Контрольная работа по дисциплине "Экономико-математические методы и модели"

Волжский  университет им. В.Н.Татищева 

Экономический факультет 

• Кафедра «  МАРКЕТИНГ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЭКОНОМИКЕ »
 
 


по дисциплине « Экономико-математические методы и модели »

Вариант 2 
 
 


Содержание. 


РАЗДЕЛ I. ИЗУЧЕНИЕ И ОПИСАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ..........3

1.1. Моделирование  экономических систем.....................................................4

1.2.  Точка безубыточности................................................................................8

1.3.Интегрированные пакеты и специализированные пакеты статистического анализа..................................................................................10

РАЗДЕЛ II. ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ...........................12

2.1. Макроэкономические  модели (Задачи 1 типа).......................................13

2.2. Задачи линейной оптимизации (Задачи 2 типа)......................................15

2.3 Задачи  кластерного анализа (Задачи 3 типа)............................................21

РАЗДЕЛ III. КОМПЬЮТЕРНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ....................................23

 Задача 1.............................................................................................................24

 Задача 2.............................................................................................................25

 Задача 3, Задача 4.............................................................................................26

 Задача 5.............................................................................................................27 
 
 
 
 


2 
 
 
 
 
 
 
 
 


РАЗДЕЛ I. ИЗУЧЕНИЕ И ОПИСАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ  ОСНОВ 
 
 
 
 
 
 
 


1.1. Моделирование  экономических систем. 
 


      Целью моделирования экономических систем является использование методов  математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

      Процесс решения экономических задач  осуществляется в несколько этапов:

1. Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи.

2. Системный  анализ. Для того, чтобы задачу  можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.

3. Системный  синтез (математическая постановка  задачи). Следующим этапом является  математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется  построение математической модели  объекта и определение методов  (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которог нет приемлемого метода

4

решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как  правило, решаемые в экономической  практике задачи стандартизованы, системный  анализ производится в расчете на известную математическую модель и  алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

4. Разработка  или выбор програмного обеспечения.  Следующим этапом является разработка  программы решения задачи на  ЭВМ.

      Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов.

      Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего  пакета прикладных программ и системы  управления базами данных.

      На  заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение

результатов.

      Последовательное  использование методов исследования операций и их реализация на современной  информационно-вычислительной технике  позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

      Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать  принимаемые решения с точки  зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить  на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть   всю    информацию,  но   и   избавляет   управленца  от  н енужной   ему

5

 информации, а всю нужную пускает в обход  человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Классификация систем.

      Кибернетическая система - это множество взаимосвязанных  объектов - элементов системы, способных  воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться информацией. Система включает также  связи между элементами. Элементы и связи между ними могут обладать свойствами (показателями), каждое из которых может принимать некоторое множество значений. Примеры кибернетических систем: ЭВМ, человеческий мозг, живой организм, биологическая популяция, человеческое общество.

      Классификацию кибернетических систем мы проведем по двум критериям: степень сложности  системы и ее детерминированность.

      По  степени сложности системы бывают:

1. Простые.  К простым относятся системы,  имеющие простую структуру и  легко поддающиеся математическому описанию, они могут быть реализованы без использования ЭВМ.

2. Сложные.  Сложными являются системы, имеющие  много внутренних связей и  сложное математическое описание, реализуемое на ЭВМ.

3. Сверхсложные. Сверхсложные системы не поддаются  математическому описанию.

      По  второму критерию системы делятся  на детерминированные и вероятностные.

Кибернетическое моделирование.

      В процессе исследования объекта часто  бывает нецелесообразно или даже

невозможно  иметь  дело  непосредственно  с  этим объектом.  Удобнее  бывает заменить  его  другим  объектом, подобным  данному в тех аспектах,  которые

6

важны в данном исследовании. Например, модель самолета продувают в аэродинамической трубе, вместо того, чтобы испытывать настоящий самолет - это дешевле.

      Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

      При моделировании используется аналогия между объектом - оригиналом и его моделью. Аналогии бывают следующими:

1) внешняя  аналогия (модель самолета, корабля,  микрорайона, выкройка);

2) структурная  аналогия (водопроводная сеть и  электросеть моделируются с помощью  графов, отражающих все связи  и пересечения, но не длины отдельных трубопроводов);

3) динамическая  аналогия (по поведению системы) - маятник моделирует электрический  колебательный контур;

4) кибернетические  модели относятся ко второму  и третьему типу. Для них свойственно  то, что они реализуются с помощью ЭВМ. Смысл кибернетического моделирования заключается в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью объекта, а с его описанием, которое помещается в память ЭВМ вместе с программами, реализующими изменения показателей объекта, предусмотренные этим описанием.

      Формирование  описания объекта (его системный  анализ) является важнейшим звеном кибернетического моделирования. Вначале  исследуемый объект разбивается  на отдельные части и элементы, определяются их показатели, связи  между ними и взаимодействия (энергетические и информационные). В результате объект оказывается представленным в виде системы.

      Следующим этапом является составление математических моделей эффективного функционирования объекта и его системной модели. Затем производится программирование описания и моделей его функционирования.

7

1.2. Точка  безубыточности. 


      Точка безубыточности определяет, каким должен быть объем продаж для того, чтобы  предприятие работало безубыточно, могло покрыть все свои расходы, не получая прибыли. В свою очередь, как с изменением выручки растет прибыль показывает Операционный рычаг (операционный леверидж).

      Для расчета точки безубыточности надо разделить издержки на две составляющие:

• Переменные затраты — возрастают пропорционально увеличению производства (объему реализации товаров).
• Постоянные затраты — не зависят от количества произведенной продукции (реализованных товаров) и от того, растет или падает объем операций.

      Точка безубыточности имеет большое значение в вопросе жизнестойкости компании и ее платежеспособности. Так, степень превышение объемов продаж над точкой безубыточности определяет запас финансовой прочности (запас устойчивости) предприятия.

Точка безубыточности — минимальный объем  производства и реализации продукции, при котором расходы будут компенсированы доходами, а при производстве и реализации каждой последующей единицы продукции предприятие начинает получать прибыль. Точку безубыточности можно определить в единицах продукции, в денежном выражении или с учётом ожидаемого размера прибыли. Не путать с "точкой окупаемости (проекта)". Это не одно и то же.

      Точка безубыточности в денежном выражении  — такая минимальная величина дохода, при которой полностью  окупаются все издержки (прибыль  при этом равна нулю):

8

где BEP (англ. break-even point) — точка безубыточности,

TFC (англ. total fixed costs) — величина постоянных  издержек,

VC (англ. unit variable cost) — величина переменных  издержек на единицу продукции,

P (англ. unit sale price) — стоимость единицы  продукции (реализация),

C (англ. unit contribution margin) — прибыль с единицы продукции без учета доли переменных издержек (разница между стоимостью продукции (P) и переменными издержками на единицу продукции (VC)).

      Точка безубыточности в единицах продукции  — такое минимальное количество продукции, при котором доход от реализации этой продукции полностью перекрывает все издержки на ее производство:

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


9 


1.3.Интегрированные  пакеты и специализированные  пакеты статистического анализа. 


      Интегрированные пакеты — набор нескольких программных продуктов, функционально дополняющих друг друга, поддерживающих единые информационные технологии, реализованные на общей вычислительной и операционной платформе.

      Наиболее  распространены интегрированные пакеты, компонентами которых являются: СУБД; текстовый редактор;   табличный процессор;    органайзер; средства поддержки электронной почты; программы создания презентаций;  графический редактор.

      Компоненты  интегрированных пакетов могут  работать изолированно друг от друга, но основные достоинства интегрированных пакетов проявляются при их разумном сочетании друг с другом.

