Контрольная работа по "Экономико-математическая модель"

Задача 1

В институте проводится конкурс на лучшую стенгазету. Студенту дано поручение:

- купить акварельной краски по цене 30 д.е. за коробку, цветные карандаши по цене 20 д.е. за коробку, линейки по цене 12 д.е., блокноты по цепе 10 д.е.

- красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов столько, сколько коробок карандашей и красок вместе, линеек не более 5. На покупки выделяется не менее 300 д.е.

В каком количестве студент  должен купить указанные предметы, чтобы общее число предметов  было наибольшим?

 

Решение:

Экономико-математическая модель

Обозначим через Х₁, Х₂, Х₃ и Х₄ количество покупаемых предметов соответственно: коробок акварельной краски, коробок цветных карандашей, линеек и блокнотов.

Тогда:

Целевая функция:

F(x) = Х₁ + Х₂ + X₃ + Х₄ ® max (максимизировать общее число предметов)

при следующих ограничениях:

Х₁ ³ 3 (ограничение по количеству коробок красок)

Х₄ = Х₁ + Х₂ (Условии  по количеству блокнотов)

Х₃ ≤ 5 (ограничение по количеству линеек)

30Х₁ + 20Х₂ + 12X₃ + 10Х₄ ³ 300 (ограничение по выделяемым средствам)

Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ ³ 0  (условие не отрицательности количества покупаемых предметов)

или:

 

Х₁ ³ 3

Х₁ + Х₂ - Х₄ = 0

Х₃ ≤ 5

30Х₁ + 20Х₂ + 12X₃ + 10Х₄ ³ 300

Х₁, Х₂, Х₃, Х₄ ³ 0. 

 

Получим решение  средствами пакета Excel.

Создаем форму для решения задачи

Ниже приведено расположение формул в таблице:

Получаем исходную таблицу:

После команды Сервис/Поиск решения оформляем диалоговое окно.

Устанавливаем целевую  ячейку F5 равной «Максимальному значению».

В поле «Изменяя ячейки:»  устанавливаем диапазон $B$3:$E$3.

В поле «Ограничения:»  добавляем следующие ограничения:

Получаем следующие  заполненное диалоговое окно «Поиск решения»:

 

Нажать кнопку «Параметры», в открывшемся окне установить параметры  поиска решения (точность и др.):

 

После нажатия клавиши Выполнить в диалоговом окне Поиск решения осуществляется реализация модели и выдается сообщение об успешности решения:

Выдалось сообщение  «Значения целевой ячейки не сходятся»

Скорее всего в условии  задачи ошибка: при ограничении средств выделяемых на покупки должно стоять условие не более 300 д.е.

Применим исправленное условие:

Получим следующие результаты решения задачи:

 

 

В результате получено следующее решение: Максимальное число покупаемых предметов составляет 19. При этом необходимо купить:

- коробок акварельной краски – 3

- коробок цветных карандашей – 4

- линеек – 5

- блокнотов – 7

 

 

Задача 2

Вариант 9

Имеются три станции  технического обслуживания автомобилей (СТО), выполняющие ремонт для четырех  автотранспортных предприятий (АТП). Производственные мощности, стоимость ремонта, затраты па транспортировку и прогнозируемое количество ремонтов в планируемом периоде на каждом АТП указаны в таблице:

СТО	Затраты на ТО 1 автомобиля, руб.	Затраты на транспортировку, руб.				Производственная мощность, шт.
		АТП-1	АТП-2	АТП-3	АТП-4
I	7200	200	400	300	100	80
II	6500	300	200	250	450	20
III	6900	350	500	200	300	40
Количество ТО, шт.		30	10	40	20

Определите, какое количество машин каждому АТП необходимо отремонтировать на каждой СТО, чтобы суммарные расходы на ремонт и транспортировку были минимальными.

 

Решение:

Определим суммарные затраты на ремонт и транспортировку 1 автомобиля от каждого АТП в каждом СТО:

СТО	Затраты на ТО и транспортировку, руб.				Производственная мощность, шт.
	АТП-1	АТП-2	АТП-3	АТП-4
I	7400	7600	7500	7300	80
II	6800	6700	6750	6950	20
III	7250	7400	7100	7200	40
Количество ТО, шт.	30	10	40	20

 

Экономико-математическая модель

В данном случае объемы заказов (прогнозируемое количество ремонтов) и производственные мощности не совпадают, т.е. имеем дело с открытой моделью транспортной задачи.

Для приведения задачи к  закрытой вводим фиктивное АТП с потребностями равными 140 - 100 = 40 шт.

 

Решение в Excel. Ввод условий задачи состоит из следующих основных этапов.

1. Создание формы для  решения задачи.

2. Ввод граничных условий.

3. Ввод исходных данных.

4. Назначение целевой  функции.

5. Ввод зависимостей  из математической модели.

6. Ввод ограничений.

7. Просмотр результатов  и печать отчета. Рассмотрим более  подробно каждый из этих этапов.

1. Создание формы для  решения задачи предполагает создание матрицы перевозок.

