Кривые линии и поверхности

Введение

Линии занимают особое положение  в начертательной геометрии. Используя  линии, можно создать наглядные  модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют  установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.

Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

В начертательной геометрии  под поверхностью понимают совокупность всех возможных положений движущихся линий в пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кривые  линии и поверхность

           

         

Кривые линии. Понятия и определения.

Классификация линий

 

Кривую линию можно  рассматривать кинематически – как множество  последовательных  расположений  точки,  непрерывно  перемещающейся в пространстве. Линию определяют и как множество точек, обладающих каким-либо общим свойством, или как результат пересечения двух поверхностей. Различают точки и пространственные линии. Все точки плоской линии принадлежат одной плоскости. Примерами  плоских  прямых  линий  являются  окружность,  эллипс, парабола, спираль Архимеда. Примерами пространственных кривых – винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса. Для построения проекций кривой необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек.

 Эллипсом является геометрическое место точек М, для которых сумма расстояний до точек F1 и F2 плоскости постоянна и равна большой оси АВ (рис. 1, а). При равных осях эллипс превращается в окружность , являющуюся геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от данной точки О (рис. 1, б).

Параболой является геометрическое место точек М, для которых расстояния до точки F плоскости и до прямой KN, не проходящей через точку F, равны (рис. 1, в, г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

Поверхности. Определение.

 

В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных положений движущейся линии. Такой способ образования поверхности называется кинематическим. Линия (прямая  или кривая),  перемещающаяся  в пространстве и создающая поверхность называется образующей. Движущаяся линия может быть  плоской  или  пространственной.  Пространственная  линия может быть постоянного или переменного вида. Движение линии в пространстве  может  быть  закономерным  или  незакономерным.  В  первом случае поверхность будет  закономерной,  во  втором – незакономерной. В образовании поверхности участвует еще одна линия – направляющая, которая определяет закон движения образующей.

Поверхность может быть задана следующими способами:

• аналитическим – в этом  случае рассматривают множество точек данной  поверхности, координаты  которых удовлетворяют уравнению вида А (x, y ,z)=0. А (x, y, z) – многочлен n-ой степени.
• кинематическим – задается  закон движения  образующей в пространстве.
• каркасным –  поверхность  задается  семейством  двух  линий – направляющих и образующих.

  Задание поверхности  на комплексном чертеже 

1. Определитель - это совокупность условий, позволяющих реализовать закон образования поверхности;

а) геометрическая часть – задаются постоянные геометрические элементы (точка, прямая и т.п.)

б)  алгоритмическая  часть – дополнительные  сведения  о характере

перемещения образующей (текстовая часть).

2. Каркасом.

3.  Очерк – наиболее  наглядный способ  задания поверхности.

Очерк – это проекция контурной линии на плоскость. Поверхность считается заданной, если относительно нее можно однозначно решить задачу на принадлежность. Так точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии данной  поверхности.  На  поверхности  через  точку  нужно проводить простейшую линию.

Классификация поверхностей

 

Из множества различных  поверхностей выделяется несколько классов в зависимости от образующей, а также формы, числа и расположения направляющих:

1. Поверхности закономерные и незакономерные;
2. Нелинейчатые (криволинейные) поверхности

• Сферу образуют вращением окружности вокруг её диаметра (рис. 2). Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Очерк фронтальной проекции сферы называют главным меридианом, очерк горизонтальной проекции – экватором. Проекции точки К, лежащей на поверхности сферы, принадлежат проекциям горизонтальной окружности, проведённой на сфере.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

• Круговой тор образуют вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не являющейся её диаметром. Таким образом, сферу можно рассматривать как частный случай тора. Различают тор-кольцо, когда ось вращения не пересекает образующую окружность, и тор-бочку. 

          

• Параболический тор образуют вращением параболы вокруг прямой, лежащей в плоскости этой параболы и не являющейся её фокальной осью.

 

• Эллиптический тор образуют вращением эллипса вокруг прямой, лежащей в плоскости этого эллипса и не являющейся его осью.

Торовые поверхности  имеют диаграммы направленности антенн, поверхности положения объекта  в пространстве, антенны и их обтекатели, волноводы, резонаторы, громкоговорители и так далее.

 

• Эллипсоид образуют вращением эллипса вокруг его малой или большой оси. В первом случае получают сжатый (рис. 3, а), а во втором – вытянутый эллипсоиды вращения (рис. 3, б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 

а)                                                     б)

Рис. 3

 

Плоскости XOZ и YOZ пересекают их по эллипсам DE и EF, а плоскость XOY – по окружности DF.

