Функцияның анықталу облысы бұл жолы  функцияны қарастыруға әкеп тірелген нақты мәселелерге  байланысты. Шынында да, үшбұрыштың әр қабырғасы  жарты периметрден кіші сан болғандықтан, 0теңсіздіктері орындалуы тиіс, бұл теңсіздіктер облысын сипаттайды. Сөйтіп , бір айнымалы функция үшін аргументтің стандарт өзгеру облыс (шектеулі немесе шектеусіз) аралық болса, екі айнымалы функция үшін аргументтің мүмкін өзгер облысы түрліше және күрделі болып кездесетінін көреміз. Бұл облыстарды олардың геометриялық интерпретациясын қолданып қарастыру мәселені көп жеңілдетеді. Шынында да, егер жазықтықта өзара перпендикуляр екі осьті  алып, оларға әдеттегідей және мәндерін өлшеп салсақ, онда әрбір қос мәндері мен нүкте жазықтықта бір мәнді анықталады, ал мұның координаталары  осы және сандары және керісінше де солай. Сонда анықталған қос мәндерді сипаттау үшін жазықтығында оларға сәйкес нүктелер қандай фигураны толтыратынын көрсету бәрінен де қолайлы.  Осыған қарап, 1) мен 2) функцияларды баге ұмтылғандағы рлық жазықтықта, 3) мен 4) функцияларды дөңгелекте анықталған дейді, сонымен қатар 3) мен 4) –де теңдік белгісінің болу –болмауына қарай облыс тұйық (яғни шеңбер енеді)немесе тік төртбұрышта анықталған , ақырында 6) функция ашық үшбұрышта қарастырылады.

    Суреттер.   Бұл геометриялық  интерпретация соншалықты қолайлы,  әдетте  қос сандардың өздерін нүктелер деп атайды, ал қандай да геометриялық бейне атымен атайды. Мысалы, теңсіздіктерін қанағаттандыратын «нүктелер » жиыны не қос сандар жиыны  «тік төртбұрыш»  болады,мұның өлшемдері ; мұны да аралық белгісіне ұқсас етіп символымен белгілейміз. Мына теңсіздігін қанағаттандыратын «нүктелер» немесе қос сандар жиыны радиусы центрі нүктесіндегі «дөңгелек » болады.

  Көп айнымалы функциялардың шегі.

   функциясы  шоғырлану нүктесі  болатын қандай да бір нүктелер жиыны -де анықталған дейік. Бір айнымалы функциясы шегінің анықтамасы сияқты айнымалылары сәйкес ұмтылғанда  әрбір саны  үшін саны табылып, орындалысымен болса, онда функциясының шегі А саны болады.  Сөйтіп, теңсіздігі нүктесінің мейлінше кішкене төңірегіне енетін М жиынының деп белгілеп, жоғарыда келтірілген анықтаманы геометрия терминдерін қолданып , былай айтуға болады: егер әрбір саны үшін саны табылып, ара қашықтық ен орындалса, онда функциясының М нүктесі -ге ұмтылғандағы (не )нүктесіндегі  шегі  делінеді.

  Жоғарыдағыдай М нүктесі  - ден өзгеше және М жиынынан алынған деп ұйғарылады. Сөйтіп , бұл теңсіздік нүктесінің мейлінше сфералық төңірегіндегі , бірақ нүктесінің өзі кірмейді, М жиынының барлық нүктелерінде орындалуы тиіс.Функция шегінің белгілеуін де анықтамаға сәйкес лайықтап жазуға болады. Функцияның шектеусіз шегі  туралы ұғым да осы сияқты тағайындалады. немесе    болғанда  немесе теңсіздіктерімен алмастырылады,мұндағы Е-алдын ала қалауымызша алынған оң сан.

  Қорытындыда тәуелсіз айнымалының кейбіреулері  шектеусіз шекке ұмтылатын жағдайын да қарастыруға болады. Мысалы, егер М облысында координаталары (оң) соншалықты  үлкен нүктелер табылса, онда нүктесі М-нің шоғырлану нүктесі болады.  Былай ұйғарғанда , әрбір

үшін табылып, болса, орындалса, онда А саны  функциясының айнымалыларының барлығы да

  ке  ұмтылғандағы шегі болады.Оны  былай белгілейді: .

Көп айнымалы функцияның үздіксіздігі және үзілістілігі.

  функциясы  өлшемді  кеңістік нүктелерінің кейбір жиыны М-де анықталған болсын, және нүктесі осы жиынның шоғырлану нүктесі болып, жиынның өзінде жатсын. Егер (1) теңдігі орындалса,  онда функциясын нүктесінде үздіксіз дейді, кері жағдайда функция нүктесінде үзіліссіз делінеді.

