МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение  образования  
 

Кафедра: “Экономика управления в отраслях” 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

По курсу: «Экономико-математические методы и модели»

На тему: «Экономико-математические модели задач о раскрое» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: ст. гр.

       Приняла: преподаватель

                
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Гомель 2004

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание. 

Введение.           4

Глава 1 Теоретические основы решения задач  о раскрое.   5

1.1 Сущность  экономико-математических методов.    5-7

1.2 Методы  решения задач о раскрое.      8-10

1.3 Характеристика  симплекс-метода.      11-13

Глава 2 Решение задач о раскрое на Гомельском заводе пусковых

двигателей.                    14

2.1 Краткое  описание предприятия.       14-15

2.2 Краткое  описание технического процесса.     16

2.3 Постановка  и решение задачи.       17-26

2.4 Экономический  эффект от полученного варианта  раскроя.  27

Заключение.          28

Список  использованной литературы.      29

Приложения.          30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

      Тема  данной курсовой работы – Экономико-математические модели задач о раскрое.

         В связи с высокой стоимостью  ресурсов и снижением платёжеспособности  предприятий республики Беларусь  всё большую актуальность приобретает  их экономия. Один из её главных путей – снижение материалоёмкости промышленной продукции. В промышленном производстве часто приходится раскраивать различные материалы на заготовки. Материалы могут быть в виде прутков, труб, листов. Так как раскрой листовых материалов выполняется на каждом машиностроительном предприятии в больших объёмах, необходимо рациональное его проведение. Изучение раскроев, выполняемых на многих машиностроительных предприятиях, показывает, что в настоящее время планы раскроя металлопроката выполняются вручную. Гораздо эффективнее в этом процессе экономико-математические методы, составление моделей, решаемых с применением  электронно-вычислительных машин. Коэффициент использования материалов вырастает до 90 – 100% и, соответственно, уменьшаются отходы, которые при ручном раскрое составляют 20 – 40%.

      Курсовая  работа состоит из введения, одной главы и заключения. В первой главе рассматриваются методы решения задач о раскрое.

Основной  задачей моей курсовой работы является рассмотрение моделей задач о  раскрое, а также решение их симплекс-методом и на компьютере при помощи Microsoft Excel.

      Цель  моей курсовой работы является поставить  и решить задачу о раскрое. 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Теоретические  основы решения задач  о раскрое. 

1. Сущность  экономико-математических методов.

 

          В глобальной системе управления народным хозяйством страны планирование деятельности предприятия является чрезвычайно важным звеном, определяющим в конечном счёте результативность функционирования системы в целом. Именно на этом уровне управления осуществляется соединение основных составляющих производства – средств труда, предметов труда и самого труда, устанавливается и поддерживается необходимая пропорциональность между ними, что обеспечивает рациональность использования предприятием имеющихся ресурсов.

         Особенностью решения задач планирования  является необходимость учёта  при их решении множества переменных  величин, характеризующих постоянно  изменяющиеся производственные  условия. А так как число  сочетаний этих величин в течение  определённого времени – планового периода – может быть достаточно большим, то возможно существование значительного числа вариантов плановых решений. Отсюда большая размерность решаемых плановых задач. И, тем не менее, необходимо получить оптимальное, или близкое к нему решение. В этих условиях простой перебор и сравнение всех возможных вариантов решения конкретной плановой задачи нереальны из-за большой трудоёмкости вычислений. Поэтому требуются специальные методы, позволяющие в приемлемые сроки с достаточной степенью обоснованности с учётом особенностей конкретного производства выйти на искомое решение.

       Эффективное применение этих  методов требует, прежде всего, их серьёзного и глубокого изучения, а значит определённой систематики и классификации. Любая классификация подчинена целям исследования или анализа того или иного явления. В соответствии с целью выбирается и классификационный признак. Поскольку целью изучения экономико-математических методов является раскрытие механизма их реализации, определение области наиболее эффективного использования, то в качестве классификационного признака можно принять, например, характер используемого математического аппарата. По этому признаку можно выделить методы классической и прикладной математики.

       Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей.

       Группа методов прикладной математики  обширна по номенклатуре. Включаемые  в неё методы неоднородны по  составу элементарных расчётов, способам их реализации, применяемым  приёмам и т. д. По общности указанных признаков методы рассматриваемой группы можно далее классифицировать следующим образом: оптимального, линейного программирования, математической статистики, комбинаторные, теории расписаний, игр, массового обслуживания, управления запасами, экспертных оценок.

       Оптимальное программирование – это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определённых ограничительных условиях. Оптимальное программирование – действенный инструмент эффективного решения задач управления. В их числе – линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное программирование и др.

