Эконометрика

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

 

АМУРСКИЙ   ГОСУДАРСТВЕННЫЙ   УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУВПО «АмГУ»)

 

 

Факультет  экономический

Направление подготовки 080100.62 – Экономика

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине эконометрика

 

 

 

 

Исполнил

студент группы 271

 

Проверил                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Благовещенск 2013

Задание

По территориям региона  приводятся данные за 199Х г.(p₁ – 5, p₂ – 9):

 

Номер региона	Среднедушевой прожиточный  минимум в день одного трудоспособного, руб., x	Среднедневная заработная плата, руб., y
1	83	142
2	89	148
3	87	140
4	79	154
5	106	162
6	111	195
7	67	139
8	98	167
9	82	152
10	87	162
11	86	155
12	115	173

 

Решение

 

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу:

№	x	y	y∙x	x2	y2	ŷx	y- ŷx	(y- ŷx)2	Ai
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	83	142	11786	6889	20164	150,22	-8,22001	67,56855	0,057887
2	89	148	13172	7921	21904	155,7323	-7,73234	59,78912	0,052246
3	87	140	12180	7569	19600	153,8949	-13,8949	193,0682	0,099249
4	79	154	12166	6241	23716	146,5451	7,45488	55,57523	0,048408
5	106	162	17172	11236	26244	171,3506	-9,35062	87,4341	0,05772
6	111	195	21645	12321	38025	175,9442	19,05577	363,1223	0,097722
7	67	139	9313	4489	19321	135,5205	3,479546	12,10724	0,025033
8	98	167	16366	9604	27889	164,0008	2,999157	8,994945	0,017959
9	82	152	12464	6724	23104	149,3013	2,698713	7,283052	0,017755
10	87	162	14094	7569	26244	153,8949	8,105102	65,69268	0,050031
11	86	155	13330	7396	24025	152,9762	2,023824	4,095864	0,013057
12	115	173	19895	13225	29929	179,6191	-6,61912	43,81276	0,038261
Итого	1090	1889	173583	101184	300165	1889	-	968,544	0,575328
Среднее значение	90,8333333	157,416667	14465,25	8432	25013,75	157,4167	-	80,712	0,047944
σ	13,4649751	15,2886577	-	-	-	-	-		-
σ2	181,305556	233,743056	-	-	-	-	-		-

 

По формулам находим параметры  регрессии

0,918722231

73,96606404

Получено уравнение регрессии

y = 73,97+0,92∙x

Параметр регрессии позволяет  сделать вывод, что с увеличением  среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб., среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб. (или 92 коп.).

После нахождения уравнения  регрессии заполняем столбцы 7-10 таблицы.

2. Тесноту линейной связи  оценит коэффициент корреляции:

 

Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о наличии весьма тесной линейной связи между признаками.

Коэффициент детерминации

r²_xy = 0,655

Это означает, что 66% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации

 

Качество построенной модели оценивается как хорошее, т.к. А не превышает 10%.

3. Оценку статистической  значимости уравнения регрессии  в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия по формуле составит

 

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k₁ = 1 b k₂ = 12 – 2 = 10 составляет F_табл. = 4,96. Т.к. > F_табл. = 4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервалам каждого из параметров.

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n – 2 = 12 – 2 = 10 и уровня значимости α = 0,05 составит t_табл. = 2,23.

Определим стандартные ошибки m_a, m_b, m_rxy (остаточная дисперсия на одну степень свободы ):

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

t_a = 3,82 > t_табл = 2,23; t_b = 4,35 > t_табл = 2,23; = 4,35 > t_табл = 2,23,

поэтому параметры a, b, r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные  интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

∆_а = t_табл ∙ m_a = 2,23 ∙ 19,37 = 43,2;

∆_b = t_табл ∙ m_b = 2,23 ∙ 0,21 = 0,471.

Доверительные интервалы

γ_a = a ± ∆_а = 73,97 ± 43,21 и 30,76 ≤ а^* ≤ 117,18;

γ_b = b ± ∆_b = 0,92 ± 0,47 и 0,45 ≤ b^* ≤ 1,39.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью p = 1 – α – 0,95 параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения  регрессии позволяют использовать  его для прогноза. Если прогнозное  значение прожиточного минимума  составит: x₀ = ∙ 1,07 = 90,83 ∙ 1,07 = 97,19 руб., тогда индивидуальное прогнозное значение заработной платы составит: ŷ₀ = 73,97 + 0,92 ∙ 97,19 = 163,26 руб.

5. Ошибка прогноза составит

.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет  превышена, составит:

t_{табл ∙ = 2},23 ∙ 10,33 = 23,04.

Доверительный интервал прогноза:

 и 140,22 ≤  ≤ 186,3.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным (p = 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95) и находится в пределах от 140,22 руб. до 186,3 руб.

6. В заключение решения  задачи построим на одном графике  исходные данные и теоретическую  прямую:

 

Решение в MS Excel

Получаем следующие результаты для рассмотренного выше примера:

Откуда выписываем, округляя до 4 знаков после запятой и переходя к нашим обозначениям:

Уравнение регрессии:

ŷ_x = 77,7628 + 0,8854 ∙ x.

Коэффициент корреляции:

r_xy = 0,8058.

Коэффициент детерминации:

r²_xy = 0,6494.

Фактическое значение F-критерия Фишера:

F = 16,6705.

Остаточная дисперсия  на одну степень свободы:

S²_ост = 99,1659.

Корень квадратный из остаточной дисперсии (стандартная ошибка):

S_ост = 9,9582.

Стандартные ошибки для параметров регрессии:

m_a = 20,0779, m_b = 0,2169.

Фактические значения t-критерия Стьюдента:

t_a = 3,8730, t_b = 4,0829.

Доверительные интервалы:

32,3434 ≤ a^* ≤ 123,1822,

0,3948 ≤ b^* ≤ 1,3759.

Как видим, найдены все  рассмотренные выше параметры и  характеристики уравнения регрессии. Результаты «ручного счета» от машинного отличаются незначительно (отличия связаны с ошибками округления).