Экономические модели и методы их рассчета

РЕФЕРАТ

по дисциплине

«Экономико-математические методы и модели»

на тему: «Экономические модели и методы их рассчета» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 
 

I. Введение                                                                                                                  3                                                                        

II. Основная часть: 

1. Моделирование экономических систем. Основные понятия и

определения                                                                                                       4

• Модели  и моделирование. Классификация  моделей                             4
• Виды подобия  моделей                                                                             6
• Адекватность  моделей                                                                              7
2. Математические модели и методы их расчета                                               9
0. Понятие  операционного  исследования                                                 9
• Классификация  и  принципы построения математических 

    моделей                                                                                                     13       


III. Заключение                                                                                                          17                                                    


IV. Список литературы                                                                                             18                    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Введение

       Научно-техническая революция привела к возникновению таких понятий, как большие и сложные  экономические системы, обладающие специфическими для них проблемами. Необходимость решения таких проблем привела к появлению особых подходов и методов, которые постепенно накапливались и обобщались, образуя, в конце концов, особую науку - системный анализ.

       В различных сферах человеческой деятельности возникли различные подходы и  соответствующие методы решения  специфических проблем, которые получили различные названия: в военных и экономических вопросах - «исследование операций», в политическом и административном управлении - «системный подход», в философии «диалектический материализм», в прикладных научных исследованиях - «кибернетика». Позже стало ясно, что все эти теоретические и прикладные дисциплины образуют как бы единый поток, «системное движение», которое постепенно оформилось в науку, получившую название «системный анализ». В настоящее время системный анализ является самостоятельной дисциплиной, имеющей свой объект деятельности, свой достаточно мощный арсенал средств и свою прикладную область. Являясь по существу прикладной диалектикой, системный анализ использует все средства современных научных исследований - математику, моделирование, вычислительную технику и натурные эксперименты.

       Многие  довольно часто недооценивают работу, связанную с формулировкой задачи. Однако многие специалисты полагают, что «хорошо поставить задачу - значит на половину ее решить». Хотя в большинстве случаев заказчику кажется, что он уже сформулировал свою проблему, системный аналитик знает, что предлагаемая клиентом постановка задачи является моделью его реальной проблемной ситуации  и неизбежно имеет целевой характер, оставаясь приблизительной и упрощенной. Поэтому необходимо проверить эту модель на адекватность, что приводит к развитию и уточнению первоначальной модели. Очень часто первоначальная формулировка изложена в терминах не тех языков, которые необходимы для построения модели

Моделирование экономических систем. Основные понятия  и определения

Модели и моделирование. Классификация моделей

       Первоначально моделью называли некое вспомогательное  средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в определенном смысле заменяет человека, являясь  моделью человеческой фигуры. Древние философы считали, что отобразить природу можно только с помощью логики и правильных рассуждений, т.е. по современной терминологии с помощью языковых моделей. Через несколько столетий девизом английского Научного общества стал лозунг: «Ничего словами!», признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками.

       В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:

• теоретическое исследование;
• эксперимент;
• моделирование.

       Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества:

- дешевизну;

- наглядность;

- легкость оперирования  и т.п.

       В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй.

       Paзвитие  понятия модели вышло за пределы  математических моделей и стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире. Поскольку модели играют чрезвычайно важную роль в организации любой деятельности человека их можно разделить на познавательные (когницитивные) и прагматические, что соответствует делению целей на теоретические и практические.

       Познавательная  модель ориентирована на приближении  модели к реальности, которую эта модель отображает. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели.

       Прагматические  модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью надо направить усилия на изменение реальности так, чтобы приблизить реальность к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль образца, под который подгоняется действительность. Примерами прагматических моделей служат планы, кодексы законов, рабочие чертежи и т.д.

       Другим  принципом классификации целей  моделирования может служить деление моделей на статические и динамические.

       Для одних целей нам может понадобиться модель конкретного состояния объекта в определенный момент времени, своего рода «моментальная фотография» объекта. Такие модели называются статическими. Примером являются структурные модели систем.

       В тех же случаях, когда возникает  необходимость в отображении процесса изменения состояний, требуются динамические модели  систем.

