Таблицы сопряженности

Маркетолог, исследующий сферу туристических поездок за границу, предположил, что на желание путешествовать влияет возраст. Однако таблица сопряженности двух переменных (табл. 10) не выявила никакой связи.

Таблица 10. Зависимость желания  совершить туристическую поездку за границу от возраста

Желание совершить туристическую  поездку за границу	Возраст
	До 45лет	45 лет и старше
Да	50%	50%
Нет	50%	50%
Итого	100%	100%
Число респондентов	500	500

 

Когда в качестве третьей переменной ввели пол, получили данные, представленные в табл. 11.

Таблица 11. Связь между  желанием совершить туристическую  поездку за границу, возрастом и  полом

Желание совершить туристическую  поездку за границу	пол
	мужской		женский
	До 45лет	45 лет и старше	До 45лет	45 лет и старше
Да	60%	40%	35%	65%
Нет	40%	60%	65%	35%
Итого	100%	100	100%	100%
Число респондентов	300	300	200	200

Среди мужчин до 45 лет 60% изъявили желание отправиться в турпоездку заграницу, а после 45 лет — всего лишь 40%. Обратная ситуация наблюдалась для женщин: в возрасте до 45 лет желающих отправиться посмотреть мир оказалось 35%, а после 45 лет — 65%. Поскольку связь между желанием путешествовать и возрастом различна для мужчин и женшин и с противоположной направленностью, связь между этими двумя переменными была скрыта, пока данные не учитывали переменную "пол", как это сделано в табл.10. Но при проверке влияния пола, как показано в табл. 11, проигнорированная связь между желанием путешествовать и возрастом была обнаружена для отдельных категорий: мужчин и женшин.

Никаких изменении  в первоначальной связи. В некоторых случаях третья переменная не изменяет первоначально наблюдаемую связь, независимо от того, были ли исходные переменные взаимосвязаны. Это означает, что третья переменная никак не влияет на связь между двумя первыми переменными. Рассмотрим кросс-табуляцию двух переменных: размер семьи и частоту посещения ресторанов быстрого питания, представленную в табл.12.

Таблица 12. Связь частоты посещения ресторанов быстрого питания с размером семьи.

Частота посещения ресторана  быстрого питания	Размер семьи
	небольшая	большая
Большая	65%	65%
Маленькая	35%	35%
Итого	100%	100%
Число респондентов	500	500

Респондентов разделили (используя медиану) на две равные по размеру категории по 500 респондентов в каждой: небольшая и большая семья, Не наблюдалось никакой связи, Затем, по этому же принципу респондентов разделили на категории: семьи с большим и малым доходом. При введении в анализ третьей переменной получили табл. 13. И снова не наблюдалось никакой связи.

Таблица 13. Связь частоты посещения ресторанов быстрого питания с размером семьи и уровнем дохода

Частота посещения ресторана  быстрого питания	Доход
	Семьи с низким доходом		Семьи с высоким доходом
	малая	большая	малая	большая
Большая	65%	65%	65%	65%
Маленькая	35%	35%	35%	35%
Итого	100%	100%	100%	100%
Число респондентов	250	250	250	250

Можно построить таблицу  сопряженности больше, чем для  трех переменных, но интерпретация  полученных результатов достаточно сложная. Кроме того, поскольку число  ячеек многократно увеличится, проблематично  оставить необходимое количество респондентов или случаев в каждой ячейке. Как  правило, чтобы вычислить статистику в каждой ячейке, должно быть, по крайней  мере, пять наблюдений. Таким образом, кросс-табуляция — неэффективный  способ проверки связей для ситуаций с несколькими переменными, она  рассматривает просто связь между  переменными, а не причинность. Чтобы  изучить причинно-следственную связь, необходимо провести соответствующее  причинно-следственное исследование.

 

СТАТИСТИКИ ТАБЛИЦ СОПРЯЖЕННОСТИ  ПРИЗНАКОВ

Мы рассмотрим статистики, обычно используемые для оценки статистической значимости и тесноты связи переменных, содержащихся в таблице сопряженности. Статистическая значимость наблюдаемой  связи обычно измеряется критерием  хи-квадрат. Теснота связи важна  с практической точки зрения. Обычно она имеет значение, если связь  статистически значимая.

Тесноту связи можно измерить коэффициентом корреляции фи, коэффициентом  сопряженности признаков, V-коэффициентом Крамера и коэффициентом «лямбда»

Критерий хи-квадрат (chi-square statistic), используемый для проверки статистической значимости наблюдаемых связей в таблицах сопряженности признаков. Он помогает определить наличие или отсутствие систематической связи между двумя переменными.

В данном случае нулевая  гипотеза утверждает, что между двумя  переменными не существует никакой  связи. Проверка нулевой гипотезы выполняется  вычислением частот распределения  признаков анализируемых переменных в ячейках таблицы, которые можно  было бы ожидать, если бы не существовало зависимости между переменными, и при данных итоговых числах в  каждом ряду и колонке. Затем для  вычисления значения х² эти ожидаемые частоты, обозначаем  _e, сравнивают с фактически наблюдаемыми частотами распределения признаков ₀, соответствующими ячейкам таблицы. Чем больше разница между ожидаемыми и фактическими частотами, тем выше значение статистики. Предположим, что таблица сопряженности имеет r рядов и с колонок, а случайная выборка состоит из n наблюдений. Тогда ожидаемую частоту для каждой ячейки вычислим по следующей формуле:

 

_e=

_{где — итоговое число в ряду, — итоговое число в колонке, n— полный размер выборки.}

Для данных табл. 15.3 ожидаемая  частота распределения признаков  для ячеек, расположенных слева  направо и сверху вниз, выглядит так:

