Решения дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ»

 

 

 

 

 

 

 

Зав. кафедрой_____________________                                                                                  В.Г. За д.ф.–м.н., проф.,

                                (подпись)                                                        

 

 Студент__________________________                                      

                                (подпись)                                                                                                                              

                

                   Руководитель______________________                                                                                                                                   В.Г. Задорожний

                                (подпись)                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Старый Оскол 2011 г.

 

Оглавление

1. Введение……………………………………………………………….3
2. Постановка задачи……………………………………………….……4
3. Переход к детерминированной задаче………………..……………..5
4. Численное решение задачи………………………….………………..7
5. Алгоритм решения…………….………………………………….......8
6. Заключение…………………………………………………………….9
7. Список литературы…………………………………………………..10
8. Приложение……………………………….….………..……..………11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

        Математи́ческое ожида́ние — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей.

 В данной работе  мы будем рассматривать дифференциальное  уравнение второго порядка, где  один из коэффициентов – случайный   процесс, т. е. процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения.

Мы получим формулу  для нахождения математического  ожидания решения дифференциального  уравнения второго порядка. Так  же будем искать численное решение, используя разностный метод.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Постановка задачи

Рассмотрим задачу:

                  (1)

Где t – время, с – численная константа, - случайный процесс.

                        (2)

(2) – начальные условия  для задачи(1).

                  (3)

(3) - характеристический функционал.

Требуется найти математическое ожидание M(x(t)) решения задачи (1,2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переход к детерминированной  задаче

Введем в рассмотрение

            (4)

Умножим (1) на и возьмем математическое ожидание от результата. Получим:

 

 

 

Получим уравнение:

 

Уравнение (2) домножим на и возьмем математическое ожидание от результата. Получим:

 

С учетом замены (4) получим  начальные условия для уравнения (5)  в виде:

                          (6)

Мы получили детерминированную  задачу (5), (6). Теперь избавимся от комплексного коэффициента.

Положим и введем Y(t,=y(t,.

Y(t,=y(t,=M(x(t)).

 

Получили уравнение:

 

 

 

Начальные условия примут вид:

                           (8)

Таким образом, мы получили детерминированную задачу (7) с начальными условиями (8), которую будем решать разностным методом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Численное решение  задачи

Пусть

 

 

 

 

 

 

Выпишем уравнение (7):

 

Получим:

 

Выпишем соответственно начальные  условия (8):

 

 

Требуется найти 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм решения  задачи

1. Вводим  М(х0), М(х1), τ, h, t0,T.

Определяем характеристический функционал .

2. N= – число точек(целое число)

Создаем массив

 

3. Вычисляем , 0≤m≤N-1  по формуле:

 

4. Вычисляем , 0≤m≤N-1  по формуле:

 

5. Вычисляем , 0≤m≤N-1  по формуле:

 

 Вычисляем все последующие  Y по этой формуле.

 

6. Выводим массив

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной работе мы исследовали дифференциальное уравнение второго порядка со случайным коэффициентом. Вывели формулу расчета   математического ожидания решения этого уравнения. Получили алгоритм решения данной задачи.  Используя программу, реализованную в пакете прикладных программ Maple, нашли ее численное решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. В.Г. Задорожний «Методы вариационного анализа». – М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006.-316с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

> restart;

> M(x[0]):=200:M(x[1]):=0:tau:=0.009:h:=0.05:t[0]:=0:T:=evalf(2):N:=round((T-t[0])/tau);c:=1/20:

> Y1:=array(0..N):Y2:=array(0..N):Y3:=array(0..N):Y00:=array(0..N):b:=array(0..1,[-8,1]): p:=array(0..1,[2/3,1/3]):A:=array(0..1):

> print("Znachenie sluchaynoy velecheni"); for i from 0 to 1 do print(b[i]); end do;

> print("Veroaytnost'"); for i from 0 to 1 do print(p[i]); end do;

> for i from 0 to 1 do A[i]:=int(b[i],z); end do:

> phi(z):=exp(I*A[0])*p[0]+exp(I*A[1])*p[1];

> for m from 0 to N-1 do Y1[m]:=M(x[0])*eval(phi(z),z=I*m*h);end do:Y00[0]:=Y1[0]:

 

> for m from 0 to N-1 do Y2[m]:=Y1[m]+tau*M(x[1])*eval(phi(z),z=I*m*h);end do:Y00[1]:=Y2[0]:

 

> k:=2:for m from 0 to N-2 do Y3[m]:=evalf(Y2[m]*2-(c*tau^2/h)*Y1[m+1]+((c*tau^2/h)-1)*Y1[m]);end do: Y00[2]:=Y3[0]:

 

> pris1:=proc() global Y1,Y2,Y3,N; local i,j;for j from 0 to N+2-k do Y1[j]:=Y2[j]:end do:for i from 0 to N+1-k do Y2[i]:=Y3[i]:end do:end proc:

 

> ddd:=proc() global N,Y1,Y2,k,tau,h,Y3; local m;for m from 0 to N-k do Y3[m]:=evalf(Y2[m]*2-(c*tau^2/h)*Y1[m+1]+((c*tau^2/h)-1)*Y1[m]):end do:end proc:

 

> vvv2:=proc() global N,k,Y2; local j;for j from 0 to N+1-k do print(Y2[j]):end do; end proc:

> vvv1:=proc() global N,k,Y1; local i;for i from 0 to N+2-k do print(Y1[i]):end do; end proc:

 

> for k from 3 to N do pris1():ddd(): Y00[k]:=Y3[0]:end do:

 

> for i from 0 to N do TT[i]:=t[0]+tau*i;end do:

> plot([seq([TT[u],Y00[u]],u=0..N)]);