Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Таблица 6

Симплексная таблица третьего плана  задачи

Pi	Бy	y0	3	2	1	0	0	0	0	0
			y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8
3	y1	0.6	1	0	0.5	0.5	0.1	0	0.1	0
0	y5	-7	0	0	2	0	1	1	0	0
0	y6	-7	0	0	2	0	1	1	0	0
2	y2	0.2	0	1	0	0	0.2	0	0.2	0
0	y8	10.6	0	0	2	-1	-0.4	0	-0.4	1
	∆j	2.2	0	0	0.5	1.5	0.3	0	0.3	0

 

y₄ ↔ x₁  x₁ = 1

y₅ ↔ x₂  x₂ = 0

y₆ ↔ x₃  x₃ = 0

y₇ ↔ x₄  x₄ = 1

y₈ ↔ x₅  x₅ = 0

Ответ: оптимальное решение х^* = (1; 0; 0; 10), т.е. х₁^* = 1, х₂^* = 0, х₃^* = 0, х₄^* = 1, х₅^* = 0.

Задача 3

Для рытья котлована объёмом 1440 м³ строители получили три экскаватора. Мощный экскаватор производительностью 22.5 м³/час расходует в час 10 литров бензина. Аналогичные характеристики среднего экскаватора – 10 м³/час и ¹⁰/₃ л/час, малого – 5 м³ и 2 л/час. Экскаваторы могут работать одновременно, не мешая друг другу. Запас бензина у строителей ограничен и равен 580 литров. Если рыть котлован только малым экскаватором, то бензина заведомо хватит, но это будет очень долго. Каким образом следует использовать имеющуюся технику, чтобы выполнить работу как можно скорее?

Решение

Пусть экскаваторы работали x₁, x₂, x₃ (час) соответственно, тогда

22.5x₁ + 10x₂ + 5x₃ = 1440 – объем работ

10x₁ + ¹⁰/₃ x₂ + 2x₃ ≤ 580 – ограничения по расходу бензина

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

α = max(x₁, x₂, x₃) → min

Значение α равно наибольшему из значений x₁, x₂, x₃ и это значение нужно взять наименьшим.

Решим задачу графически.

Множество допустимых значений –  фигура ABCD.

Определим координаты точки A:

22.5x₁ + 10x₂ + 5·0 = 1440

   10x₁ + ¹⁰/₃ x₂ + 2·0 = 580

 

30x₁ + 10x₂ = 1740

 

7.5x₁ = 300

 

x₁ = 40 (час)

 

x₂ = (1440 – 22.5·40)/10 = 54 (час)

Определим координаты точки B:

22.5x₁ + 10·0 + 5x₃ = 1440

10x₁ + ¹⁰/₃ ·0 + 2x₃ = 580

 

45x₁ + 10x₃ = 2880

50x₁ + 10x₃ = 2900

 

5x₁ = 20

 

x₁ = 4

 

x₃ = (1440 – 22.5·4)/5 = 270

Итак, определены координаты всех точек:

A(40;54;0)

B(4;0;270)

C(64;0;0)

D(58;0;0)

Искомое решение задачи – точка  A.

Ответ: оптимальный режим работы экскаваторов: Мощный экскаватор – 40часов, Средний экскаватор – 54 часа, Малый экскаватор – не используется.

Задача 4

В пекарне для выпечки четырех  видов хлеба используется мука двух сортов, маргарин и яйца. Имеющееся оборудование, производственные площади и поставки продуктов таковы, что в сутки можно переработать не более 290 кг муки первого сорта, 150 кг муки второго сорта, 50 кг маргарина, 1280 шт. яиц. В таблице приведены нормы расхода продуктов, а также прибыль от продажи 1 кг хлеба каждого вида:

Таблица 7

Наименование продукта	Нормы расхода на 1 кг хлеба (по видам)
	1	2	3	4
мука 1 сорта, кг	0.5	0.5	0	0
мука 2 сорта, кг	0	0	0.5	0.5
маргарин, кг	0.125	0	0	0.125
яйцо, шт.	2	1	1	1
прибыль, за 1 кг	14	12	5	6

 

Требуется определить суточный план выпечки хлеба, максимизирующий  прибыль.

Решение

  0.5x₁ + 0.5x₂ +  0·x₃ +    0·x₄ ≤ 290

   0·x₁ +  0·x₂ + 0.5x₃ +   0.5x₄ ≤ 150

0.125x₁ +  0·x₂ +  0·x₃ + 0.125x₄ ≤   50

    2x₁ +   1x₁ +   1x₃ +     1x₄ ≤ 1280

   14x₁ +  12x₂ +   5x₃ +     6x₄ → max

 

Все остальные вычисления и действия удобно производит в табличной форме (табл. 8 – 11).

 

Таблица 8

Симплексная таблица первого плана задачи

Pi	Бx	X0	14	12	5	6	0	0	0	0	θ
			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
0	x5	290	0.5	0.5	0	0	1	0	0	0	580
0	x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	∞
0	x7	50	0.125	0	0	0.125	0	0	1	0	400
0	x8	1280	2	1	1	1	0	0	0	1	640
	∆j	0	-14	-12	-5	-6	0	0	0	0

Таблица 9

Симплексная таблица второго плана  задачи

Pi	Бx	X0	14	12	5	6	0	0	0	0	θ
			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
0	x5	90	0	0.5	0	-0.5	1	0	-4	0	180
0	x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	∞
14	x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	∞
0	x8	120	0	-1	1	1	-4	0	0	1	-
	∆j	5600	0	-12	-5	-8	0	0	112	0

Таблица 10

Симплексная таблица третьего плана  задачи

Pi	Бx	X0	14	12	5	6	0	0	0	0	θ
			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
12	x2	180	0	1	0	-1	2	0	-8	0	∞
0	x6	150	0	0	0.5	0.5	0	1	0	0	300
14	x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0	∞
0	x8	300	0	0	1	0	-2	0	-8	1	300
	∆j	7760	0	0	-5	-4	24	0	16	0

 

Таблица 11

Симплексная таблица четвертого плана  задачи

Pi	Бx	X0	14	12	5	6	0	0	0	0
			x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
12	x2	180	0	1	0	-1	2	0	-8	0
5	x3	300	0	0	1	1	0	2	0	0
14	x1	400	1	0	0	1	0	0	8	0
0	x8	300	0	0	0	-1	-2	-2	-8	1
	∆j	9260	0	0	0	1	12	10	16	0

 

Ответ: суточный план выпуска продукции: хлеб 1-го вида – 400 кг, 2-го вида – 180 кг 3-го вида – 300 кг, 4-го вида – 0 кг.

 

 

Список использованных источников

• Зубков М.Я. Математические структуры и математическое моделирование экономики: Учебное пособие. Вып. 3в. Математическое программирование. – М.: Изд-во УРАО, 1996. – 68 с.
• Алешина И.Ф. Анализ и оценка хозяйственных решений: Методические указания к изучению курса. – М.: Изд-во РОУ, 1996. – 28 с.