      Линейное программирование используется при решении задач в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными зависимостями. Отыскиваемые при этом неизвестные переменные обеспечивают экстремум целевой функции.

       Если при нахождении неизвестных  переменных необходимо, чтобы одна из них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае при решении поставленной задачи необходимо использовать методы целочисленного программирования.

         Названные экономико-математические  методы используются при решении  плановых задач, таких, например, как формирование специфицированной годовой производственной программы предприятия, распределение производственной программы предприятия, распределение производственной программы по коротким плановым периодам, формирование оперативных производственных программ предприятия и его основных подразделений, составление сменно-суточных заданий, разработка календарных планов-графиков запуска-выпуска изделий (деталей).

        Методы нелинейного программирования используются тогда, когда зависимости между переменными носят нелинейный характер. При этом возможны различные ситуации: целевая функция линейна, нелинейны ограничения или наоборот, или нелинейны и целевая функция и ограничения. Задачи, решаемые методами нелинейного программирования достаточно сложны, так как нет универсального метода их реализации.

        Методы динамического программирования могут применяться для решения таких оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс производства или управления в пространстве или во времени, т. е. в развитии. При этом процедура вычислений реализуется по своеобразной схеме: весь процесс поиска оптимального решения представляется в виде определённой последовательности шагов, для каждого из которых находится оптимальное решение, причём оптимальность определяется влиянием на последующие шаги. В основу использования методов динамического программирования положен принцип оптимальности Р. Беллмана.

       Для решения таких задач, которые  не могут быть реализованы  классическими методами математического программирования, используются комбинаторные методы, например ветвей и границ. К рассматриваемым

методам близко подходят эвристические, основанные на опыте, интуиции исполнителя. Комбинаторные  методы могут давать и точные и  приближённые решения.   
 
 
 

1.2 Методы решения  задач о раскрое. 

        Раскрой полос из листового  проката, применяемый во всех  отраслях машиностроения, заключается  в определении минимального расхода  материалов (по массе, отходу, стоимости)  на заданный набор (комплект) заготовок; это классическая задача оптимального программирования.

        В настоящее время у нас  в стране и за рубежом известен  ряд работ  по раскрою, в  которых обычно используется  метод индексов Л.В. Канторовича  и симплекс-метод Д. Данцига  или его модификации. Этими методами пользуются, чтобы найти оптимальный план раскроя, когда известны все возможные его варианты. Следует отметить, что работа по составлению всех раскроев (особенно когда число различных заготовок и исходного проката велико) трудоёмка и продолжительна – в итоге получается линейная задача с большим числом неизвестных, решение которой возможно только с использованием ЭВМ.

Решение задач раскроя линейных материалов без составления всех исходных вариантов  с использованием методов динамического программирования было получено П. Гилмором и Р. Гомори. Идея предполагаемого способа близка к идее метода разложения Д. Данцига и Ф. Вульфа. Она заключается в том, что после каждого шага симплекс-метода для выявления метода улучшения раскроя решается небольшая вспомогательная задача. В данном случае она оказывается задачей «о ранце» и для её решения применяются методы диагностического программирования.

      Задача о раскрое формулируется  следующим образом.

       Необходимо из листа проката  размером MxN выкроить заготовки площадью mxn в заданном количестве p_i (i=1,2,…,k). Требуется определить оптимальный план раскроя листа, т.е. получить минимальные отходы с учётом комплектности заготовок. Показателем, определяющим экономичность раскроя, является коэффициент раскроя, рассчитываемый по формуле: 

, где 

m_i - длина i-й заготовки, мм.;

n_i – ширина i-й заготовки, мм.;

M,N – соответственно длина и ширина исходного листа.

Когда требуется определить оптимальный  план раскроя листового проката, прежде всего определяются коэффициенты раскроя K_p, которыми характеризуется экономичность раскроя. Этот коэффициент представляет собой отношение площади заготовок к площади листа и рассчитывается по формуле.

       При создании математической  модели задачи раскроя необходимо учитывать ряд требований, связанных с производством: число заготовок, полученных по определённым раскроям, должно соответствовать установленной производственной программе; общее количество материалов, израсходованных на выполнение производственной программы, или величина отходов, полученных от раскроя по выбранным вариантам должны быть наименьшими; при этом в обоих случаях получаемые решения будут равноценными.

      Варианты раскроя образуются  путём комбинирования различных  заготовок во всех возможных сочетаниях. При таком комбинировании даже при незначительном увеличении числа видов заготовок характерен быстрый рост числа возможных сочетаний, т.е. возможных вариантов раскроя. С увеличением числа вариантов раскроя сильно увеличивается размерность задачи линейного программирования, что приводит к резкому возрастанию общего времени решения задачи на ЭВМ.