Экономико-математическое моделирование

БАШКИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 

•                                                                 Факультет: экономический

•                                                                  Кафедра: статистики и

•                                                                   информационных систем в экономике

                                                                  Специальность: бухгалтерский учет   

                                                                   анализ и аудит

           

•                                               Форма обучения: заочная

                                                                   Курс, группа: III, 4 
 
 
 
 
 
 
 
 


Эконометрика 


Контрольная работа 
 
 
 
 


                                               «К защите допускаю» 

                                               Руководитель:__________

(ученая степень, звание, Ф.И.О.)

____________________________

(подпись)

      «__» ________ 200_ г. 
 
 
 
 
 
 


Уфа 2009 
 


ОГЛАВЛЕНИЕ 


ВВЕДЕНИЕ                                                                                                                 3

1. Задача №1                                                                                                          5
2. Задача №2                                                                                                          10
3. Задача №3                                                                                                          13

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК                                                                       18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Введение

     Эконометрика  –наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов..

     Этапами эконометрических исследований являются:

     - постановка проблемы;

     - получение данных, анализ их качества;

     - спецификация модели;

     - оценка параметров;

     - интерпретация результатов.

Эконометрическое исследование включает решение следующих проблем:

      - качественный анализ связей экономических  переменных – выделение зависимых  и независимых переменных;

      - подбор данных;

      - спецификация формы связи между  у и х;

      - оценка параметров модели;

      - проверка ряда гипотез о свойствах  распределения вероятностей для  случайной компоненты;

      - анализ мультиколлинеарности объясняющих  переменных, оценка ее статистической  значимости, выявление переменных, ответственных  за мультиколлинеарность;

      - введение фиктивных переменных;

      - выявление автокорреляции, лагов;

      - выявление тренда, циклической и  случайной компонент;

      - проверка остатков на гетероскедатичность;

      - и др.

     Целью данной контрольной работы является приобретение умения построения эконометрических моделей, принятие решений о спецификации и идентификации моделей, выбор метода оценки параметров модели, интерпретация результатов, получение прогнозных оценок.

     Задачей данной работы является решение поставленных вопросов  с помощью эконометрических методов. Данная работа позволит приобрести навыки  использования различных эконометрических методов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача 1

      По  данным, представленным в таблице  выполнить следующие расчеты:

1. рассчитать параметры парной линейной регрессии.
2. оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации
3. оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
4. оценить статистическую зависимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдентов
5. рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 20% от его среднего уровня значимости α = 0,05

Решение.

      Рассчитаем  параметры парной линейной регрессии. Для этого выберем модель уравнения, построим уравнение тренда.

      Для рассмотрения зависимости урожайности от дозы внесенных удобрений используем уравнение прямой:

y = a + bx

где х – независимый  признак, доза внесенных удобрений

      у – урожайность,

      a, b – параметры уравнения регрессии.

Для расчетов параметров уравнения составим систему уравнений

na + b∑х = ∑у

a∑х + b∑х² = ∑ух

где n – число наблюдений, n=25

                                           25а +86,5 b = 256,9

86,5a + 844,941b = 995,969

Параметры а  и b можно определить по формулам

  и a = y - bx

b = (39,839 – 3,46∙10,276)/ (33,798-3,46²) = 0,1960

а = 10,276 – 0,196∙3,46 = 9,598

ỹ = 9,598 + 0,196х

     Коэффициент регрессии b= 0,196 ц/га показывает, насколько в среднем повысится урожайность при увеличении дозы внесения удобрений на 1 кг. 

     Средняя ошибка аппроксимации 

     

= 1/25 ∙494,486 = 19,780%

Ошибка аппроксимации 19,78 % > 12% – модель ненадежна и  статистически незначима.

Оценим тесноту  связи с помощью показателей  корреляции и детерминации.

Тесноту связи показывает коэффициент корреляции:

δ_x - показывает, что в среднем фактор Х меняется в пределах

, 3,46 ± 4,672

δ_у - показывает, что в среднем фактор Y меняется в пределах

, 10,276 ±  2,289
 


r_xy = 0,401,    0,3≤0,401≤0,5 – связь слабая 


Коэффициент детерминации R = r_xy² ∙100% = 0,401²∙100% = 16,08.

y зависит от выбранного x на 16,08%, на оставшиеся 100-16,08% y зависит от других факторов.

     Оценим  статистическую значимость уравнения  регрессии и его параметров с  помощью критериев Фишера и Стьюдента.

