Контрольная работа по ппур МГУТУ 2 вариант

Часть I

 

Выполнение заданий части  I контрольной работы рассматривается на примере, имеющем исходную информацию, показанную в таблице 1

 

Таблица 1

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем продаж (тыс. руб.)	15	37	35	46	39	62	78	67	83	95	106	117

 

1. Построить график  изменения объемов продаж

График строится путем  нанесения точек, соответствующих  исходным данным, на координатное поле  и соединения их прямыми отрезками.

 

Рис. 1. График изменения объема продаж

 

 

 

2. Применить метод  трёхчленной скользящей средней

Значения трехчленных скользящих средних вычисляются по формуле:

=( y_t-1+ y_t+ y_t+1)/3,    t = 2, 3,…, ( n - 1),   (1)

, а значения y_t-1, y_t , y_t+1 – выбираются из построенного графика рис. 1.

Полученные значения скользящих средних записываются в таблицу — (таблица 2)

 

 

 

Таблица 6

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Объем продаж (тыс. руб.)	15	37	35	46	39	62	78	67	83	95	106	117
Скользящие средние		29,0	39,3	40,0	49,0	59,7	69,0	76,0	81,7	94,7	106,0

 

3. Построить систему  нормальных уравнений и рассчитать  константы прогнозирующей функции

А) Решим систему нормальных уравнений для линейного тренда

  = a+bt

Система нормальных уравнений:

 S y_t = an + bS t

S y_t t = aS t + bS t²

Сомножитель n  в первом уравнении системы характеризует объем выборочной совокупности (n = 12).

Определим все суммы, включенные в систему нормальных уравнений. Результаты вычислений удобно записать в специальную таблицу (таблицу 3).

 

Таблица 3

Месяцы	Объем продаж (yt)	t2	yt * t
1	15	1	15	17,926
2	37	4	74	26,485
3	35	9	105	35,044
4	46	16	184	43,603
5	39	25	195	52,162
6	62	36	372	60,721
7	78	49	546	69,280
8	67	64	536	77,839
9	83	81	747	86,398
10	95	100	950	94,957
11	106	121	1166	103,516
12	117	144	1404	112,075
Всего:        78	780	650	6294	780,006

 

Решим систему нормальных уравнений для линейного тренда = a+bt.

 780 = 12а + 78b

6294 = 78a + 650b   ( / 6,5)

 780 = 12а + 78b

968,308 = 12a + 100b

Затем вычитаем из второго  уравнения первое:

188,308 = 22b

b = 8,559

Подставим b в первое уравнение, и рассчитаем а:

780 = 12а + 78 * 8,559

а = 9,367

Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид:

_{= 9,367 + 8,559 * t}

 

Б) Решим систему нормальных уравнений для экспоненциальной прогнозирующей функции y_t = a * e^bt

Линеаризованное уравнение  —  lny_t = lna + bt , 

 где  a₁= ln а;

Система нормальных уравнений:

 S lny_t = a₁n + bS t

S lny_t t = a₁S t + bS t²

Сомножитель n  в первом уравнении системы характеризует объем выборочной совокупности (n = 12).

Определим все суммы, включенные в систему нормальных уравнений. Результаты вычислений удобно записать в специальную таблицу (таблицу 7).

 

Таблица 7

Месяцы	Объем продаж (yt)	t2	lnyt	lnyt * t	(прогноз.)
1	15	1	2,708	2,708	24,386
2	37	4	3,611	7,222	28,417
3	35	9	3,555	10,666	33,115
4	46	16	3,829	15,315	38,590
5	39	25	3,664	18,318	44,970
6	62	36	4,127	24,763	52,404
7	78	49	4,357	30,497	61,068
8	67	64	4,205	33,638	71,164
9	83	81	4,419	39,770	82,930
10	95	100	4,554	45,539	96,640
11	106	121	4,663	51,298	112,617
12	117	144	4,762	57,146	131,235
Всего:        78	780	650	48,453	336,878	777,537

 

 48,453 = 12а1 + 78b

336,878 = 78a1 + 650b   ( / 6,5)

 48,

453 = 12а1 + 78b

51,827 = 12a1 + 100b

Затем вычитаем из второго  уравнения первое:

3,374 = 22b

b = 0,153

Подставим b в первое уравнение, и рассчитаем а:

48,453 = 12а1 + 78 * 0,153

a1 = 3,041

Теперь мы можем рассчитать значение а. исходя из формулы a₁= ln а,

а = exp(a₁)

a = 20,926

Таким образом, уравнение экспоненциальной прогнозирующей функции имеет вид:

_{= 20,926 * exp (0,153 * t)}

 

Как показывает анализ, исходные  (y_t )  и расчетные  ( )  значения переменной соответствуют друг другу, что свидетельствует о правильности подбора прогнозирующей функции.

