Туындының қолданылуы

Тақырып 6.  Туындының қолданылуы. 

Дәріс  жоспары.

1. Функция дифференциалын табудың негізгі теоремалары.
2. Функцяның шегін табуда Лопиталь ережесінің қолданылуы.
3. Функцияның өсу және кему белгілері.
4. Функция экстремумы.
5. Функция графигінің дөнес және ойыстығы.Иілу нүктесі.
6. Функцияны зерттеу схемасы және графигін салу.

 

1.Функция  дифференциалын  табудың негізгі  теоремалары. 

    Дифференциалданатын функцияның сегмент ұштарындағы  мәндерін сегменттің қайсыбір орта нүктесіндегі туындының мәндерімен байланыстыратын  теоремаларды келтірейік.

    Ролль теоремасы.

    Егер  функциясы сегментінде үзіліссіз, аралығында дифференциалданатын және болса, онда аралығында шартын қанағаттандыратындай кем дегенде бір нүктесі табылады.

    Лагранж теоремасы.

    Егер  функциясы сегментінде үзіліссіз, аралығында дифференциалданатын болса, онда осы аралықта теңдігін қанағат-тандыратын кем дегенде бір нүктесі табылады. Лагранж теорема арқылы функцияның  тұрақтылығын, өсуін және кемуін анықтауға болады.

    Коши  теоремасы.

    Егер  және функциялар  сегментінде үзіліссіз, аралықта дифференциалданатын және болса, онда осы аралықта

теңдігін  қаанағаттандыратындай кем дегенде бір нүктесі табылады. 

   2.Функцияның  шегін табуда Лопиталь  ережесінің қолданылуы. 

    Лопиталь  ережелері немесе Лопиталь теоремалары  және анықталмағандықтарды ашу үшін қолданылады.

    Егер  және  функциялары нүктесінде бірдей нольге айналса, яғни онда қатынасы ( ) анықталмағандықты береді.

1-теорема. 

    Айталық, нүктесінің маңайында және  функциялары анықталған және дифференциалда-натын болсын (нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы мүмкін) және

,             ,    ,

    Егер  бар болса, онда бар болады және мына теңдік орындалады:

Ескерту. Егер мына анықталмағандыққа келетін болса және , 1-ші теореманың шарттарын орындайтын болса, онда

 болады.

   Бұл жерде, егер үшінші шек бар болса, онда екінші және бірінші шектер бар болады деп түсіну керек.

2- теорема 

    Айталық, нүктесінің аймағында және  анықталған және дифференциалданатын болсын, сонымен қатар сол аймақта

   ,    ,

    Егер  бар болса, онда бар болады және мынадай теңдік орындалады:

    1 және 2 теорема арқылы функциялардың  қатынастарының шегі, олардың туындыларының қатынастарының шегіне тең болатын формулаларды қарастырайық. Осындай түрде анақталмағандықтарды айқындау тәсілдерін Лопиталь ережелері деп атайды.

1- мысал

 

2- мысал

3- мысал

    Жоғарыда  қаралған анықталмағандықтардан басқа  тағы  мынандай  анықталмағандықтар  бар:

. Бұл анықталмағандықтарды  және түрлеріне келтіруге болады.

4- мысал

 
 

3. Функцияның өсу және кему белгілері.

1-теорема.  (функцияның өсуі мен кемуінің қажетті шарттары)

    Егер  дифференциалданатын  функциясы   аралықта өспелі (кемімелі) болса, онда оның осы аралықтағы туындысы теріс (оң) болмайды, яғни

                        

2-теорема. (функцияның өсуі мен кемуінің жеткілікті шарттары).

    Егер  аралығының әрбір нүктесінде функциясының туындысы оң (теріс)

     болса, онда функциясы сол аралықта өседі (кемиді). 

4. Функция экстремумы.

 функциясы нүктесін қамтитын аралығында үзіліссіз болсын.

Анықтама.

    Егер  нүктесінің қайсыбір аймағы табылып, сол аймақтағы барлық х- тар үшін болса, онда нүктесі функциясының максимум (минимум) нүктесі деп аталады.

    Функцияның  максимум және минимум нүктелері  оның экстремум нүктелері деп  аталады. Максимум (минимум) нүктелеріндегі функцияның мәні сәйкес функцияның максимумы (минимумы) немесе қысқаша функцияның экстремумы деп аталады.

Теорема. (экстремум бар болуының қажетті шарты)

    Егер  дифференциалданатын  функциясының нүктесіндегі  экстремумы бар болса, онда немесе , немесе жоқ (анықталмаған).