     

     При α = 0,05, κ₁ = n-1, κ₂ = n-2 =25-2 =23 


F_табл. = 2,00, F_Фиш. = 4,414 > F_табл. = 2,00 – модель значима и надежна 


     Рассчитаем  прогнозное значение результата с вероятностью 0,95% при повышении дозы внесения удобрений от своего среднего уровня и определим доверительный интервал прогноза.

     Найдем  точечный прогноз для х_{прогноз} = 1,2∙х , х_р = 1,2 ∙3,46 = 4,152

ỹ = a+bx, ỹ_р = 9,598 + 0,196∙ х_р = 9,598 + 0,196∙4,152 = 10,412

      Найдем  среднюю ошибку прогнозного значения 

 


F_табл. Стьюдента для α = 0,05, df = n-2 = 25-2 = 23

                           t_табл.=2,0687,

                          ∆_ур = t_табл∙станд.ошибка = 2,0687∙2,188 = 4,526

Доверительный интервал прогноза по урожайности

                          γ_ур = y_p ± ∆_ур = 10,412 ± 4,526, от 5,886 до 14,938 


 


Таблица 1. Исходные данные для задачи 1

№	Внесено мин.удобрений, ц	Урожайность, ц/га	Х2	у∙х	У2	Урожайность расчетная, Ỹ	(Y-Ỹ)	(Y-Ỹ)/100	(Y-Ỹ)2	(Х-¯Х)2
1	13,9	9,4	193,21	130,66	88,36	12,322	-2,922	31,085	8,538	108,994
2	8,8	15	77,44	132	225	11,323	3,677	100,245	13,52	28,516
3	4	8,2	16	32,8	67,24	10,382	-2,182	26,610	4,761	0,292
4	0,01	8,2	0,0001	0,082	67,24	9,6	-1,4	17,073	1,96	11,903
5	4,2	13,7	17,64	57,54	187,69	10,421	3,279	23,934	10,752	0,548
6	0,7	9,2	0,49	6,44	84,64	9,735	-0,535	5,815	0,286	7,618
7	6,7	12,4	44,89	83,08	153,76	10,911	1,489	12,008	2,217	10,498
8	15,9	14	252,81	222,6	196	12,714	1,286	9,186	1,654	154,754
9	1,9	8,6	3,61	16,34	73,96	9,97	-1,37	15,930	1,877	2,434
10	1,9	14,7	3,61	27,93	216,09	9,97	4,73	32,177	22,373	2,434
11	0,01	6,3	0,0001	0,063	39,69	9,6	-3,3	52,381	10,89	11,903
12	0,01	8,5	0,0001	0,085	72,25	9,6	-1,1	12,941	1,21	11,903
13	0,01	8,8	0,0001	0,088	77,44	9,6	-0,8	9,091	0,64	11,903
14	1,2	10,9	1,44	13,08	118,81	9,833	1,067	9,789	1,138	5,108
15	0,01	9,2	0,0001	0,092	84,64	9,6	-0,4	4,348	0,16	11,903
16	0,01	13,4	0,0001	0,134	179,56	9,6	3,8	28,358	14,44	11,903
17	3,7	10,8	13,69	39,69	116,64	10,323	0,477	4,417	0,288	0,058
18	0,01	7,9	0,0001	0,079	62,41	9,6	-1,7	21,519	2,89	11,903
19	0,01	9,1	0,0001	0,091	82,81	9,6	-0,5	5,495	0,25	11,903
20	1,6	9,2	2,56	14,72	84,64	9,912	-0,712	7,739	0,507	3,460
21	2,5	10,3	6,25	25,75	106,09	10,088	0,212	2,058	0,045	0,922
22	0,01	11,1	0,0001	0,111	123,21	9,6	1,5	13,514	2,25	11,903
23	6,3	9,5	39,69	59,85	90,25	10,833	-1,333	14,032	1,777	8,066
24	0,01	8,4	0,0001	0,084	70,56	9,6	-1,2	14,286	1,44	11,903
25	13,1	10,1	171,61	132,31	102,01	12,166	-2,066	20,455	4,268	92,930
Итого	86,5	256,9	844,941	995,969	2770,99	256,903	0,003	494,486	110,071	545,662
Среднее значение	3,46	10,276	33,798	39,839	110,84					21,826

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Задача 2

      По  данным представленным в таблице 3 изучается  зависимость бонитировочного балла (У) от трех факторов.

