Этапы прикладного математического исследования

Этапы прикладного  математического исследования

Обычно в прикладном математическом исследовании можно условно выделить следующие основные этапы:

1) математическое формулирование задачи (другими словами, построение математической модели, математическое моделирование), опирающееся на неформальное обсуждение ее постановки;

2) выбор метода исследования сформулированной математической задачи;

3)  проведение математического исследования (чаще всего в это исследование входят также приближенные вычисления);

4)   анализ и реальная интерпретация полученного математического, результата.

Эти этапы тесно связаны  между собой, и поэтому их расчленение  является до некоторой степени искусственным. Так, математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи. С другой стороны, в процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить математическую модель.

2. О понятии модели в прикладном исследовании. Содержание понятий «модель», «моделирование» в различных сферах знания и человеческой   деятельности   чрезвычайно   разнообразно.   Однако здесь есть и нечто существенно общее: модель в том или ином смысле, более или менее полно имитирует оригинал — моделируемый объект.

Из общих свойств моделей  отметим, что поскольку модель строится лишь для имитации и притом лишь части свойств исходного объекта, то, как правило, она оказывается в целом проще его. Это относится как к исследовательским, так и к рабочим моделям (автопилот проще пилота, протез проще заменяемого органа, кукла проще ребенка, деньги проще товара и т. д.).

 Исследовательские модели можно грубо и условно подразделять на две группы: экспериментальные (предметные) и теоретические (умозрительные).

Экспериментальные модели представляют собой реально осуществляемые устройства двух основных типов. Модели первого типа имеют ту же природу, что моделируемый объект, но воспроизводят его упрощенно и, обычно, в измененном масштабе.

Экспериментальные модели другого  типа — аналоговые модели — основаны на нередко встречающихся совпадениях математического описания различных явлений.

Умозрительная модель формулируется  на языке той или иной науки. В  зависимости от характера этого  языка можно говорить о математической модели, физической модели, экономической модели и т. д.

Умозрительные физические модели имитируют реальный объект с помощью  абстрактных представлений на физическом языке, причем нередко с широким использованием языка и средств математики. Они дают более или менее упрощенное описание этого объекта и получаются в результате мысленного отвлечения от многих свойств и связей оригинала и выделения тех его сторон и признаков, которые представляют важность для исследователя.

После того, как умозрительная  физическая модель образована, переходят  к построению математической модели. Математической моделью достаточно сложного оригинала служит система  уравнений в самом широком  смысле этого термина; разумеется, математическая модель отдельного элемента относительно проще — она может оказаться геометрическим образом, функцией, вектором, матрицей, скалярной величиной или даже конкретным числом.

Конечно, общие контуры  математической модели вырисовываются уже на этапе умозрительного физического моделирования. Однако и после завершения этого этапа, как правило, возможны разнообразные модификации математической модели: иногда в уравнениях можно оставлять одни члены и отбрасывать другие; нелинейные зависимости заменять линейными, сложные геометрические формы — более простыми и т. д. Впрочем, в некоторых случаях дело обстоит проще, и умозрительная физическая модель допускает непосредственную математическую формулировку; такие модели, представленные обычно схематическим чертежом, называются расчетными схемам.

Умение правильно выбрать  математическую модель находится на грани науки и искусства . Оно требует не только необходимых математических и прикладных знаний и опыта, но также вкуса и чувства соразмерности. Поэтому вопрос об общих методах построения таких моделей очень сложен и мало разработан.

При умозрительном физическом или математическом моделировании исследователь обычно стремится обеспечить имитацию свойств оригинала путем отражения в модели «внутреннего устройства» (структуры) оригинала, тогда говорят о структурной модели. Указание структуры реального объекта всегда является результатом некоторой его схематизации, т. е. означает переход к его модели. В сложных случаях такое указание составляет важную проблему  и может осуществляться различными неэквивалентными способами, оказывающими существенное влияние на направление и перспективы исследования.

