Физические задачи на экстремум функции

Ответ:  
 

Задача №5

В горизонтальной трубе длиной l  находится положительно заряженный шарик. Вблизи противоположных концов трубы находятся закреплённые положительные заряды и . Найти положение равновесия шарика из условия минимальности потенциальной энергии в этом положении. 

Решение:

Потенциальная энергия шарика в поле заряда

рассчитывается по формуле и в поле заряда : .

Суммарная потенциальная энергия равна

(4)

  Экстремум функции (4) отвечает условию равновесия. Продифференцируем функцию(4) и приравняем к нулю

(5) 

Обратим внимание на то, что полученный

Результат фактически выражает условие компенсации 
кулоновских сил. Следовательно, минимум потенциальной энергии отвечает условию компенсации сил. Мы получаем возможность характеризовать 
условие равновесия как состояние, в котором потенциальная энергия системы минимальна. Это широко употребительная в физике интерпретация 
условия равновесия. 

Из данного равенства (5) получим

.

Отсюда

Решим квадратное уравнение

-не удовлетворяет 

Ответ:  
 
 

Человек может двигаться  по полю со скоростью  v, а по шоссе – со скоростью u. Ему необходимо из точки А в поле  попасть в точку С на шоссе. Под каким углом к шоссе ему нужно двигаться, чтобы попасть в точку С за минимальное время?

Решение: 

Выведем два  отрезка траектории – АВ и ВС и введём обозначения. Общее время  движения: . Выразим отрезки АВ и ВС через . После подстановки время выражается как функция угла: . Исследуем эту функцию на экстремум

Ответ:  

Задача №6

Гелий массой m в цилиндре под поршнем занимает объём при давлении . Этот газ медленно переводят в состояния с параметрами   и , причём процесс перехода характеризуется законом p=b-a*V. Определить максимальную температуру в этом процессе.

Решение:

Макроскопические параметры состояния газа связаны уравнением Менделеева – Клапейрона: . Здесь М - Молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная. Подставим сюда выражение для p:(b-aV)*V= . Отсюда температура как функция объёма: .(1)

Значение параметров начального коэффициента газа позволяют коэффициенты

а и b

Решая данную функцию получим:

и

Исследовав функцию (1) на экстремум получим

Ответ:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

    Школьная программа по математике предусматривает в теме «Производная и её применение» ознакомление с методом нахождения экстремальных значений функции. Данный метод имеет важнейшее значение для решения целого класса задач из разных разделов курса физики. Специфика задач данного класса включает получение на основе некоторых физических закономерностей функциональной зависимости и нахождение экстремального значения.

    Практика показывает, что даже при наличии всех необходимых знаний, необходимых для решения вышеперечисленных задач, задачи с физическим содержанием представляют значительную трудность для учащихся, а порой оказываются непосильными. Метод, освоенный лишь на абстрактных  примерах, не работает в конкретных физических ситуациях. Прикладное значение метода исследования функции на экстремум остаётся нераскрытым.

    Мы попытались в своей работе преодолеть этот недостаток, то есть освоить тему «Исследование функции на экстремум» на уровне метода применения. Подобранный нами материал призван оказать помощь учителю математики для иллюстрации её прикладной значимости.

    Для учеников и учителей, которые пожелают продолжить отработку метода на материале физики, можно порекомендовать задачи из следующих сборников: 

1. Задачи по физике под редакцией О.Я. Савченко, Москва, Наука, 1981
2. Гольдфарб Н.И., Сборник вопросов и задач, Москва, «Высшая школа», 1982

 

    Предлагаемые задачи повышенной сложности мы предлагаем использовать на факультативных занятиях по математике и физике, а также для классов с углубленным изучением математики и физики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Беляева Э.С., Монахов В.М., «Экстремальные задачи», Москва,             Просвещение, 1977
2. Новодворская Е.М. Дмитриев Э.М., «Методика проведения упражнений по физике во втузе», Москва, «Высшая школа», 1981
3. Володарский В.Е., «Физические задачи на уроках математики» и журнал «Математика» в школе» №4, 1976
4. Гельфанд М.Б., Берман В.П., «Упражнения межпредметного характера к теме «Производная», журнал «Математика в школе» №2, 1979
5. Рыб К.А.,. Бодрякова Н.О, «Физические задачи на экстремум функции», журнал «Математика в школе» №5, 1980
6. Задачи по физике под редакцией О.Я. Савченко, Москва, Наука, 1981
7. Гольдфарб Н.И., Сборник вопросов и задач, Москва, «Высшая школа», 1982
8. Степанова Г.Н., Сборник вопросов и задач по физике, СПб, «Специальная литература», 1996
9. Методические рекомендации для абитуриентов, ГААП, СПб, 1993
10. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., «Алгебра и начала анализа 10-11кл.», Москва, «Просвещение», 2003
11. «Школа-Пресс», Математика в школе №3. Москва 1993