      Отличительными  особенностями данного класса программных  средств являются:

 ·   полнота информационных технологий  для конечных пользователей; 

 ·   однотипный интерфейс конечного пользователя для всех программ, входящих в состав интегрированного пакета — общие команды в меню, стандартные пиктограммы одних и тех же функций, стандартное построение и работа с диалоговыми окнами и др.;

 ·    общий сервис для программ интегрированного пакета ;

 ·  легкость обмена и ссылок на  объекты, созданные программами  интегрированного пакета (применяется  два метода: DDE — динамический  обмен данными и OLE — динамическая  компоновка объектами), единообразный  перенос объектов (метод drag-and-drop);

 ·  наличие единой языковой платформы  для разбора макрокоманд, пользовательских  программ;

10

 ·   возможность создания документов, интегрирующих в себе возможности  различных программ, входящих в  состав интегрированного пакета.

      Интегрированные пакеты эффективны и при групповой работе в сети многих пользователей. Так, из прикладной программы, в которой работает пользователь, можно отправить документы и файлы данных другому пользователю, при этом поддерживаются стандарты передачи данных в виде объектов по сети или через электронную почту.

      Наиболее  известные интегрированные пакеты:

• Microsoft Office. В этот мощный профессиональный пакет вошли такие необходимые программы, как текстовый редактор WinWord , электронная таблица Excel, программа создания презентаций PowerPoint, СУБД Access, средство поддержки электронной почты Mail.
• Microsoft Works — это очень простой и удобный пакет, объединяющий в себе текстовый редактор, электронные таблицы и базы данных, а также телекоммуникационные средства для соединения с другими компьютерами по телефонным линиям.

      Специализированные  пакеты - как правило, реализуют несколько  статистических методов или методы, применяемые в конкретной предметной области. Чаще всего это системы, ориентированные на анализ временных рядов, корреляционно-регресионный, факторный или кластерный анализ. Применять такие пакеты целесообразно в тех случаях, когда требуется систематически решать задачи из этой области, для которой предназначен специализированный пакет, а возможностей пакетов общего назначения недостаточно. Из российских пакетов более известны STADIA, Олимп, Класс-Мастер, КВАЗАР, Статистик-Консультант; американские пакеты – ODA, WinSTAT, Statit и т.д.

      Специализированные  программные пакеты  чаще всего  используются в качестве вспомогательных средств, способных значительно облегчить или ускорить решение самых разнообразных задач.

11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


РАЗДЕЛ II. ОПИСАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ

 РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ 
 
 
 
 
 
 


      2.1 Макроэкономические  модели (Задачи 1 типа) 
 


      Задача  № 1.  

Предприятие приобрело актив начальной стоимостью 20 тыс. руб., сроком эксплуатации 5 лет и конечной стоимостью 5 тыс. руб. Рассчитать величину амортизации актива за первый период.

    Решение: Для решения используем функцию АПЛ – функция линейной амортизации. Исходные данные для расчета (в руб.): начальная стоимость - 20000, остаточная стоимость - 5000, период эксплуатации – 5. Функция возвращает величину амортизации актива за первый период, рассчитанную линейным методом. В табл.1 приведены исходные данные и расчет амортизации по функции АПЛ.  

      Таблица 1.

Нач. стоимость	Остат. стоимость	Период	Амортизация
20000	5000	5	3000,00р.

 


  Вывод: таким образом величина амортизации актива за первый период равна 3 тыс. руб. Электронная таблица расчета значений функции приведена на листе Задача 1.  
 


    Задача  № 2.

      Фирма приобрела актив легковой автомобиль «Ford Focus» стоимостью 525 тыс. руб. определить сумму амортизационных отчислений данного актива за его срок службы.

        Решение: Для расчета амортизационных отчислений применяем функцию АСЧ    (нач. стоимость, остаточная стоимость, период эксплуатации), которая возвращает величину амортизации актива за данный период, рассчитанную методом суммы годовых чисел. Для вычисления нам необходимо знать период эксплуатации, который берется из специальных таблиц.

