Реконструкція атракторів

Міністерство освіти і  науки, молоді та спорту України

Львівський національний університет імені Івана Франка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реконструкція атракторів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконала: студентка групи ПМі-33                       Гордієнко Іванна

Викладач: Вовк В.Д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Львів 2012

Зміст

1. Вступ
2. Загальні відомості про динамічні системи та їх атрактори
3. Метод затримок
4. Метод послідовного диференціювання
5. Висновки
6. Список використаної літератури

 

Вступ

Динамічна система – це множина взаємопов’язаних елементів, що розвивається з плином часу. Прикладом  динамічної системи можна вважати  будь-які фізичні процеси. Сукупність станів елементів системи в певний момент часу називається станом системи. Особливістю динамічної системи  є її детермінованість: знаючи стан системи в деякий момент теоретично можна передбачити її поведінку в майбутньому.

Чимало систем в природі можна дослідити лише експериментально, тому часом неможливо визначити стан абсолютно всіх елементів системи. Таким чином виникає проблема: як компенсувати цю нестачу даних? Яким чином можна передбачити зміну станів системи, якщо початкові дані неповні?

Відповідь на це питання  дають методи реконструкції атракторів динамічних систем. З їх допомогою  стає можливим з достатньою точністю відтворити задану систему.

В цьому рефераті розповідається, що таке атрактор, що саме нам дасть його реконструкція. Будуть описані найпоширеніші методи проведення реконструкції атракторів, такі як метод затримок та метод послідовного диференціювання. Також будуть розглянуті основні проблеми, що виникають при використанні методів, переваги та недоліки кожного з них. Під кінець підіб’ємо підсумки та зробимо висновки з цієї теми.

 

Загальні відомості про динамічні системи та їх атрактори

У кожної динамічної системи  є певний набір пов’язаних між собою елементів, кожен з яких може змінюватись. Таким чином стан системи в певний момент можна записати як вектор з деяких чисел, що відображатимуть стан певного елемента. Всі такі вектори будуть належати до певного n-вимірного простору. Побудуємо систему координат для цього простору і зобразимо в ній точки станів системи при різних значеннях часу. Впорядковану за часом множину цих точок назвемо траєкторією, по якій рухається система, яка буде графіком функції станів F=(x₁(t), x₂(t),…, x_d(t)). Оскільки тут ми зосередимось на системах, всі дані про які отримуємо експериментально, час доведеться розглядати як дискретну величину: t_k = k*Dt, де k – натуральне число.

Атрактор – це певна множина точок фазового простору, до якої збігається функція станів системи.

Для прикладу розглянемо такий  процес. Відпустимо в повітрі будь-який предмет. Він підкориться законам  фізики і рано чи пізно торкнеться підлоги. Отже в цій системі атрактором слугуватиме підлога приміщення, в якому ми знаходимось. 

Нехай на столі розсипані залізні ошурки. Якщо ми піднесемо до них магніт, він притягне їх і стане атрактором в системі. Проте для цього магніт слід піднести достатньо близько, щоб ошурки потрапили в область притягання цього атрактора.

Рисунок 1

Атрактори можуть бути точками, лініями, поверхнями, чи навіть складними фрактальними структурами. На рисунку 1 зображено графік атрактора Лоренца, який належить до останнього виду. Тут X, Y та Z це елементи динамічної системи, яку описує цей атрактор.

 

Задача реконструкції  атрактора полягає в тому, щоб, маючи відомості лише про один з елементів динамічної системи, наближено відтворити весь її атрактор.

Рисунок 2

Розглянемо залежність будь-якого  з елементів системи від часу. Для Х атрактора Лоренца вона відображена на рисунку 2. Це будуть вхідні дані для задачі реконструкції. Позначимо цей графік a(t). Отже вся наша задача зводиться до того, щоб певним чином задати функцію станів реконструйованого атрактора F_R=(x₁(t), x₂(t),…, x_n(t)), кожне x_i(t) виразивши через a(t). Це стає можливим через те що в динамічній системі існує внутрішня структура та зв’язки між станами різних її елементів.

