Решение многокритериальной задачи

Лабораторная  работа №9

 «Решение многокритериальной  задачи»

1. Исходные данные:

Предприятие выпускает три вида бензина. Для производства указанных товаров используется 4 вида ресурсов. Рассматривалась проблема недостаточности дохода предприятия. Требуется определить программу производства бензина различного вида, обеспечивающую максимум среднего дохода предприятия. Параметры задачи представлены теми же числовыми данными, которые использовались при выполнении работы №2. Сформулированы дополнительные цели и критерии для решения задачи. Так, первой целью остается достижение максимального дохода. В качестве второй и третьей цели рассматривается максимизация использования ресурсов 2 и 4.

2. Решение:

Первоначально была решена задача оптимизации по каждому локальному критерию. Решение по критерию 1 (максимизация дохода) представлено в таблице П25, а расход ресурсов в таблице П26:

Таблица П25. Оптимальный  выпуск продукции по критерию 1

Товары	Товар 1	Товар 2	Товар 3	Доход
Количество, тыс л	262,757	826,3519	0
Цена, р.	17000	20400	10000	21324448

 

Таблица П26. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 1

Расчеты по критерию 2 представлены в таблицах П27 и П28:

Товары	Бензин 1	Бензин 2	Бензин 3	Расход ресурса	Знак нера-венства	Наличие
Алкилат	0,17	0,43	0,33	400,00	<=	400,00
Крекинг-бензина	0,25	0,14	0,22	181,38	<=	275,00
Бензин прямой перегонки	0,42	0,29	0,11	350,00	<=	350,00
Изопентан	0,17	0,14	0,33	160,36	<=	300,00

 

Таблица П27. Оптимальный  выпуск продукции по критерию 2

Товары	Товар 1	Товар 2	Товар 3	Доход
Количество, тыс л	510,989479	280,7186531	490,690995
Цена, р.	17000	20400	10000	19320392

 

Таблица П28. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 2

Ресурсы	Бензин 1	Бензин 2	Бензин 3	Расход ресурса	Знак нера-венства	Наличие
Алкилат	0,17	0,43	0,33	369,51	<=	400,00
Крекинг-бензина	0,25	0,14	0,22	210,56	<=	275,00
Бензин прямой перегонки	0,42	0,29	0,11	350,00	<=	350,00
Изопентан	0,17	0,14	0,33	288,10	<=	300,00

 

Расчеты по критерию 3 представлены в таблицах П29 и П30:

Таблица П29. Оптимальный  выпуск продукции по критерию 3

Товары	Товар 1	Товар 2	Товар 3	Доход
Количество, тыс л	324,015241	266,8360795	628,9707812
Цена, р.	17000	20400	10000	17241423

 

Таблица П30. Расход ресурсов на выпуск продукции по критерию 3

Ресурсы	Бензин 1	Бензин 2	Бензин 3	Расход ресурса	Знак нера-венства	Наличие
Алкилат	0,17	0,43	0,33	377,3825	<=	400
Крекинг-бензина	0,25	0,14	0,22	256,7344	<=	275
Бензин прямой перегонки	0,42	0,29	0,11	282,6557	<=	350
Изопентан	0,17	0,14	0,33	300	<=	300

 

Очевидно, что оптимальное  решение по одному критерию не совпадает  с оптимальным решением по другим, т.е. критерии противоречивы. Задались вектором важности критериев и решили задачу методом скаляризации векторного критерия воспользовавшись формулой:

.

Оптимальное решение при  выбранной схеме компромисса  и заданных значениях вектора  важности имеет вид { 262,76; 826,35; 0}, а

.

Значения локальных критериев  равны соответственно , , .

При другом векторе важности :

.

При этом ; ; , а оптимальное решение имеет вид { 262,76; 826,35; 0}.

Воспользовались методом квазиравенства, при реализации которого добиваются обеспечения разности между величинами локальных критериев, не превышающих некоторой заданной величины . Предположили, что все локальные критерии имеют одинаковые единицы измерения. Тогда

, .

Пусть . Установили в качестве целевой ячейку, содержащую расчет дохода, а выражения , , записали как дополнительные ограничения. Решая задачу оптимизации, получили таблицы П31 и П32:

Таблица П31. Оптимальный  выпуск продукции по принципу квазиравенства

Товары	Товар 1	Товар 2	Товар 3	Доход
Количество, тыс л	0,00021114	0,000253369	0,0001242
Цена, р.	17000	20400	10000	10,00011

 

Таблица П32. Расход ресурсов на выпуск продукции по принципу квазиравенства

 

Решение задачи оптимизации  по принципу максимина совпадает с решением при максимизации локального критерия 2 (таблица П28), поскольку он во всех трех случаях имеет минимальное значение.

