Принятие решений в условиях неопределенности

 

2. Принятие решений в условиях риска

Самый простой случай неопределенности — т.н. «доброкачественная» или стохастическая неопределенность, когда состояния природы имеют какие-то вероятности. Тогда естественно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально.

 

Ситуация ПР в условиях риска  возникает в случаях, когда известны априорные вероятности состояний природы

р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n),

.                       (5)

 

Естественно воспользоваться этой дополнительной информацией. С этой целью для каждой операции а_i находят взвешенные суммы полезностей

  i=1,2, …, m ,                          (6)

и выбирают в качестве наилучшей  ту операцию , для которой взвешенная сумма полезностей в (6) максимальна,

 

 

Любопытно отметить, что та же стратегия, которая обращает в максимум средний выигрыш, обращает в минимум в средний риск. Так что в случае стохастической неопределенности оба подхода («от выигрыша» и «от риска») дают одно В то же оптимальное решение.

 

Пусть в рассмотренном выше примере  р(Q₁)=0.25, р(Q₂)=0.75. По данным табл. 3 имеем

 

= 1×0.25 + 11×0.75 = 8.5,

= 10×0.25 + 6×0.75 = 7.0,

= 0×0.25 + 14×0.75 = 10.5,

   max (8.5; 7.0; 10.5) = 10.5.

 

 

Следовательно, наилучшей операцией  является операция а₃, если р(Q₁)=0.25, р(Q₂)=0.75. Но при других значениях априорных вероятностей состояний природы возможен  и другой выбор. Используя данные табл.3 и формулу (6) для каждой операции а_i, i = 1,2,3, имеем

 

= р +11(1 – p) = 11 – 10p,

= 10p +6(1 – p) = 6 + 4p,

= 14(1 – p) = 14 – 14p.

 

 

На рис.1 даны графики функций  , i = 1, 2,

Прямые  ,   пересекаются в точке В, при , вычисленного из равенства 6 + 4р = 14 – 14р. Из рис. 1 следует, что при   лучшей операцией является   а₃, а при   лучшей операцией является   а₂. При    безразлично, какую операцию а₂ или а₃ использовать. Операцию а₁ применять невыгодно.

Если р=0 или 1, то имеем ситуацию ПР в условиях достоверности. При  р=0 лучшая операция – а₃, при р=1 лучшая операция – а₂.

 

3. Принятие решений при проведении эксперимента

Допустим, что вероятности р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n) в принципе существуют, но вам неизвестны. Иногда в этом случае предполагают все состояния природы равновероятными (так называемый «принцип недостаточного основания» Лапласа), но вообще-то это делать не рекомендуется. Все-таки обычно более или менее ясно, какие состояния более, а какие - менее вероятны. Для того чтобы найти ориентировочные значения вероятностей р(Q₁), р(Q₂), … , р(Q_n), можно, например, воспользоваться методом экспертных оценок. Хоть какие-то ориентировочные значения вероятностей состояния природы все же лучше, чем полная неизвестность. Неточные значения вероятностей состояний природы в дальнейшем могут быть «скорректированы» с помощью специально поставленного эксперимента. Эксперимент может быть как «идеальным», полностью выясняющим состояние природы, так и неидеальным, где, вероятности состояний уточняются по косвенным данным

 

3.1. Принятие решений в условиях неопределенности

Человек, прежде чем принять решение, пытается получить некоторую информацию о состоянии природы экспериментальным путем. Предполагается, что проведение эксперимента не требует никаких затрат,

Пусть проведен эксперимент, имеющий t исходов – возможных прогнозов  состояния природы,

Z=(z₁, z₂,…, z_t),   

.

Известна условная вероятность  Р(z_β/Q_j) b-го результата эксперимента при состоянии природы Q_j,

P_bj= Р(z_β/Q_j),   b=1,2,…,t,   j=1,2,…,n.                        (7)

Множество значений P_bj можно представить в виде матрицы размера t·n, данной в табл. 5.

Для использования информации, полученной в результате эксперимента, введем понятие стратегии.