Теорема. (экстремум бар болуының жеткілікті шарты)

 функциясы кризистік нүктесі бар аралықтың барлық нүктелерінде үзіліссіз және дифференциалданатын болсын. Егер нүктесінің сол жағынан оң жағына өткенде функцияның бірінші туындысы таңбасын плюстен минусқа өзгертетін болса, онда нүктесі максимум нүктесі, ал егер минустан плюске өзгертетін болса, онда нүктесі минимум нүктесі болады.

Ескерту: Егер -тің таңбасы нүктесі арқылы өткенде өзгермесе онда бұл нүктеде функцияның максимумы да, минимумы да жоқ болады.

    Функцияның  экстремумын бірінші туынды бойынша зерттеу үшін:

1⁰ функциясының бірінші туындысы -ті нольге теңеп, одан кризистік нүктелерді, яғни теңдеуінің түбірлерін табамыз.

2⁰ болатын немесе анықтамайтын х –тің мәндерін табамыз.

3⁰ Кризистік нүктелерден өткендегі -тің таңбасын зерттейміз. Егер кризистік нүктеден өткенде -тің таңбасы өзгерсе, онда бұл нүктеде функциясының экстремумы бар болады, ал өзгермесе, онда бұл нүктеде функциясының экстремумы жоқ болады. 

5. Функция графигінің дөңес және ойыстығы. Иілу нүктесі.

 функциясының нүктесінде ОУ осіне параллель болмайтын жанамасы бар, яғни функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын. 

                           у 

 
 

 
 
 

                                                                                           х

                     0                            

                           у

 

 
 
 
 
 

                     0                                                    х 
 

1 сурет 

    Анықтама. Егер функцияның нүктесі аймағындағы графигі осы нүкте арқылы өтетін жанамадан төмен (жоғары) орналасса, онда мұндай функцияны нүктесінде дөңес (ойыс) функция дейді. Егер функцияның арлығындағы графигінің әрбір нүктесі оның осы аралығындағы кез келген жанамасынан төмен (жоғары) орналасса онда мұндай функцияны аралығында дөңес (ойыс) функция дейді.(1- сурет)

    Теорема. (Функцияның дөңес немесе ойыс болуының жеткілікті шарты).

Егер  аралығының әрбір нүктесінде функцияның екінші туындысы бар және   болса, онда функция осы аралықта  дөңес [ойыс] болады.

    Анықтама. Графиктің дөңес бөлігін оның ойыс бөлігінен ажырататын нүктені функция графигінің иілу нүктесі деп атайды.

    Теорема. (иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты).

Егер  үзіліссіз функциясының аралығында екінші туындысы бар және графиктің иілу нүктесі болса, онда  немесе .

    Теорема. (иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты).

    Егер  үзіліссіз функцияның екінші туындысы нүктесі арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда функция графигінің иілу нүктесі болады. 

  Асимптоталар.

    Функцияның  мінездік нүктелерінен  басқа мінездік түзулері деп аталатын түзулері бар. Ол түзулерді функцияның немесе қисықтың асимптоталары деп атайды.

    Функцияның  немесе қисықтың асимптоталары: вертикаль, горизонталь және көлбеу болып үш түрге бөлінеді.

    Анықтама. Егер болғанда функциясының шектеулі шегі бар болса, яғни онда түзуін горизонталь асимптота деп атайды.

    Анықтама. Егер болғанда функцияның біржақты шектерінің кем дегенде біреуі шексіздікке ұмтылса, яғни

      

теңдіктерінің кем дегенде біреуі орындалса, онда түзуі қисығының вертикаль асимптотасы деп аталады. Әдетте, функцияның үзіліс нүктесінде функция графигінің вертикаль асимптотасы бар.

    Анықтама. Егер және ақырлы шектері бар болса, онда түзуі қисығының көлбеу асимптотасы деп аталады. 

6. Функцияны зерттеу схемасы және оның графигін салу. 

    Функцияны толық зерттеу келесі бөліктерден  тұрады:

1. Функцияның анықталу аймағын табу. Үзіліс нүктелерін анықтау.
2. Функцияның жұп немесе тақ болуын анықтау.
3. Функцияның асимптоталарын анықтау.
4. Функцияның өсу, кему аралықтарын және экстремумдарын табу.
5. Графиктің дөңес, ойыс болу аралықтарымен иілу нүктелерін анықтау.
6. Графиктің координаталар осьтерімен қиылысу нүктелерін табу.

7. Функцияның графигін сызу.

 

Мысал келтірейік:

Мысал. функциясын зерттеп, графигін сызу керек.

1⁰. Анықталу аймағы немесе

Мұнда және үзіліс нүктелер

2⁰. Функцияның жұп немесе тақ болуы:

    

Сонымен, тақ функция.

3⁰. Асимптоталарды табайық.