 

Принцип абсолютной уступки соответствует критерию:

В нашем случае составляет , при этом , , . Вектор решения равен { 262,76; 826,35; 0}.

Компромисс по принципу последовательной уступки. Предположили, что критерии ранжированы по важности в соответствии с их номерами. Нашли оптимальное решение по критерию . Назначили уступку , которая вносится в качестве ограничения и позволяет максимизировать значение локального критерия . Тогда , а . Ввели уступку по второму критерию и максимизировали значение показателя . Тогда ; , а . Вектор решения имеет вид {0; 0; 742}.

3. Выводы:

Результаты решения многокритериальной задачи, полученные с помощью различных  методов выбора компромисса, сведены в таблицу П33.

Таблица П33. Результаты решения многокритериальной задачи на основе различных принципов выбора компромисса

 

Контрольные вопросы

 

• Когда задача становится многокритериальной?

Многокритериальная задача разработки управленческого решения  возникает в том случае, когда  результат ее решения должен удовлетворять  нескольким противоречивым требованиям. В этом случае эффективность решения  оценивается совокупностью неких  локальных критериев , которые могут различаться своими коэффициентами относительной важности . Тогда говорят, что локальные критерии образуют вектор критериев , а коэффициенты вектора важности вектор .

 

• Что такое компромисс?

Компромисс (лат. compromissum) соглашение между противоположными, различными мнениями, направлениями и т.д., достигнутое путем взаимных уступок.

 

• Что такое область согласия? Что такое область компромисса?

На рис. 1 рассмотрена графическая  иллюстрация метода отыскания возможного компромисса для двухкритериальной  задачи. По осям координат отложены значения локальных критериев  и , достигаемых при различных допустимых значениях решения . Кривая очерчивает область допустимых значений критериальных функций и и фактически определяет область согласия. Основной интерес для оптимизации представляет участок кривой , точки которой находятся в области компромисса (в точке имеется максимум по критерию , а в точке по критерию ). Решением оптимальной двухкритериальной задачи разработки управленческого решения является такое значение вектора управления , которое обеспечивает положение решения на кривой удовлетворяющее некоторому принципу компромисса, определяющему правило уступки по каждому из критериев. Так, например, точка и соответствующее ей решение двухкритериальной задачи выбрана в области компромисса (на кривой ) как удовлетворяющее требованию одинаковой абсолютной уступки по критериям и .

 

• Рис.1. Область согласия и область компромисса при решении многокритериальных задач
• В чем заключается основная идея метода скаляризации векторного критерия?

Наиболее простым методом  является способ скаляризации векторного критерия. В этом случае

. (12)

и задача разработки управленческого  решения из многокритериальной превращается в однокритериальную. Значения весовых коэффициентов могут быть получены экспертным путем и задаются в абсолютном или относительном виде. В последнем случае

• .

 

• В чем заключается основная идея метода квазиравенства?

При реализации этого метода добиваются не точного равенства, а  обеспечения разности между величинами локальных критериев, не превышающих  некоторой заданной величины . Тогда

• , .

 

• В чем заключается основная идея метода последовательной уступки?

Показатели эффективности  ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение обращающее в максимум главный показатель эффективности . После этого назначается некоторая уступка , которая позволяет максимизировать значение показателя . Далее снова назначается уступка и максимизируется значение показателя и т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин заданных уступок.

• Что такое абсолютная и относительная уступки?

Принцип справедливой уступки предлагают компромисс, при котором суммарный абсолютный или относительный уровень снижения одного или нескольких критериев не превосходит суммарного абсолютного или относительного уровня повышения других критериев. Можно сказать [Ошибка! Источник ссылки не найден.], что принцип абсолютной уступки соответствует критерию

• а относительной уступки критерию

Принцип выделения главного критерия заключается в том, что среди локальных критериев выделяется один главный, проводится оптимизация по этому критерию, а затем обеспечивается требование, чтобы величины других критериев не были бы меньше некоторых заданных величин. Вариантом этого метода является принцип последовательной уступки, при котором показатели эффективности ранжируются в порядке убывания важности. Далее находят решение обращающее в максимум главный показатель эффективности . После этого назначается некоторая уступка , которая позволяет максимизировать значение показателя . Далее снова назначается уступка и максимизируется значение показателя и т.д. Полученное в итоге оптимальное в рамках выбранной схемы компромисса решение обеспечивает значение показателя эффективности в пределах величин заданных уступок.