Реконструкція атрактора  дає змогу створити загальне уявлення про систему, яку ми розглядаємо. Оскільки в результаті роботи магніту  ошурки пристануть до нього, то в багатьох випадках нам буде неважливо, де саме вони були до того. Зате реконструювавши  атрактор ми дізнаємось поточне розташування ошурок. Результатом реконструкції (який позначимо як А_R) не стане справжній атрактор системи (позначимо його як А). Геометричну форму А в фазовому просторі буде втрачено, проте отримана структура буде настільки близька до нього за своїми властивостями, що цим можна знехтувати.

 

Метод затримок

Метод затримок – це найпоширеніший спосіб проведення реконструкції атракторів. Його основою є теорема, доведена Флорисом Такенсом в 1981році. Теорема стверджує, що, маючи одномірну реалізацію динамічної системи, тобто , можна отримати реконструкцію А_R вихідного атрактора А розмірністю d, яка буде задаватись наступним чином:

 
При цьому отримане відображення R: A® A_R буде гладким і оборотним для більшості значень τ , а n > 2d + 1

Рисунок 3

Розглянемо цей процес детальніше. Вся реконструкція зводиться  до відшукання набору функцій x. За беремо саму . Графік кожної наступної функції точно повторюватиме , лише з невеликим зсувом τ, як це видно на рисунку 3.

На практиці виникає дві основних проблеми: вибір затримки τ та вибір нової розмірності n.

Рисунок 4

Згідно з теоремою Такенса, τ можна взяти довільне. Проте насправді це не цілком так. Якщо τ взяти надто мале, то аргументи функції F відрізнятимуться дуже мало, таким чином при τ®0 графік атрактора виродиться в пряму. При надто великих значеннях τ реконструйований атрактор перестане відображати реальну динаміку в системі. Це видно і з рисунка 4, на якому зображено двовимірні проекції реконструкцій атрактора Лоренца при τ=0.02 та τ=0.74.

Рисунок 5

Вирішення цієї проблеми запропонували  Ендрю Фрейзер та Гаррі Свінні в 1986 році. Вони дослідили автокореляційну функцію ψ(τ₀) = (a(t) * a(t + τ₀)) і експериментальним шляхом виявили, що «ідеальним» τ для реконструкції стане таке τ₀, при якому ψ(τ₀) досягне свого першого локального мінімуму. На рисунку 5 показано графік автокореляційної функції для атрактора Лоренца. Також видно, що першого свого мінімуму функція набуває при τ₀=0.16. Це значення найкраще обирати для проведення реконструкції.

Розмірність простору d, в якому знаходиться оригінальний атрактор, фактично вказує, скільки в динамічній системі є елементів, які впливають на її розвиток. На практиці це визначити нелегко, адже можна не врахувати якоїсь обставини. Виникає питання, скільки функцій слід знайти, адже зсувати початкову функцію a(t) можна безмежну кількість разів. Теорема Такенса говорить, що реконструйований атрактор слід розглядати в просторі з розмірністю n > 2d+1, але оскільки d нам невідоме, то з цієї формули визначити n не вийде.

Цю проблему можна вирішити з допомогою методу Кеннела-Абарбанела, також відомо мого як метод усування фіктивного сусідства. Суть методу полягає в наступному. Спершу проводимо реконструкцію атрактора в деякому простору з невеликою розмірністю. Тоді проводиться перевірка, чи сусідні точки в отриманому вимірі розмірності k залишаться сусідніми і в вимірі k+1. Якщо таке справджується для всіх точок, то розгортання атрактора завершено, інакше переходимо в простір з розмірністю k+1.

