Контрольная работа по "Эконометрики"

Задача 1

Задание 1.6.

 

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации 

Финансовый консультант фирмы  «АВС» консультирует клиента  по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси-Е» и  «Дикси-В». Цены на акции: «Дикси-Е» - 5 долл. За акцию; «Дикси-В» - 3 долл. за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет  приобрести максимум 6000 акций обоих  наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем  оду составит: «Дикси-Е» - 1,1 долл.; «Дикси-В» - 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в  том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

 

Пусть х₁ – количество акций «Дикси-Е», а х₂ –количество акций «Дикси-В», которое требуется приобрестии. Тогда функция цели будет иметь вид:

Max F(x) = 1,1*x₁ + 0,9*x₂

 

 

Решение:

 

Построим множество допустимых решений. Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

Построим графики линий-ограничений:

 

 

 

 

 

          В     С

 

 

 

      D

 

  

 

  А         Е

 

 

 

Пересечением указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник ABCDE. Область ограничена сверху и справа.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор градиент, соединив его вершину (1,1; 0,9) с началом координат.

Построим некоторую линию уровня, перпендикулярную вектор градиенту.

При минимизации целевой функции необходимо перемещать линию уровня в направлении противоположном вектору градиента до выхода из ОДР, а при максимизации в направлении вектора-градиента до выхода линии уровня из ОДР. Максимумом является точка D, являющаяся пересечением прямых.

х₁ + х2 =6000    и    5х₁ +3х₂ = 25000

Решив систему, находим:

Х₁=3500, Х₂ = 2500

f(x) = 3500*1,1 + 2500*0,9 = 6100

 

При решении задачи на минимум оптимальным  решением будет:

Х₁ = 0, Х₂ = 0, и F(x)=0

 

Задача 2

Задание 2.6

 

На основании информации, приведенной  в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

 

Вид сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции			Запасы сырья
	А	Б	В
I	18	15	12	360
II	6	4	8	192
III	5	3	3	180
Цена изделия	9	10	16

 

Требуется:

 

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида уменьшить на 9 кг;
• оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида ресурсов.

 

Решение:

 

1) Обозначим объем производства продукции А - (ед.), продукции Б - (ед.), продукции В - (ед.). С учетом этих обозначений математическая модель задачи имеет вид:

 

Решим прямую задачу линейного программирования с использованием ППП MS Excel (используя Поиск решения).

Получим следующее решение

 

	х1	х2	х3
План	0	8	20
Цена	9	10	16	400
I	18	15	12	360	360
II	6	4	8	192	192
III	5	3	3	84	180

 

Нулевое значение х₁ объясняется тем, что на производство продукции 1-го вида требуется большое количество ресурсов при относительно невысокой цене.

2) Сформулируем двойственную  задачу:

Введем переменные У₁, У₂, У₃, – количество ресурса i-го вида.

Целевая функция исходной задачи формулируется на минимум, при  этом все ограничения имеют вид  ≥.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений прямой задачи и аналогичная матрица А^т в двойственной получаются друг из друга транспонированием.

Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

Коэффициентами при неизвестных  в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены  в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задаче.

Каждому ограничению одной  задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения.

 

.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом :

 

18*0+15*8+12*20 = 360 = 360

6*0  +  4*8 + 8*20 = 192 = 192

5*0  +  3*8 + 3*20 = 84  £  180

 

Значение целевой функции на этом плане равно:

f(x) = 9*0 + 10*8 + 16*20 = 400

Третий ресурс недоиспользован на 96 единиц

Для нахождения оценок используем вторую теорему двойственности. Поскольку третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то . Т.к. и , то

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему уравнений:

т.е. y₁ = 2/9, y₂ = 5/3. Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

j(y) = 360*2/9 + 192*5/3 + 180*0 = 80+320 = 400.

3) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане:

1. Увеличение сырья первого вида на 1 ед. привело бы к росту максимальной общей стоимости выпускаемой продукции на 2/9, уменьшение сырья второго вида на 1 ед. привело бы к уменьшению максимальной общей стоимости выпускаемой продукции на 5/3 ед.

4) Предполагая, что эти изменения  проходят в пределах устойчивости  двойственных оценок, получаем Δf(x)=45*2/9-9*5/3 = 10-15 = -5ед.

Для нахождения нового оптимального плана решим систему уравнений:

 

Оптимальный план: х₁ = 0, х₂ = 14,5, х₃ = 15,625

5) Рассмотрим следующую оценку:

.

Т.к. Δ₄ < 0, то включение в план изделия Г целесообразно.

 

 

Задача 4

 

 

          Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Условия:

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы  финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя приведен ниже в таблице:

 

Номер варианта	Номер наблюдения ( t=1, 2, …,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28

 

          Требуется:

1.Проверить наличие аномальных наблюдений.

2.Построить линейную модель Ý(t) = a₀+ a₁t, параметры которой оценить МНК (Ý(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3.Построить адаптивную модель Брауна Ý(t) = a₀+ a₁k с параметром сглаживания α=0,4 и  α=0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания (для специальности 060400).