Таблица 5 

Qj         Zb	Q1	Q2	…	Qn
z1	P11	P12	…	P1n
z2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
zt	Pt1	Pt2	…	Ptn

 

Стратегия -  это соответствие последовательности t результатов эксперимента последовательности t операций,

(z₁, z₂,…, z_t)→ (a_i, a_j,…, a_k).                        (8)

Выражение (8) подразумевает, что

z₁→ a_i,

,

z₂→ a_j,

,

……………………

z_t→ a_k,

.

 

Число возможных стратегий l определяется формулой

l = m^t,

m – число операций, t -  число результатов эксперимента. При m=2, t=3 всевозможные стратегии представлены в табл.6.

 

  Таблица 6

Si zb	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7	S8
z1	a1	a1	a1	a1	а2	а2	а2	а2
z2	a1	a1	а2	а2	a1	a1	а2	а2
z3	a1	а2	a1	а2	a1	а2	a1	а2

 

Задача ПР формулируется так: какую  одну из операций   a₁,a₂,…, a_m  следует выбрать в зависимости от одного из результатов эксперимента   z₁, z₂,…, z_t.

Для принятия решения находим усредненные  полезности   стратегий S_i, i= 1,2, …,  l, при состояниях природы Q_j, j=1, 2, …, n,

U(S_i,Q_j)= α_{i β j} P_{β j} , i= 1,2, …,  l,       j=1, 2, …, n,                 (9)

где α_iβj - полезность β-ой компоненты i-ой стратегии при состоянии природы Q_j, P_βj – условная вероятность β-го результата эксперимента при состоянии природы Q_j.  Стратегия S_i определена множеством операций, значения α_{i β j}  берутся из таблицы полезностей значения P_βj   – из табл. 5. Полученные значения усредненных полезностей U(S_i,Q_j) можно записать в виде матрицы размера n·l. Для принятия решения – выбора наилучшей стратегии можно воспользоваться уже рассмотренными критериями: максимина, минимакса сожалений и равновозможных состояний.

       Рассмотрим конкретный  пример. Предполагается лишь два  состояния природы: Q₁  - теплая погода, Q₂ – холодная погода, и только две операции: a₁ – одеться для теплой погоды, a₂ – одеться для холодной погоды. Эта ситуация характерна для туристов. Матрица полезности дана в табл.7.

      Таблица 7              Таблица 8

Qj ai	Q1		Q2		Qj zb	Q1	Q2
a1	10		0		z1	0.6	0.3
					z2	0.2	0.5
a2		4	7		z3	0.2	0.2

 

Критерий максимина гарантирует 4 ед. полезности и рекомендует выбирать операцию а₂. Критерий минимакса дает этот же ответ.

Но есть возможность воспользоваться  данными прогноза погоды (в этом и состоит эксперимент), которые могут быть трех видов:

z₁ – ожидается теплая погода,

z₂ – ожидается холодная погода,

z₃ – прогноз неизвестен.

Из прошлого опыта известны условные вероятности этих трех видов прогноза для каждого состояния природы , b=1,2,3, j =1,2, представленные в табл. 8.

Для каждой из 8–ми стратегий и  каждого из 2–х состояний природы  определим взвешенные суммы полезностей  по формуле (9), используя данные таблиц 6 – 8,

U(S₁,Q₁) =10×0.6 + 10×0.2 +10×0.2 =10,

U(S₂,Q₁) =10×0.6 + 10×0.2 +4×0.2 = 8.8,

U(S₃,Q₁) =10×0.6 + 4×0.2 + 10×0.2 = 8.8,

........................................................

U(S₈,Q₁) = 4×0.6 + 4×0.2 + 4×0.2 = 4,

U(S₁,Q₂) = 0×0.3 + 0×0.5 +0×0.2 = 0,

.........................................................

U(S₈,Q₂) = 7×0.3 + 7×0.5 + 7×0.2 = 7.

Все вычисленные значения U(S_i,Q_j), i = 1,2,…8, j = 1, 2, помещены в табл.9.

