Метод свертывания векторного критерия в суперкритерий

Одним из распространенных методов решения многокритериальных задач является метод сведения многокритериальной задачи к однокритериальной путем свертывания векторного критерия в суперкритерий. При этом каждый критерий умножается на соответствующий ему весовой коэффициент (коэффициент важности). 
 
 ,   
 
При этом возникают трудности с правильным подбором весовых коэффициентов аi.  
 
Существуют различные способы выбора коэффициентов аi. Одним из них является назначение аi в зависимости от относительной важности критериев. Такой подбор указанных коэффициентов можно выполнять согласно таблице: 
 
Таблица 1. Шкала относительной важности.

Принцип оптимальности по Парето

Вектор х1єХ называется слабо оптимальным по Парето решением (оптимальным по Слейтеру), если не существует вектора х1єХ, такого, что  
 
 
 
Пусть xoj (i=1,m) есть оптимальные решения для обычных скалярных оптимизационных задач, каждая из которых максимизирует компоненту Fi(х) вектора F (х): 
 
 (3.4) 
 
Если они являются максимальными решениями для каждой i, то считаем, что Fj(xoj) >Fi(xj) (i=1,m), где xoj — оптимальное решение задачи (3.4). 
 
Положим, что Soj изображает множество решений, каждое из которых соответствует компоненту Fj, и 
Soj = {x|Fj(x)?<=Fj(xoj)+aj} (3.5) 
 
где aj представляет допустимое количество ограничений соответствующей области по отношению к Fj. Тогда оптимальное достаточное решение это такое решение, при котором минимальный компонент (наихудший компонент) максимизируется на множестве, удовлетворяющем достаточному условию хєХ и хєSo1nSo2n…,Som. Оно может быть сформулировано как 
 
max z (3.6) 
х, z при 
Fj(x)>=z; (3.7) 
Fi(x)>=Fj(x)oj—aj, i=1,m; (3.8) 
хєХ. (3.9) 
 
Здесь задача (3.6) – (3.9) неразрешима, если аj не настолько велико, что пересечение {S°j} непусто. Величины аj должны быть определены на основе значений Fj(xoj) или анализа точности. Можно доказать, что оптимальное решение задачи (3.6) – (3.9) есть оптимальное решение по Парето. 
 
Алгоритм решения задачи имеет следующие этапы.  
 
Шаг 1. Полагаем l=1 и решаем задачу 
 
max z (3.10) 
х, z при 
Fj(x)>=z;  
Fi(x)>=Fj(x)oj—aj, i=1,m; хєХ.  
 
Вызываем исходное решение x1 и оцениваем целевую функцию F(x1). 
 
Шаг 2. Когда хl задано, разлагаем F(хl) на удовлетворительные и неудовлетворительные 
компоненты. Обозначим их соответственно через Sl и  l. 
 
Если Sl , тогда эта задача считается неразрешимой, а если Sl  , то х1 — оптимальное, отвечающее требованиям решение. Если  <>   и Sl<>  , то для jєSl определяется аlj>0, допустимое по отношению к Fj(xl) [аlj=0 означает, что j-я целевая функция fj(x) не может принимать значение, отличное от fj (xl)]. 
 
Ш а г 3. Решаем задачу 
max z  
х, z 
при условии 
Fj(x)єz, jє l ;  
Fi(x)>=Fj(x)oj—aj, jєSl; хєХ.  
 
Вызываем исходное решение xl+l. Если xl+1=xl, то задача будет неразрешимой; если xl+1<>xl, то полагаем 1 = 1+1 и возвращаемся к шагу 2. 
 
При этом алгоритм заканчивается. 
 
 
 

Заключение

Итак, в  данной работе проведен обзор существующих методов решения задач на поиск оптимального решения при многих критериях. Были рассмотрены такие методы как:

• Принцип справедливого компромисса,
• Принцип приближения по всем локальным критериям к идеальному решению,
• Метод квазиоптимизации локальных критериев (метод последовательных уступок),
• Метод свертывания векторного критерия в суперкритерий,
• Принцип оптимальности по Парето.

На мой взгляд эта проблема актуальна в современном мире, где приходится ежедневно делать выбор. Знание такого подхода к решению проблем и задач важно и для российского бизнеса. Необходимо решать проблемы выбора быстро и чётко по запланированному плану, или привести процесс решения в интегрированную универсальную систему, чтобы использовать ее как инструмент при необходимости, создать который нам помогают различные методы системного анализа.

Список  литературы

1. Г. М. Уланов и др. Методы разработки интегрированных АСУ промышленными предприятиями. М.: Энергоатомиздат – 1983.  
2. А. М. Анохин, В. А. Глотов, В.В. Павельев, А.М. Черкашин. Методы определения коэффициентов важности критериев “Автоматика и телемеханика”, №8, 1997, с3-35. 
3. Таха, Хэмди А. Введение в исследование операций – М.:Мир,2001, с354-370. 
4. Р. Штойер. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления, приложения. М.:Наука, 1982, с14-29, 146-258. 
5. Многокритериальная оптимизация. Математические аспекты. М.:Наука, 1989, с116-123. 
6. В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982, с9-64. 
7. В. В. Хоменюк. Элементы теории многокритериальной оптимизации. М.: Наука, 1983, с8-25.