 

Метод послідовного диференціювання

Як і метод затримок, метод послідовного диференціювання  пропонує спосіб задати з використанням функції a(t). За теж беремо саму , а, на відміну від попереднього методу, за кожне брати . Отримаємо наступне: . Залишається актуальною проблема вибору розмірності простору n, яку можна вирішити з допомогою методу Кеннела-Абарбанела, розглянутого раніше.

Рисунок 6

Метод послідовного диференціювання  має суттєвий недолік порівняно  з методом затримок: він не підходить  для реконструкції атракторів, що знаходяться в просторах з  великою розмірністю. Проблема полягає в тому, що час задано як дискретну величину. Отже і значення функції відоме лише в цих точках, тому похідну неможливо знайти традиційними способами диференціювання функцій. Щоб обчислити використовують чисельні методи диференціювання. Вони базуються на заміні функції a(t) інтерполяційним поліномом, тобто деякою вже аналітично заданою неперервною функцією, яка в точках t_k = k * Dt набуває того ж значення, що й a(t). Найчастіше використовують інтерполяційний многочлен Ньютона. Однак задача чисельного диференціювання є некоректно поставленою, тому що збіг значень вихідної та функції, що інтерполює, у t_k ще не означає збігу в проміжних точках. На рисунку 6 бачимо якусь вихідну функцію f(x) та інтерполяційний многочлен P_n(x), що в множині точок перетинає її. Як бачимо з рисунку, кутові коефіцієнти дотичних до цих двох функцій в першій з точок перетину, які рівні похідним функцій в цій точці дуже відрізняються. Таким чином при диференціюванні ми кожного разу отримаємо похибку, яка спершу може бути й невеликою, проте на наступних кроках зросте настільки, що може повністю спотворити структуру нашого атрактора. Саме тому метод послідовного диференціювання застосовують значно вужче, ніж метод затримок.

Висновки

Таким чином ми дізнались, що реконструкція атрактора дає  на перший погляд абсолютно неймовірну можливість: з високою точністю відтворити ціле з його частини. Щоправда, лише за тієї умови, що ми можемо впевнено сказати, що перед нами динамічна система, адже лише їй характерні міцні внутрішні зв’язки між елементами.

Для проведення реконструкції  до наших послуг методи затримки, послідовного диференціювання. Метод затримок полягає в постійному додаванні до аргументу вихідної функції a(t) сталої τ, яку можна визначити методом Фрейзека-Свінні. Метод послідовного диференціювання передбачає диференціювання a(t) з використанням чисельних методів диференціювання, зокрема інтерполяційного многочлена Ньютона. Визначити розмірність простору, в якому слід розглядати реконструйований атрактор, дає нам змогу метод Кеннела-Абарбанела.

Оскільки при використанні другого з методів виникають  небажані похибки, на практиці варто  застосовувати метод затримок.

Між реконструйованим та оригінальним атрактором існуватиме бієкція, тобто кожна точка з справжнього атрактора матиме відповідну точку з реконструйованого. Результат реконструкції матиме всі ті ж математичні властивості.

Реконструкцію атрактора  можна застосувати в численних  галузях. Зокрема цим методом можна приблизно прогнозувати події, також вчені використовують його в роботі над зменшенням рівня шуму, покращенням способів передачі інформації, контролем над хаосом.

 

Список використаної літератури

1. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой (Анищенко В.С. Знайомство з нелінійною динамікою) – Москва:УРСС , 2008 – 171 с.
2. Vorlesung “Methoden der Datenanalyse” (Лекція «Методи аналізу даних») // www.inf.uos.de
3. Chaotic Time Series Analysis (Аналіз хаотичних часових рядів) // www.physics.emory.edu
4. Chaotic Attractor Reconstruction (Реконструкція хаотичних атракторів) // www.node99.org
5. James C. Robinson “Takens’ theorem for dynamical systems” (Робінсон Дж. С. Теорема Такенса для динамічних систем) // www2.warwick.ac.uk