                    Таблица 9

Si Qj	S1	_ S2	S3	S4	_ S5	_ S6	S7	S8
Q1	10	8.8	8.8	7.6	6.4	5.2	5.2	4
Q2	0	1.4	5	4.9	2.1	5	5.6	7

 

Из табл. 9 предварительно следует  исключить плохие стратегии –– те стратегии, обе компоненты которых не больше (£) соответствующих компонент какой–либо другой стратегии. Ввиду того, что , , S₆ ≤ S₇, то стратегии исключаются из рассмотрения (в табл. 9 они помечены знаком "–").

К оставшимся, допустимым стратегиям  можно применить известные нам критерии. Используя критерий максимина, имеем:

, ,

, , ,

.

Следовательно, наилучшей стратегией является стратегия S₇, гарантирующая 5.2 ед. полезности. Для сравнения максиминная операция гарантирует лишь 4 ед. полезности. Так как S₇ = (a₂, a₂, a₁), то в силу (8) имеем

.

Это значит, что при прогнозе z₁ выбирается операция а₂, при прогнозе     z₂ – a₂, при прогнозе z₃ – a₁, т.е. максиминная стратегия S₇ рекомендует одеваться тепло, если прогноз – теплая или холодная погода, и одеваться легко, если прогноз неизвестен. Последнее утверждение весьма непрактично.

Максиминная стратегия S₇ при неблагоприятном стечении обстоятельств может привести и к худшему результату, чем максиминная операция . Например, имеет место холодная погода . Тогда согласно максиминной операции турист получит 7 ед. полезности (табл. 7). С другой стороны, если результат прогноза будет (прогноз неизвестен) и согласно стратегии S₇ будет выбрана операция (одеться легко), то он получит 0 ед. полезности. Это явление –– типичное для теории игр и теории принятия решений. S₇ гарантирует лишь среднюю полезность в 5.2 ед.

 

3.2. Использование смешанной стратегии

Стратегия S^* называется смешанной, если она представлена в виде выпуклой комбинации двух других  стратегий,

S^* = сS_m1 + (1 - с)S_m2,    0<с<1, m₁, m₂ Î {1, 2, …, t}.

Это  определение базируется на понятии выпуклой комбинации точек [14]. Переход к смешанной стратегии осуществляется с целью повышения гарантированной средней полезности.

Стратегии  рассмотренного выше примера  изобразим точками на плоскости           с     координатами ,  , i=1,3,4,7,8  (рис. 2).

По рис. 2 видно, что если взять  в определенных пропорциях стратегии S₄ и S₈, то получим смешанную стратегию, лучшую по сравнению со стратегией S₇. Проведем биссектрису I-го координатного угла и найдем точку пересечения ее с отрезком [S₄, S₈] –– точку .

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки  S₄(7.6; 4.9),  S₈ (4;7)    [15],

,

которое приводится к виду:

.

Из этого уравнения находим  координаты точки  , для которой ,

.

Так как  , то стратегия лучше стратегии S₇, гарантирующей 5.2 ед. полезности, S^*>S₇.

Теперь остается представить стратегию  в виде выпуклой комбинации стратегий S₄, S₈,

S^* = cS₄ + (1 – c)S₈,   0 < c <1.                             (10)

Для определения значения параметра a достаточно записать уравнение (10) для абсцисс входящих в него точек,

из которого получаем  . Тогда равенство (10) принимает вид:

.                                        (11)

Так как  , , то в силу равенства (11) имеем

.

Практически смешанную стратегию  S^* можно реализовать так. Если результат эксперимента есть  z₂ или z₃, то используется операция a₂.  Если же результат эксперимента есть z₁, то с помощью подходящего случайного механизма с вероятностью используется операция a₁, и с вероятностью –– операция а₂.  Основой случайного механизма могут служить 19 одинаковых карточек, на 10–и из которых записан символ а₁, а на 9–и –– символ а₂.  Из этого набора 19–и карточек случайно выбирается одна и используется та операция, символ, которой изображен на этой карточке.

 

3.3. Принятие решений в условиях риска

К условиям, перечисленным в подпараграфе 3.1, добавляется еще одно – значения априорных вероятностей состояний окружающей среды (природы):

p(Q₁), p(Q₂), ..., p(Q_n).                                    (12)