      Для автотранспорта примем срок эксплуатации равным 10 лет

        График и таблица  отчислений приведены на листе Задача 2.

       Вывод: данная функция применяется, когда есть необходимость амортизировать актив как можно быстрее, т. к. сумма отчислений в первые периоды наибольшая, затем постепенно уменьшается, наименьшие отчисления происходит в последнем периоде эксплуатации. 
 


    Задача  № 3

      Необходимо накопить сумму на приобретение автомобиля «Жигули» - 40000 руб. в течении 3 лет. Ежегодный платёж составляет 5000 руб., ставка – 12% годовых. Какую базовую сумму нужно внести на счет?

    Решение: Исходные данные приведены в табл.2 Применяем функцию ПС,

13

    строим  таблицу с найденными значениями по результатам  расчета (табл.3).  Электронная таблица приведена на листе Задача 3.

         Таблица 2 


Период. платеж	Годовой %	Срок  вклада	Конечная  сумма  вклада	Тип платежа
5000	10,0%	3	40000,0р.	1

 


         Таблица 3

Период. платеж Годовой % Срок  вклада Сумма вклада Тип платежа Начальная сумма -5000 12,00% 3 40 000,00р. 1 -15020,95р.

 


    Вывод: применяя функцию ПС мы можем определить необходимую для получения заданного результата суммы на каждый период вклада.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


14

2.2. Задачи линейной оптимизации (Задачи 2 типа) 


      Задача  № 4

      Планом  развития региона предполагается ввести в действие 3 нефтяных месторождения с суммарным объемом добычи равным 18 млн.т. На первом месторождении объем добычи составляет не менее 5 млн.т, на втором - 8 млн. т, на третьем - 5 млн.т. Для достижения такой производительности необходимо пробурить не менее 250 скважин. Для реализации данного плана выделено 105 млн. руб. капитальных вложений (показатель К) и 480 км труб (показатель L).

      Требуется определить оптимальное (максимальное) количество скважин для обеспечения  плановой производительности каждого месторождения.  Исходные данные по задаче приведены в таблице.

      Исходные  данные

Место-рождение	Добыча, млн.т	Фонд скважин	Дебет 1 скважи-ны	Длина трубо-провода  для 1 скважины	Стоимость строительства 1 скважины	K	L
1 2 3	5 8 5	80 50 120	100 200 50	1.0 2.0 0.5	300 200 150
Итого:	18	250	350			105.0	480.0

 


      Решение этой задачи  рассмотрим на примере  использования модуля математического  анализа данных интегрированной  системы (табличного процессора) Excel, который позволяет решать подобные оптимизационные задачи.

      Целью решения данной оптимизационной  задачи является нахождение максимального  значения добычи нефти при оптимальном  количестве скважин по каждому месторождению  с учетом существующих ограничений  по задаче.

      Целевая функция в соответствии с требованиями задачи примет вид:

      

.

где - количество скважин по каждому месторождению.

      Существующие  ограничения по задаче на:

- длину  прокладки труб:

;

- число  скважин на каждом месторождении:

X₁ £ 80,

X₂  £ 50,

X₃ £ 120;

- стоимость  строительства 1 скважины:

15

.

Решение задачи.

Ввести  в электронную таблицу Excel  данные.

      Таким образом, программа выполнила расчет определения оптимального (максимального) количества скважин для обеспечения плановой производительности каждого месторождения. 


Отчет по результатам

      В Таблицах 4,5,6 представлена совокупность данных, которые система выдает  в виде  отчета по результатам  и включает в себя следующее.

      В Таблице 4 приводится исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой ячейки, в которую мы поместили целевую функцию решаемой задачи.

      В Таблице 5 мы видим исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных, которые содержатся в изменяемых ячейках.