С помощью ППП  MS Excel:

1. Построить  матрицу парных коэффициентов корреляции. Установить, какие факторы мультиколлинеарны.

2. Построить  уравнение множественной регрессии  в линейной форме с полным  набором факторов.

3. Оценить статистическую  значимость уравнения регрессии  и его параметров с помощью  критериев Фишера и Стьюдента.

4. Отобрать информативные  факторы. Построить уравнение  регрессии со статитически значимыми  факторами.

5. Оценить полученные  результаты, выводы оформить в  аналитической записке. 


      В ППП MS Excel построим матрицу парных коэффициентов корреляции (сделать вставку из ексель зад.2).

     По  данным матрицы, определим мультиколлинеарность факторов, когда более чем два  фактора связаны между собой  линейной зависимостью. Из полученной матрицы видно, что зависимости  между тремя данными факторами  нет. Так r_x2x1= -0,0732, r_x3x1= 0,0427, r_x3x2= -0,0886. Из всех трех факторов наиболее тесно связан с результатом фактор Х₁ – доза внесения удобрения на посевную площадь, r_yx1= 0,4004, затем фактор Х₂ – коэффициент износа основных средств, , r_yx2= 0,3858  и очень слабая зависимость от 3-го фактора Х₃ , r_yx3= 0,0264.

     Построим  уравнение множественной регрессии  с полным набором факторов. Так  как факторы не коррелируют между  собой, то для включающего три  объекта переменных уравнение множественной  регрессии выглядит следующим образом:

     y = a + b₁∙x₁ + b₂∙x₂ + b₃∙x₃+ ξ

     С помощью ППП MS Excel найдем значения а и b:

     b = 13,9661, а₁ = 0,1837, а₂= - 0,0917, а₃ = 0,0022

     Итак, уравнение множественной регрессии  с полным набором факторов будет  следующим:

     y = 13,9661 + 0,1837х₁ - 0,0917x₂ + 0,0022x₃

     Оценим  статистическую значимость уравнения  регрессии и его параметров с  помощью критериев Фишера и Стьюдента. Значимость уравнения множественной  регрессии оценивается с помощью  F-критерия Фишера:

     

     где R² – коэффициент множественной регрессии,

     m – число параметров при переменных х,

     n – число наблюдений.

     R = 0,5369

     

     F_таб= при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 1 и 21 равно 4,32.

     F_факт < F_таб – модель незначима и ненадежна.

Для того чтобы  модель была надежна уберем из нее  фактор х₃, так как он меньше всего коррелирует с у. Получим уравнение:

     y = 14,1136 + 0,1837х₁ - 0,0917x₂

     Значимость  уравнения множественной регрессии  по F-критерию составляет F_факт = 4,45. Так как F_факт = 4,45 > F_таб = 4,35, то модель значима и надежна.

Итак, составив уравнение множественной регрессии  и включив в него три фактора, определила, что с помощью F-критерия Фишера полученная модель незначима и ненадежна. Затем исключила из модели наиболее незначимый признак X₃, так как он имеет наименьший коэффициент корреляции с результативным показателем.  По полученному уравнению регрессии видно, что средняя урожайность составляет 14,1136 ц/га увеличится на 0,1837 ц/га при повышении дозы внесения удобрения на 1 ц, и уменьшится на 0,0917 ц/га при повышении коэффициента износа основных средств на 1 единицу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


     Задача 3

     По  учебнику задача №37

     1.Найти  коэффициенты автокорреляции разного  порядка и выберите величину  лага.

       2.Построить авторегрессионную функцию.

     3. Рассчитать прогнозные значения  на три года вперед.

     В таблице 4 приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на говядину из США на рынках Нью-Йорка, амер.центы  за фунт.

           Данная задача относится  к типу задач на моделирование временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием  большого числа факторов, которые условно можно разделить на три группы:

- факторы,  формирующие тенденцию ряда;

- факторы,  формирующие циклические колебания  ряда;

- случайные  факторы.

     Нанесем значения нашей задачи на график (рисунок 1). 


  Из структуры графика видно, что основной компонентой временного ряда является возрастающая компонента.

      Найдем  коэффициенты автокорреляции разного  порядка и выберем величину лага.