 

 

 

 

 

 

 

 

• Двуполостный гиперболоид образуют вращением гиперболы DE  вокруг её действительной оси FF1 (рис. 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

 

• Параболоид образуют вращением параболы OD вокруг её фокальной оси OF (рис. 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

3.  Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) поверхности;

• Конус образуют вращением прямой OD вокруг пересекающейся с ней оси Z (рис. 6). Координатные плоскости XOZ  и YOZ  рассекают конус по пересекающимся прямым OD, OE, OK и OF; плоскость XOZ даёт в сечении точку О; плоскость , параллельная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

•   Цилиндр образуют вращением прямой ЕD вокруг параллельной ей оси Z (рис. 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7  

 

                           

• Однополостный гиперболоид образуют вращением прямой ED вокруг скрещивающейся с ней оси Z (рис. 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Рис. 8

 

4. Поверхности  развертывающиеся  и неразвертывающиеся;

5. Поверхности  с  образующей  постоянной  формы  и  поверхности с образующей переменной формы.

 

 

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью называется телом. Коническая  поверхность служит  боковой поверхностью  конуса (тела), цилиндрическая поверхность – цилиндра (тела), пирамидальная и призматическая – пирамиды и призмы, соответственно. Образующая линейных поверхностей – прямая l бесконечна, поэтому и поверхности также бесконечны. Торс (поверхность  с ребром  возврата)  образуется  движением  прямой линии l (образующей), касающейся во всех своих положениях пространственной  кривой m,  называемой  ребром  возврата.  Торс  вполне  определяется  заданием ребра возврата m. Линия разделяет торс на две полости. Если ребро возврата – кривая m вырождается в точку, то торс вырождается в коническую поверхность.

 

Поверхности вращения

 

Поверхностью  вращения  называется  поверхность,  описываемая кривой (или прямой) линией образующей при ее вращении вокруг неподвижной оси. Эта поверхность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения.

Каждая точка образующей l описывает при своем вращении окружность с центром на оси, которые называются параллелями, наибольшая из которых – экватор, наименьшая – горло. Кривые, которые получаются в  сечении  тела вращения плоскостями, проходящими через ось, называются меридианами. Точки  на  поверхности  вращения  строятся  с  помощью  параллелей (рис. 9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9

 

Рассмотрим некоторые  тела и поверхности вращения.

1. Поверхности, образованные  вращением прямой линии: 

а)  цилиндр  вращения –  поверхность,  полученная  вращением  прямой q вокруг её параллельной оси JJ (Рис. 10, а);

б)  конус  вращения –  поверхность,  образованная  вращением прямой q вокруг пересекающейся с ней осью JJ; (Рис. 10, б)

в) однополосный гиперболоид  вращения – поверхность, полученная вращением прямой q вокруг скрещивающейся с ней осью JJ (Рис. 10, в).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           а                                                    б                                                в

Рис. 10

 

 

2.  Поверхности,  образованные  вращением  окружности  вокруг  неподвижной оси:

а) сфера – поверхность, полученная  вращением  окружности  вокруг  ее  диаметра;

б)  тор –  поверхность, полученная вращением окружности  вокруг  оси JJ, лежащей в плоскости этой окружности,  но  не  проходящей  через  ее  центр

(рис. 11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхности вращения, образованные вращением кривых второго 

порядка:

а)  эллипсоид  вращения –  поверхность,  полученная  вращением  эллипса вокруг оси (Рис. 12);

б)  параболоид  вращения –  поверхность,  образованная  вращением параболы вокруг ее оси (Рис. 13).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   Рис. 12                                                                         Рис. 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

 

1. Фролов С. А. Начертательная геометрия: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1983.
2. Виноградов В.Н. Начертательная геометрия: Учеб. для          студентов худож.-граф. фак. пед. ин-тов. 2-е изд. перераб. М.: Просвещение, 1989.
3. Черчение: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по специальности №2109 «Черчение, изобразит. искусство и труд» / Д.М. Борисов, Е.А. Василенко, Б.А. Ляпунов, М.Н. Макарова; под ред. Д.М. Борисова. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Просвещение, 1987

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  рис 6

рис 4 рис 5

 

рис 7

рис 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис 1                                                                                                     рис 2

 

 

 

рис 3