      В Таблице 6 отчета по результатам содержит информацию об ограничениях. В столбце «Значение» помещены оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных. Столбец «Формула» содержит ограничения на потребляемые ресурсы и оптимизируемые переменные, записанные в форме ссылок на ячейки, содержащие эти данные. Столбец «Состояние» определяет связанными или несвязанными являются те или другие ограничения. Здесь «связанные» - это ограничения , реализуемые в оптимальном решении в виде жестких равенств. Столбец «Разница» для ресурсных ограничений определяет остаток используемых ресурсов, т.е. разность между потребным количеством ресурсов и их наличием.

      Формат  отчета по результатам позволяет быстро и легко использовать полученное решение как часть управленческого отчета, составляемого менеджером в текстовом редакторе.

      Для большей уверенности может быть получен отчет по устойчивости, который содержит информацию об изменяемых (оптимизируемых) переменных и ограничениях модели. Указанная информация связана с используемым при оптимизации линейных задач симплекс-методом, относящимся к линейному программированию. Она позволяет оценить, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к возможным изменениям параметров модели.

      Первая  часть отчета содержит информацию об изменяемых ячейках, содержащих значения о количестве скважин на месторождениях. В столбце «Результирующее значение» указываются оптимальные значения оптимизируемых переменных. . В столбце «Целевой коэффициент» помещаются исходные данные значения коэффициентов целевой функции. В следующих двух колонках иллюстрируется допустимое увеличение и уменьшение этих коэффициентов без изменения найденного оптимального решения.

      Вторая  часть отчета по устойчивости содержит информацию по

16

      ограничениям, накладываемым на оптимизируемые переменные. В первом столбце указываются  данные о потребности в ресурсах для оптимального решения. Второй содержит значения теневых цен на используемые виды ресурсов. В последних двух колонках помещены данные о возможном увеличении или уменьшении объемов имеющихся ресурсов. 


Таблица 4

Отчет по результатам 


Целевая ячейка (Макс)
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$B$11	Общая добыча: Математическая модель максимизации добычи	0	24000
						Таблица 5
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$C$9	Количество  скважин Месторождение	0	80
	$D$9	Количество  скважин	0	50
	$E$9	Количество  скважин	0	120
Ограничения						Таблица 6
	Ячейка	Имя	Значение	Формула	Состояние	Разница
	$B$6	Стоимость проекта  Математическая модель максимизации добычи	240	$B$6<=$G$6	не связан.	240
	$B$5	Протяженность Математическая модель максимизации добычи	52	$B$5<=$G$5	связанное	53
	$C$9	Количество  скважин Месторождение	80	$C$9<=80	связанное	0
	$D$9	Количество  скважин	50	$D$9<=50	связанное	0
	$E$9	Количество  скважин	120	$E$9<=120	связанное	0

 


      Рассмотрим  решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Исходные данные по задаче приведены в таблице 1.

Решение задачи.

Исходя из постановки задачи имеем следующую систему  неравенств:

 

 

 

 

 

17

и целевую  функцию 

     Преобразуем систему неравенств в систему уравнений, введя дополнительные переменные :

 

 

 

 

 

      _{Построим  исходную симплекс-таблицу:} 


	480	1	2	0,5	1	0	0	0	0	480
	105	0,3	0,2	0,15	0	1	0	0	0	350
	80	1	0	0	0	0	1	0	0	80
	50	0	1	0	0	0	0	1	0	---
	120	0	0	1	0	0	0	0	1	---
	0	-100	-200	-50	0	0	0	0	0

 


    Шаг 1. Выбираем разрешающий (ведущий) столбец . Рассчитываем столбец . Для этого разделим значения столбца А₀ на соответствующие значения разрешающего столбца А₁. В результате получим ряд отношений:

     , , .