       В распоряжении человека имеется два  типа материалов для построения моделей - средства самого сознания и средства окружающего материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные.

       Очевидно, что к абстрактным моделям  относятся языковые конструкции  и математические модели. Математические модели обладают наибольшей точностью, но чтобы дойти до их использования в данной области, необходимо получить достаточное количество знаний. По мнению Канта, любая отрасль знания может тем более именоваться наукой, чем в большей степени в ней используется математика. 


Виды  подобия моделей

       Чтобы некоторая материальная конструкция  могла быть моделью, т.е. замещала в  каком-то отношении оригинал, между  оригиналом и моделью должно быть установлено отношение подобия. Существуют разные способы установления такого подобия, что придает моделям особенности, специфичные для каждого способа.

       Прежде  всего, это подобие, устанавливаемое  в процессе создания модели. Назовем такое подобие прямым. Примером такого подобия являются фотографии, масштабированные модели самолетов, кораблей, макеты зданий, выкройки, куклы и т.д.

       Следует помнить, что как бы хороша ни была модель, она все-таки лишь заменитель оригинала, только в определенном отношении. Даже тогда, когда модель прямого  подобия выполнена из того же материала, что и оригинал, возникают проблемы переноса результатов моделирования на оригинал. Например, при испытании уменьшенной модели самолета в аэродинамической трубе задача пересчета данных модельного эксперимента становится нетривиальной и возникает разветвленная, содержательная теория подобия, позволяющая привести в соответствие масштабы и условия эксперимента, скорость потока, вязкость и плотность воздуха. Трудно достигается взаимозаменяемость модели и оригинала в фотокопиях произведений искусства, голографических изображениях предметов искусства.

       Второй  тип подобия между моделью  и оригиналом называется косвенным. Косвенное подобие между оригиналом и моделью объективно существует в природе и обнаруживается в виде достаточной близости или совпадения их абстрактных математических моделей и вследствие этого широко используется в практике реального моделирования. Наиболее характерным примером может служить электромеханическая аналогия между маятником и электрическим контуром.

       Третий, особый класс моделей составляют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называется условным. С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто, поскольку они являются способом материального воплощения абстрактных моделей. Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), удостоверение личности (модель владельца), всевозможные сигналы (модели сообщения). 


Адекватность  моделей

       Модель, с помощью которой успешно  достигается поставленная цель, будем  называть адекватной этой цепи. Адекватность означает, что требования полноты, точности и правильности (истинности) модели выполнены не вообще, а лишь в той мере, которая достаточна достижения поставленной цели.

       В ряде случаев удается ввести меру адекватности некоторых целей, т.е. указать способ сравнения двух моделей по степени успешности достижения цели с их помощью. Если к тому же есть способ количественно выразить меру адекватности, то задача улучшения модели существенно облегчается. Именно в таких случаях можно количественно ставить, вопросы об идентификации модели, т.e. о нахождении в заданном классе моделей наиболее адекватной, об исследовании чувствительности и устойчивости моделей, т.e. зависимости меры адекватности модели от ее точности, об адаптации моделей, т.е. подстройке параметров модели с целью повышения ее точности.

       Приближенность  модели не следует путать с адекватностью. Приближенность модели может быть очень высокой, но во всех случаях модель - это другой объект и различия неизбежны (единственной совершенной моделью любого объекта является сам объект). Величину, меру, степень приемлемости различия можно ввести, только соотнося его с целью моделирования. Так некоторые подделки произведений искусства даже эксперты не могут отличить от оригинала, но все-таки это всего лишь подделка, и с точки зрения вложения капитала не представляет никакой ценности, хотя для любителей искусства ничем не отличается от оригинала.

       Упрощение является сильным средством для  выявления главных эффектов в исследуемом явлении: это видно на примере таких явлений физики, как идеальный газ, абсолютно упругое тело, математический маятник и абсолютно твердый рычаг.

