Теория автоматов

 

Ответ: [C]_д=1.0011 0001. Четыре старших разряда произведения находятся в сумматоре, а четыре младших – в РгВ.

Умножение двоичных чисел с фиксированной  запятой на ДСОК, схема 2

Схема  Горнера в этом случае имеет вид

[C]_o=[A]_o´(b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n – SgB + SgB2^-n)=

=SgB[`A]_o+^2-1(b₁ [A]_o+2^-1 (b₂[A]_o+…+2^-1(b_n [A]_o+SgB[A]_o+0))…),

 (7)

При сложении в обратном коде единица, спадающая со знакового разряда  подсуммируется в младший разряд произведения в том же такте. Поэтому в этой схеме требуется двойная точность сумматора и РгА. Рассмотрим пример умножения, приняв следующие значения операндов: А=-0.1101, В=-0.1011. В соответствии с изложенным выше, коды операндов имеют вид:

[A]_o=11.0010 1111, [B]_o=1.0100. Процедура умножения в соответствии с алгоритмом (7) приведена в таблице 4.

Таблица 4 Умножение на ДСОК, схема 2

СМ	РгВ	СТ	Комментарии
11.1111 1111 +  11.0010 1111      11.0010 1110 +                      1       11.0010 1111	1.0100	4	СМ:=0, РгА:=[A]om|1111, РгВ:=[B]o, СТ:=4,
			SgB=1? Да Выполняем первую коррекцию. СМ:=СМ+РгА,
11.1001 0111	1 1.010	3	РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. Выполняем сдвиги. РгВ:=R(1)РгВ, СМ:=R(1)СМ, СТ:=СТ-1,
11.1100 1011 +  11.0010 1111 10.1111 1010 +                   1 10.1111 1011	11 1.01	2	СТ=0? НЕТ РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. Выполняем сдвиги. РгВ:=R(1)РгВ, СМ:=R(1)СМ, СТ:=СТ-1,
			СТ=0? НЕТ РгВ[4]=1? ДА СМ:=СМ+РгА,
11.0111 1101	111 1.0	1	Выполняем сдвиги. РгВ:=R(1)РгВ, СМ:=R(1)СМ, СТ:=СТ-1,
11.1011 1110   +00.1101 0000 00.1000 1110 +                      1 00.1000 1111	1111 1.	0	СТ=0? ДА Проверяем значение знака РгВ. РгВ[4]=1? ДА Выполняем коррекцию СМ:=СМ+Рг`А,

 

Ответ: [C]_o=00.1000 1111.

Примечания.

1. Так как при умножении всегда получается двойная точность результата, которой соответствует двойная точность сумматора, переполнение разрядной сетки не возникает. Однако в схеме 2 используется модифицированный код, так как переполнение разрядной сетки может возникать в частичных произведениях, которое устраняется при последующем сдвиге сумматора вправо.  Во всех остальных схемах умножения применение модифицированного кода не требуется.
2. Схема 2 умножения  является единственной, в которой  при умножении в дополнительном коде может использоваться сумматор одинарной точности. При этом, как видно из приведенной выше примера, младшие разряды произведения накапливаются в старших разрядах регистра множителя и сдвигаются вместе с ним, так что старшие разряды в конце операции умножения находятся в сумматоре, а младшие в регистре множителя. При умножении в обратном коде применение такого приема невозможно, так как при умножении в обратном коде единица переноса из знакового разряда сумматора должна подсуммироваться в младший разряд суммы.  Поэтому при умножении по схеме 2 на ДСОК используется сумматор двойной точности и модифицированный код.

Умножение двоичных чисел с фиксированной  запятой на ДСДК, схема 3

Схема Горнера в этом случае имеет  вид:

[C]_д = [A]_д (b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n-1)=( [A]_{д *2}^-n)  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ)=

=[A ^‘]_д*  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ)=

=SgB([ `A ^‘]_д+b₁([A ^‘]_д 2^n-1)+b₂([A ^‘]_д 2^n-2 )+…+b_n-1([A ^‘]_д 2)+b_n [A ^‘]_д

(8)

Из выражения (8) следует, что 

1. множимое в начале выполнения операции сдвигается на n разрядов вправо; поэтому регистр А должен иметь двойную точность;
2. при  умножении на отрицательный множитель выполняется одна коррекция в конце выполнения операции умножения;
3. разряды  множителя анализируются, начиная с младшего разряда;
4. множимое в каждом цикле умножения сдвигается на один разряд влево.

Пример. Пусть А=0,1101, В=-0,1011. С учетом сказанного выше. РгА после сдвига на n-4 разряда влево содержит  число 0,0000 1101, [B]_д =1.0101. Процедура выполнения умножения приведена в таблице 5.

Таблица 5 Умножение на ДСДК, схема 3

СМ	РгА	РгВ	СТ	Комментарии
0.0000.0000	0.0000.1101	1.0101	4	СМ:=0, РгА:= [A ‘]д, РгВ:= [В]д, СТ:=4,
+0.0000.1101 0.0000.1101				РгВ[4]=1? ДА СМ:=СМ+РгА,
	0.0001 1010	-1.010	3	СТ=0? НЕТ РгА:=L(1) РгА, РгВ:=R(1)РгВ, СТ:=СТ-1,
	0.0011 0100	--1.01	2	РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. Выполняем сдвиги РгА и РгВ и  декремент счетчика.
0.0000 1101 +0.0011 0100 0.0100 0001				РгВ[4]=1? ДА СМ:=СМ+РгА,
	0.0110 1000	---1.0	1	СТ=0? НЕТ РгА:=L(1) РгА, РгВ:=R(1)РгВ, СТ:=СТ-1,
	0.1101 0000	----1.	0	РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. Выполняем сдвиги РгА  и РгВ и декремент счетчика.
0.0100 0001 +1.0011 0000 1.0111 0001				СТ=0? ДА Проверяем значение знака  В. Так как SgB=1, выполняем коррекцию. СМ:=СМ+Рг`А,

 

Ответ: [C]_д=1.0111 0001. Или в естественной записи  С=-0.1000 1111.