    Заносим значения в таблицу. По наименьшему из них = 10 определяем разрешающую строку: . На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находим разрешающий элемент = 1. Заполняем часть таблицы дополнительными множителями, такими, что: умноженная на них разрешающая строка, добавленная к остальным строкам таблицы, образовывает 0 в элементах разрешающего столбца.

    Шаг 2. Разделим на разрешающий элемент = 1 все элементы строки А_{6 .} Заменим все элементы разрешающей строки на полученные новые значения. Обозначение разрешающей строки А_{6 .} заменим на обозначение разрешающего столбца А₁ .

    Составляем  вторую симплекс-таблицу.

    В ней разрешающим столбцом берем  , вычисляем значения , заносим их в таблицу. По минимальному получаем разрешающую строку. Разрешающим элементом будет 1.

18

    Шаг 3. Применив к строкам матрицы арифметические операции (строчные операции в матричной алгебре), приведем все остальные элементы разрешающего столбца А₁ к нулю. В качестве базиса в этих арифметических операциях должна использоваться только ведущая строка.

    Обозначим через R_i i-ю строку. Соотношение «Новая R₃ = Прошлая R₃ – Новая R₁» означает, что новые элементы строки 3 были получены вычитанием элементов новой ведущей строки (строка 1) из соответствующих элементов ведущей строки 3 предыдущего шага. Коэффициенты ( 1; 0,3; 0; 0; 100) соответствуют значениям разрешающего (ведущего) столбца предыдущей таблицы. Выполненные операции перечислены в крайнем правом столбце таблицы. 


	70	0	2	0,5	1	0	0	0	0	140	Новая R1 = Прошлая R1 – 1 Новая R3
	22	0	0,2	0,15	0	1	0	0	0	146.66	Новая R2 = Прошлая R2 – 0,3 Новая R3
	80	1	0	0	0	0	1	0	0	---	Новая R3 = Прошлая R3 / ведущий элемент (1*)
	50	0	1	0	0	0	0	1	0	---	Новая R4 = Прошлая R4 – 0 Новая R3
	120	0	0	1*	0	0	0	0	1	100	Новая R5 = Прошлая R5 – 0 Новая R3
	1000	0	-200	-50	0	0	0	0	0		Новая Z = Прошлая Z – 100 Новая R3

 


    Шаг 4. Шаги повторяются до тех пор, пока не будет достигнута неотрицательность всех элементов в строке целевой функции. 


Составляем  следующую симплекс-таблицу: 


20 0 2 0 1 0 0 0 -0.5 10 7 0 0,2 0 0 0 0 0 -0.15 35 10 1 0 0 0 0 1 0 0 --- 15 0 1 0 0 0 0 1 0 15 100 0 0 1 0 0 0 0 1 --- 6000 0 -200 0 0 0 0 0 50

 


    Аналогичным образом, находим разрешающий столбец  , разрешающую строку и разрешающий элемент = 2. Строим следующую симплекс-таблицу: 
 


80 0 1 0 0.5 0 0 0 -0.25   5 0 0 0 -0.1 0 0 0 -0.1   50 1 0 0 0 0 1 0 0   5 0 0 0 -0.5 0 0 1 0.25   120 0 0 1 0 0 0 0 1   24000 0 0 0 100 0 0 0 0

    Поскольку в строке Z нет отрицательных значений, то эта таблица является конечной. Первый столбец дает искомые значения неизвестных, т.е. оптимальное базисное решение:

    Х₁ = 80, Х₂ = 50, Х₃ = 120, при этом значение целевой функции Z =24000. Задача решена. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


20

2.3 Задачи  кластерного анализа (Задачи 3 типа). 


      Провести  разбиение объектов на основании данных, приведенных в таблице. Выбор метода решения провести   самостоятельно, построить график зависимости данных.

    Задача  № 5 


      Исходные  данные  

№ п/п	1	2	3	4	5	6
х1	5	6	5	10	11	10
х2	10	12	13	9	9	7

где х1 - рентабельность, %

      х2 - производительность труда, тыс.руб\чел.

