Шпаргалка по "Информатике"

 

Метод прогонки. При  решении практических задач получаются системы, матрицы которых содержат много нулей, то говорят, что система  имеет слабо заполненную матрицу. Эти нули обычно располагаются массивами  в определённых местах матрицы.

 

Если применить  к таким системам метод Гаусса, то нулевые элементы будутвовлечены в вычислительныйпроцесс, что не желательно. Поэтому, созданы специальные  методы, позволяющие обходить нулевые  элементы. Одним изтаких методов  является метод прогонки, он применяется  к системам с ленточной матрицей.

 

x2= u2х3+ v1, полученное выражение х2 в 3 -е уравнение, чтобы исключить х2 и т.д., то на i-ом шаге исключения получим формулу:

 

Прямые методы. Формула  Крамера

 

Ах+В

 

Хi=Δ\Δi , i=1, n

 

Δ- определитель матрицы. Δi - определитель матрицы, получаемой заменой i--го столбца матрицы столбцом из свободных членов:

 

2х+3y=7 -x+4y=3 Формула Крамера при небольших n требует приблизительно nn!- операций.

 

Наиболее распространённым среди прямых методов является метод  исключения Гаусcа. Метод приводит к значительно меньшему объёму вычислений, чем формула Крамера. Метод Гаусcа состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход - это приведение матрицы системы к верхнему треугольному виду, иначе говоря, система преобразуется т.о., чтобы исключить х1 из всех уравнений кроме 1-го, х2- из всех кроме 1-го и 2-го. Для этого делим 1-ое уравнение на а11, умножаем на аi1 и вычитаем из i-го уравнения системы.i=2,3…n.

 

В результате, из всех кроме 1-го уравнения исключается  х1, затем с помощью 2-го х2 и т.д.

 

 

- это треугольная матрица. Теперь обратный ход, непосредственного вычисления неизвестных.

 

Из n-го уравнения  находим хn: полученное значение в xn подставляем в (n-1) , откуда находим x(n-2) и т.д. Метод Гаусса требует выполнения 2/3n^3 - операций. 
 
 
 
 
 
 

 

40. Итерационные методы  решения СЛАУ.

 

 

 

 

41. Методы простой  итерации и Зейделя  для решения систем  нелинейных уравнений.

 

 

 

 

 
 

 

42. Метод Ньютона  для решения систем нелинейных уравнений.

 

 
 
 
 
 

 

43. Аппроксимация функций.  Постановка задачи  и способы ее  решения.

 

 

 

 

 

44. Интерполяцинные  многочлены Лагранжа.

 

 

 
 
 
 
 
 

 

45. Интерполяционные  многочлены Ньютона.

 

 

 

 

46. Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.

 

 

 

 

47. Формулы численного  интегрирования. Формулы  прямоугольников  и трапеций.

 

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура

) — вычисление  значения определённого интеграла

(как правило, приближённое). Под численным интегрированием  понимают набор численных методов 

отыскания значения определённого интеграла.

 

Численное интегрирование применяется, когда:1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки. 2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, f(x) = exp( − x²).

 

В этих двух случаях  невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

. Также возможна  ситуация, когда вид первообразной  настолько сложен, что быстрее  вычислить значение интеграла  численным методом.

 

Формулы прямоугольников Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке  . Этот отрезок делится точками  на   равных отрезков длиной   Обозначим через   значение функции   в точках   Далее составляем суммы   Каждая из сумм — интегральная сумма для   на   и поэтому приближённо выражает интеграл

 

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

 

выражает площадь  ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также  называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые  делится отрезок  , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

 

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников: 

 

где  Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

 Метод трапеций

 

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать 

прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

 

Площадь трапеции на каждом отрезке:

 

Погрешность аппроксимации  на каждом отрезке:

 

 где  Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

 

 где 

 

Погрешность формулы  трапеций:  где   

 

48. Формулы численного интегрирования. Формула Симпсона. Правило Рунге.

 

(метод Симпсона

)

 

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид .

 Если разбить  интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем где  .

 

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов

.

 

Основная идея (для методов Рунге-Кутты 

решения ОДУ

) состоит в вычислении  приближения выбранным методом  с шагом h, а затем с шагом  h/2, и дальнейшем рассмотрении  разностей погрешностей для этих  двух вычислений.

 

Интеграл вычисляется  по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при  числе шагов, равном n, а затем  при числе шагов, равном 2n. Погрешность  вычисления значения интеграла при  числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге: 
, для формул прямоугольников и трапеций  , а для формулы Симпсона  . 
Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов  , где n₀ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие  , где ε — заданная точность. 
 

 

49. Численное диффиренцирование.  Конечно-разностная  аппроксимация производных.

 

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной 

дискретно заданной функции. В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация 

функции, от которой  берется производная, интерполяционным многочленом

. Все основные  формулы численного дифференцирования  могут быть получены при помощи  первого интерполяционного многочлена Ньютона 

(формулы Ньютона  для начала таблицы).

 

Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы  численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в  общем виде следующим образом:

 

 

где   — погрешность формулы. Здесь коэффициенты   и   зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице

 

Погрешность вычисляется  по формуле

 

 где h — шаг сетки, а точка ξ расположена где-то между i-тым и (i + n)-тым узлами. Примером может служить известная формула (n = 2) . При n = 1 формула может быть получена и из определения производной. Эта формула известна под названием формулыдифференцирования вперед. Формулы «в конце таблицы» могут быть представлены в общем виде в которых коэффициенты   берутся из уже приведенной таблицы. В частности, при n = 1 получается известная формула дифференцирования назад. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

50. Математические системы.  Mathcad.

 

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса системавтоматизированного проектирования

, ориентированная  на подготовку интерактивных  документов с вычислениями и  визуальным сопровождением, отличается  легкостью использования и применения  для коллективной работы.

 

Mathcad был задуман  и первоначально написан Алленом Раздовом^[3] 

изМассачусетского технологического института 

(MIT), соучредителем  компанииMathsoft

, которая с 2006 года 

является частью корпорации PTC 

(Parametric Technology Corporation).

 

Mathcad имеет простой  и интуитивный для использования  интерфейс пользователя. Для ввода  формул и данных можно использовать  как клавиатуру, так и специальные  панели инструментов.

 

Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебрыMaple 

(MKM, Maple Kernel Mathsoft). Начиная с 14 версии — использует символьное ядро MuPAD

.

 

Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором  уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой  записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG 

(What You See Is What You Get — «что видишь, то и получаешь»).

 

Несмотря на то, что  эта программа в основном ориентирована  на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных  проектах, чтобы визуализировать  результаты математического моделирования