=7,50 =7,50

 

=7,50 =7,50

Тогда значение x² вычисляют следующим образом:

x²⁼

_{Для данных табл.3 значение вычислили по формуле:}

 

 

Чтобы определить, существует ли между переменными систематическая  связь, определяют вероятность получения  значения , равного или большего, чем рассчитанное из таблицы сопряженности. Важной характеристикой критерия является число степеней свободы (df). В обшем случае оно равно числу наблюдений за вычетом числа ограничений, необходимых для вычисления статистического показателя. Для критерия хи-квадрат таблицы сопряженности число степеней свободы равно произведению количества рядов ( r ) минус единица на количество колонок ( с ) минус единица, т.е. df =(г-1)(с-1). Нулевая гипотеза об отсутствии зависимости между двумя переменными должна быть отклонена только тогда, когда полученное значение больше, чем критическое значение распределения с соответствующим числом степеней свободы.

Распределение (chi-square distribution) представляет собой асимметричное распределение, форма которого зависит исключительно от числа степеней свободы.

Для таблицы сопряженности (табл. 3) число степеней свободы равно (2 — 1) х (2 — 1) = 1.

Вычисленное значение — 3,333. Так как оно меньше критического значения, равного 3,841, нулевую гипотезу об отсутствии связей между переменными нельзя отклонить. Это означает, что связь между переменными не является статистически значимой при уровне значимости, равном 0,05.

Статистику хи-квадрат  также можно использовать в проверках  степени согласия, чтобы определить, согласуется ли определенная модель с наблюдаемыми данными. Эти проверки выполняют вычислением значимости (уровня статистической значимости) выборочных отклонений от предполагаемых теоретических (ожидаемых) распределений, а также  можно выполнить как на основе таблиц сопряженности, так и на основе таблиц распределения частот (одномерная табуляция). Расчет   и определение ее уровня статистической значимости выполняется изложенным выше способом. Значение следует вычислять только для числовых данных. Если данные представлены в виде процентов, то сначала их необходимо перевести в абсолютные единицы или числа. Кроме того, допущение, лежащее в основе проверки с помощью критерия заключается в том, что наблюдения проведены независимо. В качестве общего правила стоит запомнить, что проверку по критерию хи-квадрат нельзя выполнять, если ожидаемые или теоретические частоты в любой из ячеек меньше пяти. Если число наблюдений в любой ячейке меньше десяти, или если таблица имеет два рядка и две колонки (таблица 2 х 2), то необходимо использовать поправочный коэффициент. С поправочным коэффициентом значение х1  равно 2,133, что не является значимым при уровне значимости, равном 0,05. Для таблицы размером 2x2 , статистику хи-квадрат называют фи-коэффициентом.

Фи-коэффициент пропорционален корню квадратному из . Для выборки размером n  эту статистику находят по формуле:

 

Фи-квадрат принимает значение, равное 0, если связь отсутствует, на что также указывает и значение хи-квадрат, равное 0. При сильной связи между переменными фи-коэффициент имеет значение 1 и все наблюдения находятся на главной или второстепенной диагонали. (В некоторых компьютерных программах фи-коэффициент принимает значение —1, а не +1, когда наблюдается отрицательная связь.  В нашем случае фи-коэффициент равен:

=0,333

 

Таким образом, связь не очень  сильна.

Коэффициент сопряженности  признаков - Фи-коэффициент применяют только к таблице 2 х 2, а коэффициент сопряженности признаков С (contingency coefficient) используют для оценки тесноты связи в таблицах любого размера.

Коэффициент сопряженности  признаков связан с  следующим образом:

 

 

Значения коэффициента сопряженности  находятся в диапазоне от 0 до 1. При отсутствии связи он равен  нулю (т.е. переменные статистически  независимы), но своего максимального  значения (1) он никогда не достигает. Максимальное значение коэффициента сопряженности  зависит от размера таблицы (числа  рядков и колонок). Поэтому он используется только для сравнения таблиц одинакового  размера. Значение коэффициента сопряженности для табл.3 следующее:

=0,316

 

Это значение коэффициента сопряженности указывает на слабую связь.

Другой статистикой, которую  можно вычислить для любой  таблицы, является V-козффициент Крамера (Cramer).

V-коэффициент Крамера (Cramer's V) — это модифицированная версия коэффициента корреляции фи (0 ), которую используют в таблицах, больших по размеру, чем 2x2.

Если для таблиц, больших, чем 2x2 , вычисляют фи-коэффициент, то он не имеет верхней

границы. V-коэффициент Крамера получают корректировкой фи-коэффициента или по числу рядов, или по числу колонок в таблице. Причем из двух значений выбирают меньшее. Корректировку осуществляют так, что значения V-коэффициента лежат в диапазоне от 0 до 1. Большее значение V-коэффициента указывает на более сильную связь, но не указывает, как связаны переменные. Для таблицы с r рядами и с колонками связь между V-коэффициентом Крамера и фи-коэффициентом выражается следующим образом:

V=

Значение V-коэффициент Крамера для табл. 3 равно: V==0,333

Таким образом, связь не очень  сильна. В этом случае V = . Так всегда происходит для таблицы 2x2. Другой обычно рассчитываемой статистикой является коэффициент "лямбда".

Коэффициент "лямбда" используется в том случае, когда переменные измерены с помощью номинальной шкалы. Асимметрический коэффициент "лямбда" (asymmetric lambda) показывает выраженное в процентах улучшение при прогнозировании значения зависимой переменной при данном значении независимой переменной. Значения коэффициента "лямбда" лежат в пределах от 0 до 1.