      Так как в задаче не обуславливаются  единицы измерения признаков, подразумевают, что они совпадают. Следовательно, нет необходимости в нормировании исходных данных, поэтому сразу рассчитываем матрицу расстояний. Для оценки метрики воспользуемся принципами ближайшего и дальнего соседа.

1. Принцип “ближайшего соседа”. 

      Решение задачи. В Excel создаем таблицу с исходными данными и таблицы (матрицы) с расчетами. Для решения задачи воспользуемся агломеративным иерархическим алгоритмом классификации. В качестве расстояния между объектами примем обычное евклидовое расстояние. Тогда согласно формуле:

       ,

      где х - признаки; k - количество признаков, расстояние между объектами 1 и 2 равно:

      р₁₁=0;

      Расчеты последующих расстояний аналогичны.

Электронная таблица по исходным данным и  расчету  расстояний между объектами приведена  на рис. 24.

     1. Из матрицы расстояний следует,  что объекты 5 и 6 наиболее близки P₃₆=1.00 и поэтому объединяются в один кластер. Тем самым оказывается, что объекты 5 и 6 можно объединить в один класс (кластер). После объединения имеем пять кластеров. Полученная классификация приведена в табл.7.

      Таблица 7

Номер кластера	1	2	3	4	5
Состав  кластера	(1)	(2)	(3)	(4)	(5,6)

 


      2. Формируем новую матрицу расстояний  с учетом объединенных 

21

объектов. Для получения расстояний от объекта  до кластера, выбираем из имеющихся  расстояний то, которое является наименьшим, т.е. соответствует принципу ближнего соседа. Воспользуемся полученной матрицей расстояний, чтобы рассчитать расстояние объединяемых объектов. Из матрицы следует, что кластер (5,6) и объект 4 имеют наименьшее расстояние P_MIN=P_3,5,6=1.41. Объединяем указанные объекты в новый кластер. После объединения имеем четыре кластера:  S₍₁₎, S₍₂₎, S₍₃₎, S_(4,5,6)., структура которых приведена в табл. 8.

      Таблица 8

Номер кластера	1	2	3	4
Состав  кластера	(1)	(2)	(3)	(4,5,6)

      3.  Вновь строим матрицу расстояний  для 4 кластеров (табл.9) объединяем объекты 1 и 2, имеющие наименьшее расстояние P_MIN = P_1,2 = 1,41. Расстояние между остальными кластерами остается без изменения. В результате имеем три кластера: S_(1,2), S₍₃₎, S_(4,5,6), структура которых приведена в табл. 9.

      Таблица 9

Номер кластера	1	2	3
Состав  кластера	(1,2)	(3)	(4,5,6)

 


      4. По полученной матрице расстояний  для 3 кластеров проводим анализ  метрики и объединияем теперь  объекты 4,5,6 и объект 3, расстояние  между которыми равно: P_MIN=P_34,5,6=2,24.  Таким образом, при проведении кластерного анализа по принципу “ближайшего соседа” получили два кластера: S_(1,2), S_(3,4,5,6), расстояние между которыми равно:P_{(1,2); (3,4,5,6)} = 3. Структура группировки приведена в табл. 10.

      Таблица 10

Номер кластера	1	2
Состав  кластера	(1,2)	(3,4,5,6)

                 

      Результаты  иерархической  классификации  объектов (предпряитий)  представлены на  рисунке  в виде динамического дерева объединения  кластеров - диаграммы, где по оси  ординат приводятся расстояния между  объединяемыми на данном этапе кластерами, а по оси абсцисс – номера объектов.

Диаграмма кластеризации

22  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


РАЗДЕЛ III. КОМПЬЮТЕРНОЕ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 
 
 
 
 
 
 


Задача 1

 
 
 


24

Задача 2

 
 
 
 


25

Задача 3

Задача 4 


26

Задача 5

 
 


27