       Есть  еще один, довольно загадочный, аспект упрощенности модели. Почему-то оказывается, что из двух моделей, одинаково хорошо описывающих систему, та  модель, которая проще, ближе к истине.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Математические  модели и методы их расчета

Понятие  операционного  исследования

       Впервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной обороны. Для разработки данной системы были привлечены ученые различных специальностей. Система создавалась в условиях неопределенности относительно возможных действий противника, поэтому исследования проводились на адекватных математических моделях. В это время впервые был применен термин: «операционное исследование», подразумевающий исследования военной операции. В последующие годы операционные исследования или исследования операций развиваются как наука, результаты которой применяются для выбора оптимальных решений при управлении реальными процессами и системами.

       Решения человек принимал всегда и во всех сферах своей деятельности. Раньше хотели, чтобы принимаемые решения  всегда были правильными. Теперь принято говорить, что решения должны быть оптимальными. Чем сложнее объект управления, тем труднее принять решение, и, следовательно, тем легче допустить ошибку. Вопросам принятия решений на основе применения ЭВМ и математических моделей посвящена новая наука «Исследование операций», приобретающая в последние годы все более обширное поле приложений. Эта наука сравнительно молодая, ее границы и содержание нельзя считать четко определенными.

       Предмет под названием «Исследование  операций» входит в программу элитарных вузов, но не всегда в этот термин вкладывается одно и то же содержание. Некоторые ученые под «исследованием операций» понимают, главным образом, математические методы оптимизации, такие как линейные, нелинейные, динамическое программирование. Другие к исследованию операций подходят с позиции теории игр и статистических решений. Наконец, некоторые ученые вкладывают в понятие «исследование операций» чрезмерно широкий смысл, считая ее основой системного анализа и «наукой наук».

       Под термином «исследование операций» мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

       Окончательно  термин «исследование операций»  закрепился в конце Второй мировой  войны, когда в вооруженных силах  США были сформированы специальные группы математиков и программистов, в задачу которых входила подготовка решений для командующих боевыми действиями. В дальнейшем исследование операций расширило область своих применений на самые разные области практики: экономика, транспорт, связь и даже охрана природы.

       Чтобы человеку принять решение без ЭВМ, зачастую ничего не надо, кроме опыта и интуиции. Правда, никакой гарантии правильности, а тем более оптимальности при этом нет. Подчеркнем, что ЭВМ никаких решений не принимает. Решение принимает человек (ЛПР). А ЭВМ только помогает найти варианты решений. Непременное присутствие человека (как окончательный инстанции принятия решений) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов, есть тоже решение. По мере автоматизации управления функции человека перемещаются с одного уровня управления на другой - высший. Основные этапы решения задачи принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ показаны на Рис. 1.

Исходные данные

H

Объект

F

Задача

F

Модель

F

Алгоритм

F

Программа

F

ЭВМ :

Пакет прикладных программ (ППП)

H

Решение

Рис. 1. Основные этапы решения задачи принятия решения с помощью ЭВМ.

       Выбор задачи - важнейший вопрос. Какие основные требования должна удовлетворять задача? Таких требований два:

• должно существовать, как минимум, два варианта ее решения (ведь если вариант один, значит и выбирать не из чего);
• надо четко знать в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим (кто не знает, куда ему плыть - тому нет и попутного ветра).

       Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой. Когда производится содержательная постановка задачи, к ней привлекаются специалисты в предметной области. Они прекрасно знают свой конкретный предмет, но не всегда представляют, что требуется для формализации задачи и представления ее в виде математической модели.

       Хорошую модель составить не просто. Известный  математик Р.Беллман сказал так: «Если мы попытаемся включить в нашу модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях; если слишком упростим ее, то она перестанет удовлетворять нашим требованиям». Таким образом, исследователь должен пройти между западнями Переупрощения и болотом Переусложнения. Для выполнения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости. Эти правила применительно к задачам математического моделирования и формулируются так: учесть главные свойства моделируемого объекта; пренебрегать его второстепенными свойствами; уметь отделить главные свойства от второстепенных.

       Составление модели - это искусство, творчество. Древние говорили: «Если двое смотрят на одно и то же, это не означает, что оба видят одно и то же». И слова древних греков: «Если двое делают одно и то же, это не значит, что получится одно и то же». Эти слова в полной мере относятся к составлению математических моделей. Если математическая модель - это диагноз заболевания, то алгоритм - это метод лечения.