Структурное сходство модели с оригиналом отнюдь не обязательно. В ряде случаев при моделировании пользуются довольно условными представлениями типа аналоговых, так что подлинная структура оригинала отражена в модели относительно слабо.

Описанный путь построения математической модели с помощью  умозрительного физического моделирования  можно назвать классическим. Однако в последнее время все чаще используется предельно укороченный путь, когда свойства оригинала устанавливаются без анализа его структуры и свойств элементов, а с помощью прямых наблюдений над входными и выходными параметрами. Эти наблюдения при их надлежащей организации и обработке позволяют образовать умозрительную функциональную модель — математическую модель, которая в той или иной форме описывает отклик оригинала на внешние возмущения.

Обычно в прикладном исследовании, в котором применяется математика, строится несколько моделей. Эти модели могут относиться к различным компонентам или различным аспектам изучаемого явления, могут иметь разные степени абстрактности, а их анализ может чередоваться с действиями нематематического характера. Кроме того, могут возникать цепочки, в которых каждое последующее звено служит моделью для предыдущего). В процессе исследования происходят переходы от одних моделей к другим, а иногда и параллельно изучение нескольких моделей. Отметим, что при этом возможен переход от математических соотношений к их физическим моделям.

Понятие «изучить модель»  существенно сложней, чем это может показаться с первого взгляда; лишь в редких случаях это изучение приводит к искомому короткому ответ (числу с небольшим количеством верных цифр, ответу типа «да» ил «нет» и т. п.), который обычно является окончательной целью исследования.

3. Требование адекватности. Важнейшим требованием к математической модели является требование ее адекватности изучаемому реальному объекту (процессу и т. д.) относительно выбранной системы его характеристик. Под этим обычно понимается:

1)  правильное качественное описание объекта по выбранным характеристикам  (например,   в  результате  изучения  динамической модели мы делаем правильный вывод о затухании колебаний реального объекта, об устойчивости его движения и т. п.);

2)  правильное количественное описание объекта по выбранным характеристикам с некоторой разумной степенью точности.

Отмечу, что, естественно говорить не просто об адекватности модели, но также о большей или меньшей адекватности. Поэтому мы будем условно говорить о степени адекватности модели, понимая под этой степенью как бы долю истинности модели относительно выбранной характеристики изучаемого объекта, нечто вроде коэффициента взаимосвязи модели и исходного объекта по этой характеристике.

Адекватность модели следует рассматривать только по определенным признакам, характеристикам, принятым в данном исследовании за основные.

Не существует «универсальной адекватности», ибо такая адекватность означала бы тождество модели и моделируемого объекта.

Нужно учитывать, что всякая адекватность лишь относительна и имеет свои рамки применимости, может привести (и не раз приводило) к попыткам навязать реальному объекту свойства его модели — например, к всерьез высказываемому утверждению, что скорость распространения тепла «на самом деле» бесконечна.

Адекватная модель обычно обладает той или иной побочной адекватностью, другими словами, она дает правильное качественное количественное описание не только характеристик, для которых она была построена, но также и ряда других, независимых характеристик, потребность изучения которых может возникнуть в дальнейшем.

Чем выше эта побочная адекватность,   тем шире область приложимости модели, и потому обычно тем модель оказывается «долговечнее». Побочная адекватность модели повышается с усилением в ней роли хорошо проверенных физических законов.

Важной предпосылкой успеха прикладного исследования является соблюдение при последовательном моделировании итоговой адекватности по тем характеристикам, изучение которых является целью исследования.

4. Влияние неучитываемых факторов. Формулируя математическую модель, мы всегда пренебрегаем рядом факторов, которые считаем несущественными, и идеализируем характер других (например, полагаем те или иные зависимости линейными, строго периодическими и т. п.). Между этими двумя типами упрощений нет принципиальной разницы, так что будем для краткости говорить просто о влиянии неучитываемых факторов. Это влияние, конечно, и является причиной неадекватности модели реальному объекту.

