Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра математических и естественно-научных дисциплин

 

Филиал РГГУ в г. Домодедово

 

 

 

 

Контрольная работа по

Экономико-математическому  моделированию

(экономико-математические  модели)

 

 

 

Составитель: к.т.н., проф.,

зав. каф. МиЕНД      Клетин В.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Домодедово, 2011 г.

 

 

 

 

 

Линейные балансовые модели в экономике

Балансовые (матричные) модели представляют собой математическое выражение балансового метода планирования (метод взаимного согласования затрат и результатов).

Балансовая модель записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства(баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Под экономическим объектом обычно понимают так называемую «чистую отрасль».

1. Понятие «чистой  отрасли».

Многие машиностроительные заводы помимо основной продукции производят литьё, занимаются термической обработкой металлов и др. Перечисленные виды продукции не соответствуют профилю машиностроительной отрасли. Они относятся к металлургии. В то же время металлургические заводы имеют цеха или участки, производящие непрофильную продукцию. Поэтому, чтобы правильно отразить взаимосвязи между машиностроением и металлургией, необходимо исключить продукцию металлургической и других отраслей из продукции машиностроения, а в продукции металлургической промышленности не учитывать произведенные на металлургических заводах продукты машиностроения и других отраслей. Непрофильную продукцию каждого предприятия следует учесть при определении объема продукции соответствующей ей отрасли.

Таким образом, продукция «чистой  отрасли» складывается из продукции  специализированных предприятий, очищенной от непрофильных её видов, и продукции, соответствующей профилю данной отрасли, но произведённой на предприятиях, относящихся к другим отраслям.

Под экономической системой понимают совокупность взаимосвязанных, взаимозависимых отраслей. Экономическая система может включать в себя все отрасли материального производства либо часть из них.

2. Межотраслевая балансовая модель.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального  продукта по отраслям, межотраслевые  потоки, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и  распределение национального дохода.

Пусть экономическая система состоит  из n взаимосвязанных отраслей: . Валовой продукт й отрасли обозначим через . Конечный продукт каждой отрасли обозначим через . Отрасли взаимосвязаны, т.е. каждая из них использует продукцию других отраслей в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п.

Пусть - затраты продукции й отрасли на производство продукции .

Если перечисленные показатели представлены в межотраслевом балансе  в тоннах, литрах и т.п., то говорят  о межотраслевом балансе в  натуральном выражении. Далее под  будем понимать выраженную в некоторых фиксированных ценах стоимость соответствующей продукции. Такой баланс называется стоимостным.

Экономическая система состоит  из экономических объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции  может быть охарактеризовано одним  числом: в качестве характеристики выпускаемой каждым экономическим объектом продукции выбираем её валовой продукт:

Для выпуска данного количества продукции  экономический объект должен получить строго определенное количество продукции других объектов:

 

Здесь - стоимость той части продукции й отрасли , которую должна использовать отрасль в качестве сырья, полуфабрикатов, топлива и т.д., чтобы обеспечить выпуск своей продукции в объёме .

Увеличение выпуска продукции  в некоторое число раз  требует увеличения потребления экономическим объектом всех указанных выше продуктов также в раз. Другими словами, нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции. Для того чтобы отрасль выпустила валовой продукции стоимостью в одну денежную единицу, она должна получить от отраслей системы продукции на денежных единиц, а для обеспечения всего валового выпуска й отрасли потребуется соответственно:

Продукции отраслей системы.

Аналогичные соотношения имеют место для всех отраслей системы:

    (1)

Коэффициенты пропорциональности называют коэффициентами прямых внутрипроизводственных затрат – это затраты й отрасли на единицу (рубль) валовой продукции й отрасли.

Выпускаемая каждым экономическим  объектом продукция частично потребляется другими экономическими объектами системы в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п. (внутрипроизводственное потребление), а часть идет на личное и производственное потребление вне данной экономической системы (внепроизводственное потребление в форме конечного продукта):

    (2)

Таким образом, с учетом (1) система (2) примет следующий вид:

   (3)

Система (3) представляет собой линейную балансовую модель.

3. Матричная форма  записи системы балансовых уравнений.

Введем в рассмотрение векторы-столбцы  объёмов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объёмов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений (3) в матричной  форме имеет вид:

      (4)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса.

Уравнение межотраслевого баланса  можно использовать в двух целях.