4.Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

5.Оценить точность моделей  на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6.По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%).

7.Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

 

		t			Y(t)			Yрегр
		1			12			12,2
		2			15			14,0
		3			16			15,9
		4			19			17,7
		5			17			19,6
		6			20			21,4
		7			24			23,3
		8			25			25,1
		9			28			27,0
		Проверим наличие аномальных наблюдений
		t			Y(t)			(Y-Yср)				E(t)2				λ
		1			12			-7,56				57,09
		2			15			-4,56				20,75				0,574
		3			16			-3,56				12,64				0,191
		4			19			-0,56				0,31				0,574
		5			17			-2,56				6,53				0,383
		6			20			0,44				0,20				0,574
		7			24			4,44				19,75				0,766
		8			25			5,44				29,64				0,191
		9			28			8,44				71,31				0,574
Сумма		45			176,0							218,22
Среднее		5			19,6
Вычислим												=				5,22
Вычислим
Согласно критерию Ирвина аномальным считается значение, для  которого λ>1,5
Т.к. таких значений нет, то аномальных наблюдений нет
	Построим линейную модель
	t			Y(t)		(t-tср)	(Y-Yср)		(t-tср)х (t-tср)				(t-tср)х (Y-Yср)				(Y-Yср)2
	1			12		-4	-7,56		16				30,22				57,09
	2			15		-3	-4,56		9				13,67				20,75
	3			16		-2	-3,56		4				7,11				12,64
	4			19		-1	-0,56		1				0,56				0,31
	5			17		0	-2,56		0				0,00				6,53
	6			20		1	0,44		1				0,44				0,20
	7			24		2	4,44		4				8,89				19,75
	8			25		3	5,44		9				16,33				29,64
	9			28		4	8,44		16				33,78				71,31
Сумма	45			176,0					60				111,00				218,22
Среднее	5			19,6
Определим параметры  линейной модели
												=				1,85
								=				10,31
		Yрегр=10,31+1,85*t
		Построим адаптивную модель Брауна с а=0,4 и а=0,7
		Найдем начальные приближения  а0 и а1 по первым 3-м точкам
	t		Y(t)		(t-tср)		(Y-Yср)			(t-tср)х (t-tср)				(t-tср)х (Y-Yср)				(Y-Yср)2
	1		12		-1		-2,333			1				2,333				5,444
	2		15		0		0,667			0				0,000				0,444
	3		16		1		1,667			1				1,667				2,778
Сумма	6		43							2				4,000				8,667
Среднее	2		14,333
Определим параметры  линейной модели
								=				2,00
					=			10,33
Выбирая в качестве начальных а0 и а1 значения а0 и а1 полученной линейной модели получим значения модели Брауна по формулам
					а=			0,4
Время		Факт			а0			а1				Расчет 0,4				E(t)
					10,33			2,00
1		12			12,12			1,95				12,33				-0,33
2		15			14,66			2,10				14,07				0,93
3		16			16,27			1,97				16,76				-0,76
4		19			18,73			2,09				18,25				0,75
5		17			18,38			1,48				20,82				-3,82
6		20			19,95			1,51				19,86				0,14
7		24			23,08			1,91				21,45				2,55
8		25			25,00			1,91				25,00				0,00
9		28			27,61			2,09				26,91				1,09
10												29,70
11												31,78
					а=			0,7
Время		Факт			а0			а1				Расчет 0,7				E(t)
					10,33			2,00
1		12			12,03			1,84				12,33				-0,33
2		15			14,90			2,39				13,87				1,13
3		16			16,12			1,76				17,29				-1,29
4		19			18,90			2,31				17,88				1,12
5		17			17,38			0,25				21,21				-4,21
6		20			19,79			1,41				17,63				2,37
7		24			23,75			2,78				21,20				2,80
8		25			25,14			2,03				26,53				-1,53
9		28			27,93			2,44				27,17				0,83
10												30,36
11												32,80

 

Построим графики:
Оценим адекватность построенных моделей на основе исследования
а) случайной остаточной компоненты по критерию пиков
											Линейная модель
Время	Факт	Yрегр	е1	e1^2	Точ. пов.	Et-Et-1	(Et-Et-1)^2	|e(t)|/Yрегр|
1	12	12,2	-0,2	0,0				1,3
2	15	14,0	1,0	1,0	1	1,2	1,32	7,1
3	16	15,9	0,1	0,0	1	-0,9	0,72	0,9
4	19	17,7	1,3	1,7	1	1,2	1,32	7,3
5	17	19,6	-2,6	6,5	1	-3,9	14,82	13,1
6	20	21,4	-1,4	2,0	0	1,2	1,32	6,6
7	24	23,3	0,7	0,6	1	2,2	4,62	3,2
8	25	25,1	-0,1	0,0	1	-0,8	0,72	0,4
9	28	27,0	1,0	1,1		1,2	1,32	3,9
Сумма				12,9	6		26,18	42,5