Автор: Пользователь скрыл имя, 08 Декабря 2010 в 00:01, реферат
Счисление, нумерация, - это совокупность приемов представления натуральных чисел. В любой системе счисления некоторые символы ( слова или знаки ) служат для обозначения определенных чисел, называемых узловыми, остальные числа ( алгоритмические ) получаются в результате каких – либо операций из узловых чисел. Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических, а с появлением письменных обозначений числовых символов системы счисления стали различаться характером числовых знаков и принципами их записи.
1. История развития систем счисления. 2
2. Двоичные системы счисления 6
3. Двоичная арифметика 10
4. Формы представления чисел с фиксированной и плавающей запятой. 13
5. Сложение чисел с фиксированной запятой. 16
6. Сложение чисел с плавающей запятой. 16
7. Умножение чисел с фиксированной запятой. 17
8. Умножение чисел с плавающей запятой. 18
9. Прямой, обратный и дополнительный коды. Модифицированный код. 20
1011101
*1001101
1011101
Искомый результат: 110111,1111001
Тот же результат получим, начиная умножение со старших разрядов множителя:
1011101
*1001101
1011101
1011101
1011101
1011101
1011101
1101111111001
ДЕЛЕНИЕ. Деление чисел в двоичной системе производится аналогично делению десятичных чисел. Рассмотрим деление двух целых чисел, так как делимое и делитель всегда могут быть приведены к такому виду путем перениесения запятой в делимом и делителе на одиноаковое число разрядов и дописывания неоюходимых нулей. Деление начинается с того, что от делимого слева отделяется минимальная группа разрядов, которая, рассматриваемая как число, превышает или равна делителю. Дальнейшие действия выполняются по обычным правилам, прием последняя целая цифра частного получается тогда, когда все цифры делимого исчерпаны.
Пример. Разделить =1101,11 на =10111.
1101110 0111
-10111 100,1100
100100
-10111
11010
-10111
Остаток
1100
Пример. Разделить =10001,111 на =11,01
-11010 101,1
100111
-11010
11011
-11010
00000
Искомый результат 101,1
Таким образов, выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления достаточно просто. Особенно просто выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Благодоря этому, применение двоичной системы в вычислительных машинах позволяет упростить схемы устройств, в которых осуществляются операции над числами.
Формы
представления чисел
с фиксированной и плавающей
запятой.
При представлении числа в двоичном коде с цифрами 0,1 в каждом разряде записываются цифры 0 или 1. Так как в ЦВМ «запись» числа осуществляется с помощью технических устройств, то для представления его в такой форме необходимо располагать устройствами с двумя надежно различными состояниями, которым могут быть сопоставлены значения 0 или 1. Комбинация таких устройств, число которых соответствует количеству разрядов записываемого числа, может быть использована для представления чисел в ЦВМ.
В качестве таких устройств, могут быть использованы триггеры. Набор триггеров, предназначенных для представления чисел в ЦВМ, а также для выполнения над ними некоторых логических преобразований, называется регистром. Разумеется, число разрядов, отведенное для записи числа, соответствующее числу триггеров, в ЦВМ всегда конечно. Выбор количества разрядов для представления чисел в ЦВМ является одним из самых ответственных этапов конструирования вычислительной машины и обуславливается целым рядом требований, среди которых одно из важнейших – необходимая точность вычислений.
В
ЦВМ используют две формы представления
чисел: естественную и полулогарифмическую.
Числа
с фиксированной запятой.
Числа
с фиксированной запятой. При
этой форме обычно запятая, отделяющая
целую часть числа от ее дробной
части, фиксируется перед старшим
разрядом модуля числа.
… |
Знаковый разряд
Место запятой
Таким образом, значение модуля числа всегда оказывается меньше единицы. Это условие путем выбора определенных масштабных коэффициентов должно выполнятся для исходных данных задачи и всех промежуточных результатов вычислений.