например, изучают характер возбуждения некоторой реальной колебательной системы. Тогда утверждение У: «гармоническое воздействие на линейную систему с диссипацией порождает после переходного процесса гармонические колебания» реально означает У_р: «практически гармоническое воздействие на практически линейную систему и т. д.»; здесь слово «практически» означает, что допускаются неучитываемые «отклонения от номинала», характер и масштаб которых свойственны рассматриваемому классу задач. Такое «размывание» этого и других подобных утверждений делает их, а с ними и всю математическую модель, устойчивыми относительно неучитываемых факторов. Из сказанного следует, в частности, что выбор адекватной модели необходимо увязывать с характером и масштабом неучитываемых факторов.

5. Требования простоты и оптимальности. Если ориентироваться только на требование адекватности, то сложные модели предпочтительнее простых. В самом деле, применяя сложную модель, можно учесть большее число факторов, которые могут так или иначе повлиять на изучаемые характеристики. Например, при составлении системы уравнений, описывающих исследуемый объект, с точки зрения адекватности выгоднее привлечь как можно больше параметров, характеризующих этот объект; но это может привести к громоздким, порой необозримым системам уравнений, не поддающимся изучению.

Таким образом, мы приходим к требованию достаточной простоты модели по отношению к выбранной системе ее характеристик, до некоторой степени противоположному требованию адекватности. Модель является достаточно простой, если современные средства исследования (физические, математические, в частности вычислительные) дают возможность провести экономно по затратам труда, но с разумной точностью, качественный или количественный (в зависимости от постановки задачи) анализ выбранных характеристик- свойств и осмыслить результат.

7. Определяющие параметры и число степеней свободы. Одним из важнейших вопросов при построении модели является вопрос о выборе системы независимых величин (постоянных или переменных; скалярных, векторных, и т. п.), достаточно полно характеризующих состояние моделируемого объекта или протекание изучаемого процесса. Такие величины (в широком смысле слова) часто называют определяющими параметрами.

Л. И. Седов пишет «Понятие об определяющих параметрах и об их числе в общем случае является непосредственным обобщением понятия о степенях свободы и о независимых координатах для механических систем в аналитической механике и классической термодинамике». Таким образом, термин «число степеней свободы» можно толковать в широком смысле, понимая под ним общее число определяющих параметров. Однако, говоря о числе степеней свободы, мы будем для простоты иметь в виду число привлекаемых к рассмотрению однородных определяющих скалярных параметров.

Число определяющих параметров модели может быть как конечным, так и бесконечным. В подавляющем большинстве реальных задач предположение о практически конечном (т. е. не слишком большом) числе степеней свободы представляет собой идеализацию, и потому в принципе, чем больше степеней свободы в модели, тем с большей точностью можно описать исходный объект. Однако при слишком большом числе степеней свободы модель может оказаться столь сложной и не наглядной, что проанализировать с ее помощью интересующие нас характеристики может оказаться затруднительно («за деревьями можно не увидеть леса»). Оптимальным может оказаться весьма небольшое число степеней свободы (во многих задачах даже одна степень!), зависящее от изучаемых характеристик объекта и от схемы модели. Уменьшение числа степеней свободы в модели, не приводящее к заметной потере адекватности, может потребовать большого искусства и оказаться весьма существенным для возможности доведения исследования до конца .

Таким образом, в отличие  от традиционного математического  представления число степеней свободы  для реальной системы не есть нечто  абсолютное. Оно зависит от выбора модели, который должен определяться, конечно, не вкусом исследователя, а самой задачей исследования, т. е. типом возмущений, набором изучаемых параметров, необходимой точностью результата и т. п. Если же эти условия исследования выбраны, то в задаче имеется как бы «истинное», «существенное» число степеней свободы — число, при котором модель еще не утрачивает адекватности.

Усложнение модели, получающееся при увеличении числа N ее степеней свободы, может происходить по существенно различным законам, о которых надо иметь в конкретных задачах хотя бы ориентировочное представление, так как такое усложнение может сделать решение задачи невозможным.