Таблица  Расчет коэффициента автокорреляции первого  порядка для временного ряда расходов на конечное потребление

t	yt	Yt-1	yt-y1	Yt-1-y2	(yt-y1)( Yt-1-y2)	(Yt-1-y1)2	(Yt-1-y2)2
1	41	-	-	-	-	-	-
2	42	41	-36,07	-35,41	1277,24	1301,04	1253,87
3	49	42	-29,07	-34,41	1000,29	845,06	1184,05
4	64	49	-14,07	-27,41	385,66	197,9	751,31
5	53	64	-25,07	-12,41	311,12	628,5	154
6	44	53	-34,07	-23,41	797,58	1160,76	548,03
7	52	44	-26,07	-32,41	844,93	679,6	1050,41
8	51	52	-27,07	-24,41	660,78	732,8	595,85
9	71	51	-7,07	-25,41	179,65	50	645,67
10	92	71	13,93	-5,41	-75,36	194,04	29,27
11	87	92	8,93	15,59	139,22	79,75	243,05
12	86	87	7,93	10,59	83,98	62,89	112,15
13	99	86	20,93	9,59	200,72	438,06	91,97
14	96	99	17,93	22,59	359,86	321,48	510,31
15	97	96	18,93	19,59	370,84	358,34	383,77
16	89	97	10,93	20,59	225,05	119,46	423,95
17	77	89	-1,07	12,59	-13,47	1,14	383,77
18	81	77	2,93	0,59	1,73	8,58	0,35
19	82	81	3,93	4,59	18,04	15,44	21,07
20	87	82	8,93	5,59	49,92	79,74	31,25
21	94	87	15,93	10,59	168,7	253,76	112,15
22	90	94	11,93	17,59	209,85	142,32	309,41
23	90	90	11,93	13,59	162,13	142,32	184,69
24	93	90	14,93	13,59	202,9	222,9	184,69
25	87	93	15,93	16,59	264,28	253,76	275,23
26	84	87	5,93	10,59	62,8	35,16	112,15
27	85	84	6,93	7,59	52,6	48,02	57,61
28	86	85	7,93	8,59	68,12	62,88	73,79
	2149	2063	9,25	11,02	8016,65	8435,7	9723,82

 


y₁ = ∑ у_t / (n-1) = (42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+94+90+90+93+87+84+85+86)/27= 2149/27 = 78,07

у₂ = ∑ у_t-1 / (n-1) = (41+42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+94+90+90+93+87+84+85)/27 = 2063/27 = 76,41

r₁= 8016.65/ √(8435,7 х 9723,82) = 0,8951 


Таблица  Расчет коэффициента автокорреляции второго  порядка для временного ряда расходов на конечное потребление

t	yt	Yt-2	yt-y2	Yt-2-y2	(yt-y2)( Yt-2-y2)	(Yt-2-y2)2	(Yt-2-y2)2
1	41	-	-	-	-	-	-
2	42	-	-	-	-	-	-
3	49	41	-33,65	-35,08	1180,44	1132,32	1230.60
4	64	42	-18,65	-34,08	635,6	347,82	1161.45
5	53	49	-29,65	-27,08	802,92	879,12	733.33
6	44	64	-38,65	-12,08	466,89	1493,82	145,93
7	52	53	-30,65	-23,08	707,4	939,42	532,69
8	51	44	-31,65	-32,08	1015,33	1001,72	1029,13
9	71	52	-11,65	-24,08	280,53	135,72	579,85
10	92	51	9,35	-25,08	-234,5	87,42	629,01
11	87	71	4,35	-5,08	-22,1	18,92	25,81
12	86	92	3,35	15,92	53,33	11,22	253,45
13	99	87	16,35	10,92	178,54	267,32	119,25
14	96	86	13,35	9,92	132,43	178,22	98,41
15	97	99	14,35	22,92	328,9	205,92	525,33
16	89	96	6,35	19,92	126,5	40,32	396,81
17	77	97	-5,65	20,92	-118,2	31,92	437,65
18	81	89	-1,65	12,92	-21,32	2,72	166,93
19	82	77	-0,65	0,92	-0,6	0,42	085
20	87	81	4,35	4,92	21,4	18,92	24,21
21	94	82	11,35	5,92	67,2	128,82	35,05
22	90	87	7,35	10,92	80,26	54,02	119,25
23	90	94	7,35	17,92	131,71	54,02	321,13
24	93	90	10,35	13,92	144,07	107,12	193,77
25	87	90	4,35	13,92	60,55	18,92	193,77
26	84	93	1,35	16,92	22,84	1,82	286,29
27	85	87	2,35	10,92	25,66	5,52	119,25
28	86	84	3,35	7,92	26,53	11,22	62,73
	2149	1978			6092,31	7174,72	9422,38