При
занесении числа в ячейку памяти
свободные младшие разряды
Если число имеет целую часть, то для ее хранения в разрядной сетке места нет, она теряется, число в разрядной сетке оказывается ошибочным.
Достоинство
представления чисел в форме
с фиксированной запятой
Недостатки
– в необходимости выбора масштабных
коэффициентов и в низкой точности представления
с малыми значениями модуля ( нули в старших
разрядах модуля приводит к уменьшению
количества разрядов, занимаемых значащей
частью модуля числа ).
Числа
с плавающей запятой.
Для
научно – технических расчетов необходимо
представлять числа в широком диапазоны
и с достаточно большой точностью. Указанным
требованиям отвечают числа с плавающей
запятой.
m m – 1
… | … |
Знак
числа
Число состоит из мантиссы, старший разряд которой определяет знак числа, и порядка со знаком. Значение модуля мантиссы представляется двоичным дробным числом, т. е. запятая фиксируется перед старшим разрядом модуля мантиссы, порядок представляется целым числом. Порядок указывает действительное положение запятой в числе. Код в приведенном формате представляет значение числа в полулогарифмической форме: , где М и П мантисса и порядок числа.
Точность
представления значений зависит
от количества значащих цифр мантиссы.
Для повышения точности числа
с плавающей запятой
Нормализованные двоичные числа с плавающей запятой представляют значения модуля в диапазоне
где - максимальное значение модуля порядка.
Так, при p=7 -1= =63 и диапазон представления модулей нормализованных чисел
,
Таким образом, диапазон чисел от до .
Для расширения диапазона представляемых чисел при фиксированной длине разрядной сетки ( m+p ) в качестве основания системы счисления выбирается . При этом число, представляемое в разрядной сетки, приобретает значения . Нормализованная мантисса 16 – ричного числа с плавающей запятой имеет значения, лежащее в диапазоне .Признаком нормализации такого числа является наличие хотя бы одной единицы в четырех старших разрядах модуля мантиссы. Диапазон представления чисел в этом случае существенно расширяется, находясь при том же количестве разрядов в пределах от до .
Рассмотрим
погрешность представления
.
Предельная
относительная погрешность –
отношение абсолютной погрешности
к числу при минимальном
.
Отсюда видно, что точность представления чисел определяется количеством разрядов, отводимых в разрядной сетке под мантиссу.
В
современных ЭВМ числа с
Алгебраическое сложение чисел с фиксированной запятой в цифровых машинах может производиться в одном из машинных кодов: прямом, дополнительном или обратном. Чаще всего используется либо дополнительный, либо обратный код. При этом знаковый разряд и цифровая часть числа рассматривается как единое целое, в результате чего с отрицательными числами машина оперирует как с положительными, независимо от того, представлены ли они в виде правильных дробей или в виде целых чисел. Главное достоинство дополнительного и обратного кодов заключается в том, что правильный знак суммы получается автоматически в процессе суммирования знаковых цифр операндов и цифры переноса из соседнего младшего разряда. В случае возникновения единицы переноса из знакового разряда суммы ее нужно отбросить при сложении в дополнительном коде и прибавить к младшему разряду суммы при сложении в обратном коде (т. е. произвести циклический перенос единицы переполнения).
Алгебраическое сложение много разрядных чисел обычно организуется как регулярный процесс, состоящий из n одинаковых операций поразрядного сложения вычитания, где n- количество разрядов в каждом из операндов).
При этом в зависимости от знаков слагаемых возможны четыре случая:
1) Х1 > 0, Х2 > 0, Х3 = Х1 + Х2 > 0;
2) Х1 > 0, Х2 < 0, Х3 = Х1 + Х2 > 0;
3) Х1 > 0, Х2 < 0, Х3 = Х1 + Х2 < 0;
4) Х1 < 0, Х2 < 0, Х3 = Х1 + Х2 < 0;