Для этого необходимо выполнить резервирование изменяемых ячеек: в блок ячеек B3:F5 вводится «1».

Таким образом, резервируется  место, где после решения задачи будет находиться распределение поставок, обеспечивающее минимальные затраты на перевозку груза (нефтепродуктов).

2. Ввод граничных условий.

Введение условия  реализации мощностей поставщиков, т.е.

,

где а_i - мощность i-го поставщика;

x_ij — объем поставки груза от i-го поставщика к j-му потребителю;

n - количество потребителей. Для этого необходимо выполнить следующие операции:

- курсор в ячейку A3;

- щелкнуть знак «S»;

- выделить необходимые  для суммирования ячейки B3:F3;

- нажать ENTER — подтверждение ввода формулы для суммирования.

Аналогичные действия выполнить  для ячеек А4, А5, т.е. ввести условия реализации мощностей всех поставщиков (для всех строк). Эти действия можно реализовать иначе:

- курсор в A3;

- копировать в буфер (т.е. копировать в буфер формулу, введенную для ячейки A3);

- выделить ячейки А4:А5;

- вставить из буфера (вставка  формулы для суммирования в А4:А5).

 

Введение условия удовлетворения запросов потребителей, т.е.

где b — мощность j-го потребителя;

т — количество поставщиков.

Для этого необходимо выполнить  следующие операции:

- курсор в В6;

- щелкнуть знак «S». При этом автоматически выделяется весь столбец В3:В5;

- ENTER - подтверждение суммирования показателей выделенного столбца.

Последовательность этих действий выполнить для ячеек C6-F6, или же:

- курсор в В6;

- копировать в буфер;

- выделить C6:F6;

- вставить из буфера.

Таким образом, введены  ограничения для всех поставщиков и всех потребителей.

 

3. Ввод исходных данных.

В конкретном примере  осуществляется ввод мощностей трех СТО (ячейки А10:А12), прогнозируемое количество ремонтов (B9:F9), а также удельные затраты на перевозку от конкретного поставщика потребителю (блок B10:F12) (рис. 1).

Рис. 1. Ввод исходных данных и граничных условий

 

4. Назначение целевой  функции.

Для вычисления значения целевой функции, соответствующей минимальным суммарным затратам на доставку груза, необходимо зарезервировать ячейку и ввести формулу для ее вычисления:

где С_ij - стоимость доставки единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю;

х_ij — объем поставки груза от i-го поставщика j-му потребителю.

Для этого:

— курсор в ячейку В13. В данную ячейку будет помещаться значение целевой функции после решения задачи;

— щелкнуть Мастер функций (значок f_x);

— в окне Категория выбрать Математические;

— в окне Функция при помощи спинера выбрать СУММПРОИЗВ;

— ОК;

— в окне СУММПРОИЗВ указать адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией.

В задаче целевая функция  представляет собой произведение удельных затрат на доставку груза (расположенных в блоке ячеек B10:F12) и объемов поставок для каждого потребителя (содержимое ячеек B3:F5). Для этого:

— в поле Массив 1 указать адреса B10:F12;

— в поле Массив 2 указать адреса B3:F5;

— OK - подтверждение окончания ввода адресов массивов. В поле ячейки В13 появится некоторое числовое значение, равное произведению единичных поставок на удельные коэффициенты затрат по доставке грузов (число 85950 в данной задаче, рис. 2).

Рис. 2. Назначение целевой  функции

5. Ввод зависимостей  из математической модели.

Для осуществления этого  этапа необходимо выполнить следующий  перечень операций:

- щелкнуть Сервис - Поиск решения;

- курсор подвести в  поле Установить целевую (ячейку);

- ввести адрес $В$13. Таким образом производится указание ячейки, куда при решении задачи помещается значение целевой функции (или же: курсор в В13, затем щелкнуть Поиск решения. При этом осуществится автоматический ввод адреса $В$13 в поле адреса целевой ячейки);

- установить направление  изменения целевой функции, равное  «минимальному значению»;

- ввести адреса изменяемых  ячеек B3:F5. Для этого:

- щелкнуть в поле изменяя ячейки;

- ввести адреса $B$3:$F$5 (или же щелкнуть на маленькой красной стрелке рядом с этим полем, выйти в таблицу с матрицей перевозок, выделить блок ячеек B3:F5, щелкнуть на красной стрелке и вернуться в блок Поиска решения, при этом нужные адреса будут введены).

Ввести ограничение задачи. В матрицу перевозок, содержащую исходные данные по задаче, необходимо ввести условие реализации мощностей всех поставщиков. Для этого:

— щелкнуть Добавить ограничения;

— в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $А$3:$А$5;

— в среднем поле установить знак " = ". Для этого щелкнуть спинер и выбрать необходимый знак " = ".

— в поле Ограничение установить адреса $А$10:$А$12.

— щелкнуть ОК, т.е. осуществить подтверждение введенного условия. После этого Вы вернетесь в поле Поиск решения.

Далее вводится ограничение, которое реализует условие удовлетворения мощностей всех потребителей. Для этого:

— щелкнуть Добавить ограничение;

— в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $B$6:$F$6;