Контрольная работа по дисциплине “Эконометрика”

Югорский  государственный университет

Факультет заочного обучения 
 
 
 
 

Специальность 080105 “Финансы и кредит” 

Группа з-4290 

Контрольная работа по дисциплине “Эконометрика”  

Вариант № 14 

Осенний семестр  2011-2012 учебного года 

студент Папу Константин  Геннадьевич 

Номер зачетной книжки 1062903 

Дата предоставления на проверку 30.09.2011 года. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 1. Линейная парная регрессия.

Построить требуемое уравнение регрессии. Вычислить коэффициент детерминации, коэффициент эластичности, бета-коэффициент и дать их смысловую нагрузку в терминах задачи. Проверить адекватность уравнения с помощью F теста. Найти дисперсию оценок и 95% доверительные интервалы для параметров регрессии. Данные взять из таблицы. Найти прогнозируемое значение объясняемой переменной для некоторого значения объясняющей переменной, не заданной в таблице. 

Построить уравнение линейной регрессии объема валового выпуска (в млн. руб.) от стоимости производственных фондов (млн. руб.)

 

Решение:

По смыслу задачи роль переменной Х будет играть стоимость производственных фондов, роль переменной Y будет играть объем валового выпуска. Будем строить уравнение регрессии

.

Вычислим  необходимые средние величины:

Вычисляя  оценки параметров по формулам

.

получим,

В результате искомое уравнение регрессии  примет вид

Y = 0,975 + 0,73X.

Находя  прогнозируемые значения переменной Y и соответствующие остатки регрессии

, получим, что 

Оценка  дисперсии ошибок регрессии равна

Найдем

  

Тогда оценки дисперсии параметров регрессии  равны

Вычислим  коэффициент детерминации

это показывает, что изменение объема валового выпуска на 50,9% объясняется изменением уровня стоимости производственных фондов.

Вычислим  коэффициент эластичности

это показывает, что при изменении уровня стоимости производственных фондов в среднем на 1%, объем валового выпуска изменится в среднем на 0,734%.

Найдем  средне квадратические отклонения переменных, которые находятся по формулам

Тогда бета коэффициент равен

это показывает, что при изменении разброса уровня стоимости производственных фондов разброс объема валового выпуска изменится на 0,713 от 1,33, то есть на 0,713·1,33 = 0,94829.

Проверка  адекватности построенного уравнения  проведем с помощью F теста проверки

гипотезы H₀: θ₁ = 0 на уровне значимости α = 0,05. Расчетное значение F теста равно

Критическое F_кр = F_0,05 (1;8) = 5,32.

Расчетное значение больше критического, следовательно, гипотеза H₀: θ₁ = 0 отвергается и уравнение можно признать адекватным изучаемому процессу.

Найдем 95% доверительные интервалы для  параметров регрессии по формулам:

,

где  критическая точка распределения Стьюдента, отвечающая уровню значимости и степенями свободы (область двусторонняя). 

t _0,05(8) = 2,31, S₀ = 0,985, S₁ = 0,064. Тогда доверительные интервалы примут вид

Найдем  прогнозируемый объем валового выпуска, с уровнем стоимости производственных фондов, равным 70: Y = 0,975 + 0,73*7 = 6,085 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 2. Линейная множественная  регрессия.

Построить требуемое уравнение регрессии. Вычислить коэффициент детерминации, частные коэффициенты  эластичности, частные бета коэффициенты и дать их смысловую нагрузку в терминах задачи. Проверить адекватность уравнения с помощью F теста. Найти оценку матрицы ковариаций оценок параметров регрессии и 95% доверительные интервалы для параметров регрессии. Проверить наличие мультиколлинеарности в модели. Данные взять из таблицы.  

Построить уравнение линейной регрессии объема выпуска продукции растениеводства (в тыс. руб.) от численности занятых работников (чел.) и количества выпавших осадков в период вегетации (мм/кв.метр)

 

Решение.

Искомое уравнение имеет вид 

.

По смыслу задания имеем, что Y – объем выпуска продукции растениеводства , X₁ – численности занятых работников, X₂ – количества выпавших осадков в период вегетации.

n = 7, k = 2. Введем в рассмотрение матрицы

Тогда матрица X^ТX примет вид

обратная  к ней равна

отсюда  оценка вектора параметров модели примет вид

В результате искомое уравнение имеет вид Y = 15,38150325 – 0,091741417X₁ + 0,285369626X₂ .

Найдем  векторы прогноза и остатков регрессии

 

Отсюда  находим, что e^Тe = 9,932124961, и оценка дисперсии ошибок регрессии равна

Находя  средние величины каждой переменной, получим 

Матрица y примет вид:

 

Тогда y^Тy = 10,54857143

Вычисляя  коэффициент детерминации, получим

это показывает, что изменение объема выпуска продукции растениеводства на 6% зависит от численности занятых работников и количества выпавших осадков, действующих в совокупности.

Находя  частные коэффициенты эластичности, получим:

это показывает, что при изменении численности занятых работников в среднем на 1 % (при неизменном количестве выпавших осадков) объема выпуска продукции растениеводства изменится на -0,067%.

это показывает, что при изменении количества выпавших осадков в среднем на  1 % (при неизменной численности занятых работников) объема выпуска продукции растениеводства изменится на 0,177%.

Находя  среднее квадратические отклонения переменных, получим:

Частные бета коэффициенты:

это показывает, что при изменении разброса численности занятых работников на 3,546 единицы (при неизменном количестве выпавших осадков) разброс объема выпуска продукции растениеводства изменится на     -0,078 от 4,158, то есть на -0,078·4,158 = - 0,324324 ед.

это показывает, что при изменении разброса количества выпавших осадков на 3,273 единицы (при неизменной численности занятых работников) разброс объема выпуска продукции растениеводства изменится на 0,225 от 4,158, то есть 0,225 ·4,158 = 0,93555 ед.

Проверка  адекватности построенного уравнения проведем с помощью F теста проверки

гипотезы H₀: θ₁ = θ₂ = 0. Расчетное значение F теста равно

Критическое F_кр = F_0,05 (2;4) = 6,94. расчетное значение меньше критического, следовательно, гипотеза H₀: θ₁ = 0 принимается и построенное уравнение нельзя считать адекватным изучаемому процессу. 

Оценка  матрицы ковариаций оценок параметров регрессии примет вид:

 

из этой матрицы получаем, что S²₀ = 19,482540511, S²₁ = 0,082946914, S²₂ = 0,331787657.

T_0,05(4) = 2,78. Тогда доверительные интервалы примут вид:

Проверим  наличие мультиколлинеарности в  модели , тогда

,

Так как  , то в модели отсутсвует тесная корреляционная связь между переменными X₁ – численности занятых работников и X₂ – объема выпуска продукции растениеводства, и, следовательно, в модели отсутствует явление мультиколлинеарности. Вследствие чего модель является устойчивой. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 3. Введение в анализ временных рядов.

Проверить ряд на наличие тренда. Сгладить ряд методом простой скользящей средней (m = 3), экспоненциальным сглаживанием (α = 0,3, α = 0,8). Построить исходный и  сглаженные ряды. На основании построенных  рядов определить вид трендовой модели. Построить трендовую модель.

Сделать прогноз изучаемого признака на два  шага вперед.

87; 77; 75; 74; 69; 66; 62; 61; 59; 57; 57; 52; 50; 48; 46; 43; 43; 41; 38; 35

Решение. Проверим ряд на наличие тренда с  помощью метода Фостера-Стъюарта.

1) Построим  две последовательности {k_t },{l_t }. Результаты оформим в виде таблицы