       Можно выделить следующие основные этапы  операционного исследования:

• наблюдение явления и сбор исходных данных;
• постановка задачи;
• построение математической модели;
• расчет модели;
• тестирование модели и анализ выходных данных. Если полученные результаты не удовлетворяют исследователя, то следует либо вернуться на этап 3, т.e. предложить для решения задачи другую математическую модель; либо вернуться на этап 2, т.e. поставить задачу более корректно;
• применение результатов исследований.

       Таким образом, операционное исследование является итерационным процессом, каждый следующий  шаг которого приближает исследователя  к решению стоящей перед ним проблемы. В центре операционного исследования находятся построение и расчет математической модели.

       Математическая  модель - это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной  форме описывающих изучаемый  процесс или систему.

       Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.

       Проведение  операционного исследования, построение и расчет математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения. Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение.

       Использование математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее решение, может руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных «вообще». Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.

       В настоящее время математические модели применяются для анализа, прогнозирования и выбора оптимальных решений в различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и т.п. 


Классификация  и  принципы построения

математических  моделей

       Можно выделить следующие основные этапы  построения математической модели:

• Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
• Определение пapaметров модели, т.е. заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
• Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
• Определение области допустимых решений, т.е. тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
• Выявление неизвестных факторов, т.е. величин, которые могут изменяться случайным или неопределенным образом.
• Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, т.e. формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.
 


       Введем  следующие  условные  обозначения:

a - параметры модели;

x - управляющие переменные или решения;

X - область допустимых решений;

x - случайные или неопределенные факторы;

W - целевая функция или критерий эффективности (критерий оптимальности). 


W=W (x, a, x) 


       В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид: 


W=W (x, a, x) ® max (min)

x Î X 


       Решить  задачу - это значит найти такое  оптимальное решение x^*ÎX, чтобы при данных фиксированных параметрах a и с учетом неизвестных x факторов  значения критерия эффективности W было по возможности максимальным (минимальным). 


W^*=W (x^*, a, x) = max (min) W (x, a, x)

x Î X

       Таким образом, оптимальное решение - это  решение, предпочтительное перед другими  по определенному критерию эффективности (одному или нескольким).

       Перечислим  некоторые основные принципы построения математической модели:

• Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тex исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
• Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
• Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.
• Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть  устойчивой  (сохранять свойства и структуру при этих воздействиях).

       По  числу критериев эффективности  математические модели делятся на однокритериальные  и многокритериальные. Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.

       По  учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

       В стохастических моделях неизвестные факторы - это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.п.). Среди стохастических характеристик можно выделить:

- модели стохастического  программирования, в которых либо  в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;

- модели теории  случайных процессов, предназначенные  для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;

- модели теории  массового обслуживания, в которой  изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований. Также - к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.

       Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения, которые не определены, используются модели с элементами неопределенности.

       В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют  несколько игроков, преследующих разные цели, например, организацию предприятия в условиях конкуренции.

       В имитационных моделях реальный процесс  разворачивается в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействии на него, например, организация производственного процесса.

       В детерминированных моделях неизвестные  факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических задач. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели делятся на: линейные, нелинейные, динамические и графические.

       В линейных моделях целевая функция  и ограничения линейны по управляющим  переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

       Нелинейные модели - это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейные по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако, может случиться и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

       В динамических моделях, в отличие  от статических линейных и нелинейных моделей, учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в динамических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения.

       Графические модели - используются тогда, когда  задачу удобно представить в виде графической структуры.

Заключение

       Основным  понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.

       Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями – результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


Список литературы 


1. Баева Н.Б. Моделирование экономических процессов: Учебное пособие. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2003

2. Росс С.И. Математическое моделирование и исследование национальной экономики: Учебное пособие. - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006

3. Алесинская Т.В., Сербин В.Д., Катаев А.В. Учебно-методическое пособие по курсу "Экономико-математические методы и модели. Линейное программирование". - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001.

4. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. - М.: Прогресс, 1965

5. А.В. Солопахо. Математика в экономике. Учебно-практическое пособие - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001