В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска  , требуется рассчитать вектор конечного потребления : из (4) следует, что

,

где E – единичная матрица той же размерности, что и матрица прямых затрат A.

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей  планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени Т (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (4) с известной матрицей A и заданным вектором . Из (4) следует, что

где обратная матрица. Она называется матрицей полных затрат.

Если решение уравнения (4) существует, то матрица A называется продуктивной.

Критерии продуктивности:

1. Матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и её элементы неотрицательны.
2. Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу или строке не превосходит единицы, причем хотя бы для одного столбца или строки эта сумма строго меньше единицы.

ЗАДАЧА 1.

Таблица (1) содержит данные баланса  трех отраслей промышленности за отчетный период. Требуется:

1) Убедиться, что модель продуктивна,  т.е. найти матрицу коэффициентов прямых затрат и убедиться в том, что она продуктивна;

2) Составить баланс производства  и распределения продукции;

3) Найти конечный продукт (вектор  конечного продукта  )  каждой отрасли для новых значений валовых продуктов отраслей (нового вектора валового выпуска): значения нового вектора валового выпуска больше соответствующих значений старого вектора валового выпуска на 10 единиц; так, например, в задаче 1 старые значения вектора валового выпуска , а новые значения вектора валового выпуска ;

4) Найти валовой продукт (вектор  валового выпуска  )  каждой отрасли для новых значений конечных продуктов отраслей (нового вектора конечного продукта): значения нового вектора конечного продукта больше соответствующих значений старого вектора конечного продукта на 10 единиц; так, например, в задаче 1 старые значения вектора конечного продукта , а новые значения вектора конечного продукта .

Табл.1

№ п.п.	Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовой продукт
		1	2	3
1	Машиностроение	6	36	20	40	102
2	Ракетостроение	12	12	20	50	94
3	Нефтехимия	22	12	12	10	56

Решение.

1. Найдем матрицу коэффициентов прямых затрат. Из (1)

 и т.д. 

Получим следующую матрицу прямых затрат:

Табл. 2

				Итоги
	0,059	0,383	0,357	0,799
	0,118	0,128	0,357	0,603
	0,216	0,128	0,214	0,558
Итоги	0,393	0,639	0,928

2. Проверка продуктивности матрицы прямых затрат. Для проверки используем второй критерий. Для этого вычисляем суммы элементов в строках и столбцах. Результаты приведены в таблице (2). Поскольку все суммы элементов и в столбцах и в строках меньше единицы, то матрица продуктивна. Исходя из этого можно утверждать, что для неё существует обратная матрица с положительными коэффициентами.
3. Составим баланс производства и распределения продукции.

 Модель баланса производства и распределения продукции отрасли можно представить следующей системой уравнений:

4. Найдем матрицу полных затрат

Каждый элемент матрицы B рассчитывается по  формуле   ;   ,

где A_ij- алгебраические дополнения элементов матрицы (E-A); D- определитель матрицы (E-A).

Определитель матрицы (E-A):    

 

Расчет  алгебраических дополнений матрицы (E-A) дает следующие результаты:

Составим матрицу B:

Замечание. Поскольку матрица A продуктивна, то все коэффициенты матрицы полных затрат должны быть положительны. Отрицательные значения будут свидетельствовать об ошибке в расчетах.

5. Вычисление нового конечного продукта (вектора конечного продукта) при измененном валовом выпуске: .

- конечный продукт машиностроения,

- конечный продукт ракетостроения,

- конечный продукт нефтехимии.

6. Вычисление нового валового продукта (вектора валового выпуска) при измененном конечном потреблении: .

 

- валовая продукция машиностроения,

- валовая продукция ракетостроения,

- валовая продукция нефтехимии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модели сетевого планирования и управления

 

1. Назначение и области  применения сетевого планирования  и управления

Современное разнообразие, многосвязность и взаимозависимость задач коммерческой деятельности вызывают большие трудности при планировании реальных сроков их выполнения.

Традиционные, сложившиеся методы планирования и управления зачастую не обеспечивают выполнение операций в коммерческой деятельности в намеченные сроки и не позволяют определить оптимальные объемы ресурсов, а как известно «время –деньги».

Необходимым свойством системы планирования  и управления работами является способность оценить текущее состояние, учесть возможное состояние в будущем, предсказать дальнейший ход работ и таким образом предупредить от возможных ошибок, заранее оперативно воздействовать на ход комплекса работ в сжатые сроки и с наименьшими затратами.