 


y₁ = ∑ у_t / (n-1) = (42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+94+90+90+93+87+84+85+86)/27= 2149/26 = 82,65 


у₂ = ∑ у_t-1 / (n-1) = (41+42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+94+90+90+93+87+84)/27 = 1978/26 = 76,08

r₂ = 6092,31/√ (7174,72 х 9422,38) = 0,7410 


Итак, коэффициент  корреляции первого порядка r₁ = 0,8961

коэффициент корреляции второго порядка r₂ = 0,7550

Автоматически в ППП Exel рассчитаем коэффициент  корреляции третьего порядка r₃ = 0,6546, и коэффициент корреляции четвертого порядка r₄ = 0,5461

      Как видно из полученных данных,  наиболее тесная зависимость между среднегодовыми ценами на говядину в США и текущим  или предшествующими годами происходит  при сдвиге ряда данных на 1 год ( или 1 лаг) r₁ = 0,8951.

      Рассчитав коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3, 4-го порядков получили автокорреляционную функцию этого ряда. Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде тенденции.

Для того, чтобы  рассчитать прогноз цен на три года вперед, составим уравнение тренда для временного ряда показателей среднегодовых цен на говядину.

У = а + bt,

Где У – выравненное  значение среднегодовой цены,

b, t  - неизвестные параметры,

а – начальный уровень временного ряда в момент времени t=0.

b – ежегодный прирост (снижение) цены на говядину,

t – значение дат.

      Для определения неизвестных параметров a и b в соответствии с требованием способа наименьших квадратов необходимо решить систему нормальных уравнений: 
 


na + b∑t = ∑Y

a∑t + b∑t² = ∑Yxt

     Для упрощения системы воспользуемся  способом отсчета от условного начала.

      Поскольку ∑t = 0, система уравнений примет вид:

                                                      na = ∑Y

                                                     b∑t² = ∑Yxt,

                             тогда           ,   
 


a=(41+42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+94+90+90+93+87+84+85+86) / 28 = 76,75

     b = 12920/ 1638 = 7,8877

y = 76,75 + 7,89t

     Т.е. уравнение линейного тренда имеет  вид y = 76,75 + 7,89t. Это означает, что средняя фактическая и выровненная цена, отнесенная к середине периода, т.е. к 1983 г. равна 76,75 амер.центов за фунт, а среднегодовой прирост цены составляет 7,89 центов за фунт.

Таблица 3. Расчет параметров уравнения тренда

№  года	Годы	Среднегодовая цена на говядину, У	Условное обозначение  периодов, T	t2	Y x t
1	1970	41	-13	169	533
2	1971	42	-12	144	504
3	1972	49	-11	121	539
4	1973	64	-10	100	640
5	1974	53	-9	81	477
6	1975	44	-8	64	352
7	1976	52	-7	49	364
8	1977	51	-6	36	306
9	1978	71	-5	25	355
10	1979	92	-4	16	368
11	1980	87	-3	9	261
12	1981	86	-2	4	172
13	1982	99	-1	1	99
14	1983	96	0	0	0
15	1984	97	1	1	97
16	1985	89	2	4	178
17	1986	77	3	9	231
18	1987	81	4	16	324
19	1988	82	5	25	410
20	1989	87	6	36	522
21	1990	94	7	49	658
22	1991	90	8	64	720
23	1992	90	9	81	810
24	1993	93	10	100	930
25	1994	87	11	121	957
26	1995	84	12	144	1008
27	1996	85	13	169	1105
Итого		2063	0	1638	12920

 


   По  полученному уравнению (функции) можно составить прогнозные оценки: точечные прогнозы и доверительные интервалы прогноза.

   Номер прогнозируемого  периода будем  отсчитывать от 1983 года, когда t=0, тогда t₁₉₉₉ = 16 (1999г.), тогда точечный прогноз удоя молока на 1 гол. на 2000 год составит

   У₃₁ = 76,75 + 7,89 х 16 = 202,99

   Таким образом, по уравнению тренда стоимость 1 фунта говядины в 1999 г. составила 202,99  американских центов. 


   БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Эконометрика/ Под ред. И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2004. – 344 с.
2. Практикум по эконометрике/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.
3. Общая теория статистики/ Под ред. И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2001. – 480 с.
4. Бакирова Р.Р. Эконометрика. Методические указания по выполнению контрольных работ, - БГАУ, 2007. – 7 с.