Умножение двоичных чисел с фиксированной  запятой на ДСОК, схема 3

Схема Горнера в этом случае имеет  вид:

[C]_о = [A]_о (b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n-SgB +SgB 2^-n)=

( [A]_{o *2}^-n)  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ + SgB)=

=[A ^‘]_o*  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ + SgB)=

=SgB([ `A ^‘]_o 2ⁿ + b₁([A ^‘]_o 2^n-1)+b₂([A ^‘]_o 2^n-2 )+…+b_n-1([A ^‘]_o 2)+b_n [A ^‘]_o +SgB [A]_o.

(9)

Из (9) заключаем, что в этом случае вначале выполняется коррекция +SgB[A]_o, а затем все происходит так же, как в предыдущем примере. Пример выполнения умножения приведен в таблице 6.

Таблица 6 Умножение двоичных чисел на ДСОК, схема 3

СМ	РгА	РгВ	СТ	Комментарии
1.1111 1111 +1.1111 0010 1.1111 0001 +               1 1.1111 0010	1.1111 0010	1.0100	4	СМ:=0, РгА:= [A’]o, РгВ:=[B]o, СТ:=4,
				SgB=1?ДА Выполняем первую коррекцию. СМ:=СМ+РгА,
	1.1110 0101	-1.010	3	РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. СТ=0? НЕТ РгА:=L(1) РгА, РгВ:=R(1)РгВ, СТ:=СТ-1,
	1.1100 1011	--1.01	2	РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. СТ=0? НЕТ РгА:=L(1) РгА, РгВ:=R(1)РгВ, СТ:=СТ-1,
1.1111 0010 +1.1100 1011 1.1011 1110				РгВ[4]=1? ДА СМ:=СМ+РгА, здесь уже  подсуммирована единица, спадающая со знакового разряда.
	1.1001 0111	---1.0	1	СТ=0? НЕТ РгА:=L(1) РгА, РгВ:=R(1)РгВ, СТ:=СТ-1,
	1.0010 1111	----1.	0	РгВ[4]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. СТ=0? НЕТ РгА:=L(1) РгА, РгВ:=R(1)РгВ, СТ:=СТ-1,
1.1011 1110 +0.1101 0000 0.1000 1111				СТ=0? ДА РгВ[4]=1 ДА Выполняем вторую коррекцию  СМ:=СМ+Рг`А, Конец. В сумматоре  находится результат умножения.

 

Умножение двоичных чисел с фиксированной  запятой на ДСДК, схема 4

Схема Горнера в этом случае имеет  вид:

[C]_д = [A]_д (b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n-1)=( [A]_{д *2}^-n)  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ)=

=[A ^‘]_д*  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ)=

=b_n[A’]_д + 2(b_n-1[A’]_д + … + 2(b₁[A’]_д + 2(SgB [`A’]_д + 0))…)

(10)

Пример. Пусть А=-0.1101, В= - 0.1011. Процесс вычислений приведен в таблице 7.

Таблица 7 Умножение двоичных чисел с фиксированной запятой на ДСДК, схема 4

СМ	РгВ	СТ	Комментарии
0.0000 0000 +0.0000 1101 0.0000 1101	1.0101	4	СМ:=0, РгА:=[A’]д , РгВ:=[B]д, СТ:=4,
			SgB=1? ДА Коррекция: СМ:=СМ+Рг`А,
0.0001 1010	0101 1.		СМ:= R(1) CM, РгВ:=СдвЦ L(1) РгВ, (циклический сдвиг),
0.0011 0100	101 1.0	3	РгВ[0]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. СТ=0? НЕТ СМ:= R(1) CM, РгВ:=СдвЦ L(1) РгВ, (циклический сдвиг), СТ:=СТ-1,
0.0011 0100 +1.1111 0011 0.0010 0111			РгВ[0]=1 ДА СМ:=СМ+РгА,
0.0100 1110	01 1.01	2	РгВ[0]=1? НЕТ Пропускаем такт подсуммирования. СТ=0? НЕТ СМ:= R(1) CM, РгВ:=СдвЦ L(1) РгВ, (циклический сдвиг), СТ:=СТ-1,
0.1001 1100 +1.1111 0011 0.1000 1111	1 1.010	1	РгВ[0]=1 ДА СМ:=СМ+РгА,
		0	СТ:=СТ-1,
			СТ=0? ДА Выход из цикла. Результат умножения на сумматоре,  С=0.1000 1111.

 

 

Умножение двоичных чисел с фиксированной  запятой на ДСОК, схема 4

Схема Горнера в этом случае имеет вид:

[C]_о = [A]_о (b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n-SgB +SgB 2^-n)=

( [A]_{o *2}^-n)  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ + SgB)=

=[A ^‘]_o*  (b₁2^n-1+b₂ 2^n-2+…+b_n-1 2+b_n –SgB 2ⁿ + SgB)=

= SgB [A’]_o +b_n[A’]_o+2(b_n-1[A’]_o+…+2(b₁[A’]_o+ 2(SgB([ `A ^‘]_o +0))…).

(11)

Пример Примем А=-0.1101, В=-0.1011.  Тогда [A’]_o=1.1111 0010, [B]_o=1.0100. Микрооперации, выполняемые при умножении, представлены в таблице 8.