Функцияның  нүктесіндегі үздіксіздігі тілінде  былай айтылады.кез келген бойынша, табылып, (2) орындалысымен (3)  орындалады, басқаша айтқанда, бойынша табылып, ара қашықтық болысымен теңсіздігі орындалады. Мұнда  нүктесі М жиынында жатады деп ұйғарылады, , дербес жағдайда ,   нүктесімен беттесуі мүмкін. нүктесінде  функция шегі  функцияның сол нүктедегі мәніне тең болатындықтан, әдетте қойылып жүрген өзгеше болсын деген талаптың бұл жерде қажеті жоқ. айырмаларын тәуелсіз айнымалылардың өсімшесі деп қарастырып, , егер тәуелсіз айнымалылардың шектеусіз аз өсімшелеріне  функцияның да шектеусіз аз өсімшесі сәйкес  келсе, онда  функция  үздіксіз делінеді.  Егер функция үздіксіз болса, онда мына  теңдіктердің барлығы орындалады: , себебі, біз бұл жерде тек М-нің -ке жуықтауының дербес заңдарын ғана орындап отырмыз. Басқаша айтқанда, әрбір жеке айнымалылар бойынша , әрбір қос айнымалылар бойынша т.с.с үздіксіз болады екен.

Дербес  туындылар мен дербес дифференциалдар.  Жазу мен баяндау жолын ықшамдау үшін үш айнымалылар функцияларын қарастырамыз. Бұларға байланысты табылатын барлық нәтижелер айнымалыларының саны үшеуден артық кез келген функциялар үшін дұрыс болады.  Сөйтіп, қандай да бір ашық облысында  берілсін. Осы облыстан нүктесін аламыз.  Егер пен ке  тұрақты мен мәндерін беріп ті өзгертетін болсақ , онда гда бір айнымалы тің функциясы болады. Енді оның нүктесіндегі мәнін есептеуге көшейік. Осы мәнге өсімшесін береміз. Сонда функция өсімшесін алады, мұны функцияның дербес өсімшесі деуге болады., өйткені ол тек бір айнымалының өзгеруінен шығады. Туындының анықтамасы бойынша ол мына шекке тең: Бұл туынды функциясының нүктесінде бойынша алынған дербес туындысы деп аталады. Дербес туындыны символдарының бірімен белгіленеді.  Бұл символдардың төменгі жағында тұрған әрпі туындының қай айнымалы бойынша алынатынын білдіреді. Сондай-ақ пен - ті тұрақты деп болғанда шегін қарастыруға болады.  Бұл шек функциясының нүктесінде бойынша алынған дербес туынды делінеді, сөйтіп өткендегіге ұқсас символдарымен белгіленеді.  Дербес туындыны есептеудің жай туындыны есептеуден ешқандай өзгешелігі жоқ.

Мысалдар:  1) болсын, бұл функцияның дербес туындылары :

Бұлардың  біріншісі  х- тің дәрежелік функциясының туындысы сияқты , , екіншісі –у-тің көрсеткіштік функциясының сияқты. і.

2) Егер  болса, онда

3) үшін

4) болсын. Мұнда а-кез келген функция (туындысы бар ). функциясы қандай болса да, үшін әрқашан да қатыының орындалатынын көрсету керек.  Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша орындаймыз. ( бойынша  алынған туындыны штрихпен белгілейміз).  және бұдан

5)  Үшбұрыштың  қабырғасы қалған екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы арқылы былай белгіленеді:

Бұл жағдайда 6)   Физикадан мәлім Клайперон формуласы бір моль идеал газдың көлемі , қысымы  және температурасы  арасындағы байланысты  өрнектейді, сонымен қатар шамаларының бірін қалған екеуінің функциясы ретінде анықтайды. Егер -тәуелсіз айнымалылар , ал оларға тәуелді функция болса, яғни болғанда Егер тәуелсіз айнымалылар мен , ал функция болса, яғни онда Ақырында, -тәуелсіз айнымалылар , олардың функциясы болса, яғни ол уақытта Бұл қатыстардың  термодинамикада маңызы зор.

ындының кез келген өсімшесіне көбейтіндісін функциясының бойынша алынған дербес дифференциалы деп атайды,оны түрінде жазуға болады. Осы сияқты, сөйтіп дербес туындыларды да, бөлшек түрінде жазуға болатынын көреміз, бірақ бұл жерде дифференциал қай айнымалы бойынша алынатынын көрсету шарт.