 

4. Определить наиболее  вероятные объемы продаж в  13, 14 и 15 месяцы

После того как мы получили линейную и прогнозирующую функцию, можно прогнозировать развитие процесса в будущем. Для этого надо просто подставить в полученные формулы (12) значения t = 13, 14, 15.

Расчеты для линейного  тренда:

y_t=13 = 9,367 + 8,559 * t = 120,634 тыс.руб.

y_t=14 = 9,367 + 8,559 * t = 129,193 тыс.руб.

y_t=15 = 9,367 + 8,559 * t = 137,752 тыс.руб.

Расчеты для прогнозирующей функции:

y_t=13 = 20,926 * exp (0,153 * 13) = 152,932 тыс.руб.

y_t=14 = 20,926 * exp (0,153 * 14) = 178,215 тыс.руб.

y_t=15 = 20,926 * exp (0,153 * 15) = 207,679 тыс.руб.

 

5. Оценить правильность  подбора прогнозирующей функции  с помощью остаточной дисперсии,  остаточного среднеквадратического  отклонения и индекса корреляции

Рассчитаем правильность подбора прогнозирующей функции (в  нашем случае – экспоненциальной кривой), сравнив её с другой прогнозной функцией — прямой линией.

Искомые уравнения тренда:

Экспоненциальная функция: = 20,926 * exp (0,153 * t)

Линейная функция: = 9,367 + 8,559 * t

Вычислим значение средней  арифметической y_ср:

y_ср = = 780 : 12= 65

Рассчитаем статистические показатели, для чего промежуточные  данные вычислений (для суммарных  значений) запишем в табличной  форме:

        Таблица 8

Месяцы	Объем продаж (yt)	Значения прогнозирующей функции		Значения ( yt – )2		( yt – yср)2
		Экспоненциальной yt1	Линейной	Экспоненциальной yt1	Линейной
1	15	24,386	17,926	88,089	8,561	2500
2	37	28,417	26,485	73,666	110,565	784
3	35	33,115	35,044	3,552	0,002	900
4	46	38,590	43,603	54,909	5,746	361
5	39	44,970	52,162	35,639	173,238	676
6	62	52,404	60,721	92,074	1,636	9
7	78	61,068	69,280	286,684	76,038	169
8	67	71,164	77,839	17,342	117,484	4
9	83	82,930	86,398	0,005	11,546	324
10	95	96,640	94,957	2,689	0,002	900
11	106	112,617	103,516	43,784	6,170	1681
12	117	131,235	112,075	202,646	24,256	2704
Всего	780	777,537	780,006	901,079	535,245	11012,000

 

Вычислим значения σ²_ост, σ_{ост ,} V:

Для экспоненциальной функции:

σ²_ост= = 901,097 : 12 = 75,090;

σ_ост = = 8,665;

V= ( )* 100% = 9,67/66,58*100% = 13,33%

Для линейной функции:

σ²_ост = 535,245:12 =44,604;

σ_ост = = 6,679;

V= 9,68/66,58*100% =10,27%

Сравнив эти три показателя между собой мы видим, что для  линейной функции они меньше, чем для экспоненциальной. Следовательно, линейная функция в нашем случае лучше подходит для уравнения прогноза.

Чтобы вычислить индекс корреляции R_y/t , необходимо вычислить общую дисперсию σ²_общ  по формуле:

σ²_общ= = 11012, : 12 = 917,667

Причем она одинакова  для любой прогнозирующей функции (в нашем случае — для логарифмической и линейной).

Рассчитаем значение индекса  корреляции R_y/t :

Для экспоненциальной функции:

Ry/t = = 0,958

Для линейной функции:

Ry/t = 0,975

Чем больше индекс корреляции, тем сильнее взаимодействие между  переменными t и  y_t .Как видно значение индекса корреляции выше 0,9, т.е. весьма высоко, что указывает на значительную тесноту связи между переменными. Однако для линейной функции оно всё же выше и по этому критерию она подходит больше, чем экспоненциальная.

 

 

7.Построить графики  изменения объема продаж во  времени, скользящей средней   и прогнозирующей функции вида  =f(t)