Курсовая  работа 
 

На тему: 
 
 

«Решение  математических задач  с использованием программного пакета MathCad» 
 
 
 
 
 
 
 

Краснодар 2011 
 
 

     Выполнил: Студент ФМиКН

                                                                                                   Гр. 26 Гимп Д.А.   
1. Краткие теоретические сведения 

     Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка: 

     y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y^’, y^’’… y^(n-1)) 

     Общее решение этого уравнения зависит  от n-произвольных постоянных.

     Точное  решение дифференциального уравнения  может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.

     Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального  уравнения y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y^’, y^’’… y^(n-1)) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.

     Если  решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают  конечный отрезок ряда. Например, пусть  требуется найти решение дифференциального  уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀) = y₀, причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀, y₀). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: 
 

     y (x) – y (x₀) =  

     Коэффициенты  A_k ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х₀.

     К численным методам относятся  методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях  аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).

     Если  a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a^* называют величину Д(а^*), которая определяется следующим образом: 

     |a^*-a| ≤ Д(a^*) 

     Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом: 

     |(a^*-a)/ a^* | ≤ д(a^*) 

     Таким образом, эти две погрешности  связаны между собой: 

     д(a^*) = Д(a^*) / |a^*| 

     Относительную погрешность часто выражают в  процентах. Числа a^* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой. 

2. Дифференциальное уравнение

 

     Получить  точное решение дифференциального  уравнения вручную, операторным  методом, приближенное решение с  помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.

     Дано:

     2x''+5x'=29cos t

     x(0)= -1

     x'(0)=0

2.1 Точное решение операторным методом

 

     Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал.

     Продифференцируем левую часть уравнения:

     2x''+5x'=5*(s²*X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0))

     Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим:

     x''-3x'+2x= 2*(s²*X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s²+5s)+s*2+5

     Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа

     

     Найдем  значение изображения:

     Given 

       

       

     Сопоставим  изображению оригинал: 

       

     Найдем  значения функции, построим её график: 

       

     

     дифференциальный уравнение эйлер операторный

2.2 Приближенное решение с помощью рядов

 

       

     Запишем функцию в виде ряда: 

       

     Найдем  производные первого и второго  порядков от этой функции: 

       

     Разложим  в ряд правую часть уравнения: 

       

     Полученные  ряды подставим в исходное уравнение: 

       

     Найдем  значения коэффициентов

     

     

     

     

     

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       

     Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции: 

       

     

     

2.3 Численное решение методом Эйлера

 

     Перепишем условие следующим образом:

     x'=z

     z'+ 5z=29cos t

     z'=29cos t ^– 5z

     Задаём  начальные данные:

     

       

       

     Находим значение x и x'

       

       

     Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график.

2.4 Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка

 

     Определяем  функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции: 
 

       

       

     

     

     

     2.5 Расчет погрешности  приближенного и  численных методов

 

     Таблица 1 – Значения функции

 

     Таблица 2 – Локальная, абсолютная и относительная  погрешность