Контрольная работа по "Теории игр"

ЗАДАНИЕ 1.

Один из N станков должен быть выбран для изготовления Q единиц определенной продукции. Минимальная и максимальная потребность в продукции равна Q* и Q** соответственно. Производственные затраты TCi на изготовление Q единиц продукции на станке i включают фиксированные затраты Ki и удельные затраты ci на производство единицы продукции и выражаются формулой TCi = Ki + ciQ.

a) Решите задачу с помощью каждого из четырех критериев принятия решений в условиях неопределенности (критерий Лапласа; минимаксный критерий; критерий Сэвиджа; критерий Гурвица)

b) Решите задачу при следующих данных, предполагая, что 1000 ≤Q ≤4000.

 

Станок i	Ki (долл.)	Ci (долл.)
1	100	5
2	40	12
3	150	3
4	90	8

 

Решение.

Создаём таблицу:

ТС_i= К_i+С_i*Q

	1000	2000	3000	4000	К		С
1	100+5*1000= 105 000	100+5*2000= 210 000	100+5*3000= 315 000	100+5*4000= 420 000	1	100	5
2	40+12*1000= 52 000	40+12*2000= 104 0000	40+12*3000= 156 000	40+12*4000= 208 000	2	40	12
3	150+3*1000= 153 000	150+3*2000= 306 000	150+3*3000= 459 000	150+3*4000= 612 000	3	150	3
4	90+8*1000= 98 000	90+8*2000= 196 000	90+8*3000= 294 000	90+8*4000= 392 000	4	90	8

 

1) Критерий Лапласа.

S₁=a₁₁*a₁+a₁₂*a₂+a₁₃*a₃+a₁₄*a₄

Решение:

S₁= 105 000*0.3+210 000*0.4+315 000*0.2+420 000*0.1= 220 500

S₂= 108 900

S₃= 321 300

S₄= 205 800

 

2) Минимаксный критерий.

Решение:

Ищем наихудшие варианты по таблице.

105 000

                      52 000- наихудший

153 000

98 000

 

 

3) Критерий Сэвиджа.

a_max + (1-a) * min_i * a_ij

Решение:

A₁ 0.8 * 420 000+( 1- 0.8) * 105 000= 357 000

A₂   206 800

A₃  520 200

A₄  333 200

 

4) Критерий Гурвица.

Рассчитываем упущенную возможность  по таблице.

 

105 000       (53 000)	210 000 (106 000)	315 000  (159 000)	420 000      (212 000)	212 000
52 000    (0)	104 000   (0)	156 000   (0)	208 000   (0)	0
153 000    (101 000)	306 000   (202 000)	459 000   (303 000)	612 000   (404 000)	404 000
98 000    (46 000)	196 000    (92 000)	294 000    (138 000)	392 000    (184 000)	184 000

 

ЗАДАНИЕ 2.

 Автомобилист может  проехать из деревни Ольховка  в деревню Петровка по одной  из двух дорог: А и Б. Дорога  А короче, чем Б, но проходит  через мост, который может быть  закрыт на ремонт. Издержки автомобилиста  в зависимости от стратегии  автомобилиста и ситуации на мосту приведены в таблице:

	Мост открыт	Мост закрыт
Выбрал дорогу А	3	14
Выбрал дорогу Б	13	12

Найти смешанную оптимальную  стратегию автомобилиста, минимизирующую его ожидаемые  издержки.

Решение                                           min

x	3	14
1-x	13	12

3 max 12

12 
max             13                  12

 

        min  13

  V= 12

`V = 13

 

Δ= a + d – b – c

Δ = 3 + 12 – 13 – 14 = -12

X = d- b / Δ

X = 12 – 14 / -12 = 1/6

1-x= a –c / Δ

1-x = 3- 13 / -12 = 5/6

V = a*d – b*c / Δ

V = 12 1/6

 

ЗАДАНИЕ 3.

Симметричная монета подбрасывается три раза. Вы получаете  один доллар за каждое выпадение герба (Г) и дополнительно 0,25 доллара за каждые два последовательных выпадения герба (заметим, что выпадение ГГГ состоит из двух последовательностей ГГ). Однако вам приходится платить 1,1 долл. за каждое выпадение решки (Р). Вашим решением является участие или неучастие в игре.

 

a) Постройте соответствующее дерево решений для описанной игры.

b) Будете ли вы играть в эту игру?

 

a) строим дерево решения:

 

 

 

 

b) Все полученные данный складываем между собой и делим на количество полученных решений.

3.5+1.15+0.9+(-1.2)+1.15+(-1.2)+(-1.2)+(-3.3)= -0,2/8= -0.025

Получили отрицательное число, а значит, в данную игру играть не стоит, т.к. не будет положительного результата.

 

 

ЗАДАНИЕ 4.

 Банк решает вопрос о проведении (или не проведении) двух финансовых операций, доходности которых Q₁ и Q₂ соответственно являются случайными величинами. Доходность Q₁ принимает значение a с вероятностью 0.9 и значение b с вероятностью 0.1. Доходность Q₂ принимает значение c с вероятностью 0.64 и значение d с вероятностью 0.36.

1. Какая операция эффективнее с точки зрения ожидаемого дохода, какая с точки зрения риска?
2. В предположении, что финансовые операции не коррелированны, найдите ожидаемый доход и риск одновременного проведения операций. Сравните полученные значения с ожидаемым доходом и риском каждой отдельной операции, и ответьте на вопрос, какое решение эффективнее с точки зрения дохода: проведение одной операции, или проведение двух операций? То же самое оцените с точки зрения риска. В чем, по-вашему, заключается эффект диверсификации?

 

Решение:

 

1)

 

 

                                 

     

 

 

                                                                  5*0,9+200*0,1=    24,5 

 

 

 

                                                                  10*0,64+30*0,36=  17,7

 

 

 

 

2)

                                                           0,9*0,64*      =  4,32

0,9*0,36*       =  5,67

 0,1*0,66* =    6,72   

 

0,1*0,36*        = 4,14