Расчет жесткого стержня

 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра ССМиК 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по курсу «Информатика»

«Расчёт жёсткого стержня» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил:

студент

группы 320092

Савин Е.В.

Проверил:

к.т.н.,доц.Теличко  В.Г. 
 
 
 
 
 

2010

    Задание.

    Разработать алгоритм и составить программу  вычислений опорных реакций жесткого стержня (балки), организовать проверку полученных значений опорных реакций  и построить таблицу значений ординат эпюр поперечной силы Q и изгибающего момента M. В точках соединения участков балки провести вычисления Q и М по формулам смежных участков.

    Вариант 82-6и, схема 3.

    Численный метод решения СЛАУ – итераций. 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Исходные  данные

    q1=5 кН/м             P2=50 кН                c1=2 м

    q2=10 кН/м           M1=45 кН*м            c2=3 м

    q4=10 кН/м                                           L1=10 м

                                                                  L2=10 м 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Построение  системы линейных алгебраических уравнений  для определения опорных реакций.

     

    Преобразуем исходную схему нагружения балки, освободимся  от опорных стержней и заменим  их опорными реакциями. 

                                   

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рассмотрим  равновесие балки. Запишем уравнения равновесия балки относительно опорных точек, сумма моментов относительно опорной точки балки равна нулю. 

q1*c1*c1/2-q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2+M1-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)+R1*0+R2*0-R3*L2=0

q1*c1*(L1-c1/2)+M1+q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)-R1*(L1-c1)+R2*0-R3*L2=0

q1*c1*(L1-c1/2)+M1+ q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2+P2*c2+q4*c2*c2/2-R1*(L1-c1)+R2*L2+R3*0=0 

      Представим  уравнения равновесия балки в  форме системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

-R1*0-R2*0+R3*L2=q1*c1*c1/2-q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2+M1-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)

R1*(L1-c1)-R2*0+R3*L2=q1*c1*(L1-c1/2)+M1+q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)

-R1*(L1-c1)+R2*L2+R3*0=-q1*c1*(L1-c1/2)-M1- q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*c2-q4*c2*c2/2 

      Матричная форма записи СЛАУ вычисления опорных реакций балки

      A*R=B 

      A – матрица коэффициентов при неизвестных,

      R – матрица неизвестных,

      B – матрица свободных членов. 

                  0         0     L2                            R1

      A=    L1-c1     0      L2                    R=   R2

            -(L1-c1)   L2      0                             R3 

                 q1*c1*c1/2-q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2+M1-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)

      B=   q1*c1*(L1-c1/2)+M1+q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)

                 -q1*c1*(L1-c1/2)-M1- q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*c2-q4*c2*c2/2 

      Вывод рабочих формул проверки достоверности  вычисления опорных реакций. 

      Для проверки правильности вычисления опорных  реакций используем уравнения равновесия балки, сумма проекций всех сил действующих  на балку равна нулю. 

      Y = -q1 * c1 + R1 - q2 * (L1 - c1)

      X = -R2 - P2 - R3 - q4 * c2 

      Вывод рабочих формул определения внутренних усилий стержня. 

                   

           

 
 

      Численный метод решения СЛАУ. 

      Численный метод простых итераций относится  к приближённым методам решения  системы линейных алгебраических уравнений.

      Отличительной особенностью определения итераций по методу простых итераций является то, что при нахождении i-й компоненты k+1-го приближения используется только k-ые приближения.

      В методе простых итераций для определения очередной итерации используется следующая формула 
 

      Ri^(k+1)= Ri^(k)- ,  i=1,2,…,n,   k=0,1,2,… .

      Где k – порядковый номер приближения решения.

      Метод простых итераций требует задание  начального приближения решения  СЛАУ, например Ri⁽⁰⁾=0,  i=1,2,…,n.

      Итерационный  процесс уточнения решения СЛАУ методом простых итераций следует  прекратить, если выполняется условие, модуль разности между k+1-ым приближением и k-ым приближением i-й компоненты меньше заданной точности поиска решения,

      

      Ограничение по применению численного метода простых  итераций.

      В решаемой СЛАУ у матрицы А все  диагональные элементы не должны быть равны нулю, , i=1,2,…,n,

      Обоснование применения численного метода

      Исходная  СЛАУ имеет на главной диагонали  элементы, равные нулю,

      А11=0, А22=0, А33=0,

      Следовательно метод простых итераций применять  нельзя.

      Использование численного метода простых итераций для решения построенной СЛАУ возможно после её преобразования. Для этого необходимо применить к СЛАУ схему выбора элементов. В исходной СЛАУ переставим уравнения местами:

      первое  уравнение поставим на третье место,(А33=L2),

      второе  уравнение поставим на первое место,(А11=L1-с1),

      третье  уравнение поставим на второе место,(А22=L2).

      В результате на главной диагонали  матрицы А отсутствуют члены, равные нулю, для улучшения сходимости итерационного процесса желательно, чтобы матрица А была диагонально  преобладающей: 

      

   i=1,2,…,n,

      Преобразованная СЛАУ имеет вид 

                 L1-c1     0      L2                        R1

      A=    -(L1-c1)   L2      0                 R=   R2

                    0         0    L2                        R3 

            

             q1*c1*(L1-c1/2)+M1+q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2)

     B=      -q1*c1*(L1-c1/2)-M1- q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2-P2*c2-q4*c2*c2/2

                  q1*c1*c1/2-q2*(L1-c1)*(L1-c1)/2+M1-P2*(L2-c2)-q4*c2*(L2-c2/2) 

                     

      Диагональные  элементы матрицы А равны:

      А11= L1-с1, А22= L2, А33= L2. 

      Условия применения метода простых итераций выполняются, следовательно метод  простых итераций для поиска решения  преобразованной СЛАУ применять можно.

ПРОГРАММА.

CLS

N = 3

DIM A(N, N), R(N), B(N), Z(N)

PRINT TAB(10); "Исходные данные"

INPUT "Интенсивность распределённой нагрузки q1 (Н/м)"; q1

INPUT "Интенсивность распределённой нагрузки q2 (Н/м)"; q2

INPUT "Интенсивность распределённой нагрузки q4 (Н/м)"; q4

INPUT "Сосредоточенная сила                                 P2(кН)"; P2

INPUT "Изгибающий момент                            M1(Н*м)"; M1

INPUT "Отрезок балки                                           с1(м) "; c1

INPUT "Отрезок балки                                           с2(м) "; c2

INPUT "Пролёт балки                                                   L1(м)"; L1

INPUT "Пролёт балки                                                   L2(м)"; L2

INPUT "Точность вычисления опорных реакций              E"; E

A(1, 1) = L1 - c1:      A(1, 2) = 0:     A(1, 3) = L2

A(2, 1) = -(L1 - c1):    A(2, 2) = L2:    A(2, 3) = 0

A(3, 1) = 0:                 A(3, 2) = 0:     A(3, 3) = L2

B(1) = q1 * c1 * (L1 - c1 / 2) + M1 + q2 * (L1 - c1) * (L1 - c1) / 2 - P2 * (L2 - c2) - q4 * c2 * (L2 - c2 / 2)

B(2) = -q1 * c1 * (L1 - c1 / 2) - M1 - q2 * (L1 - c1) * (L1 - c1) / 2 - P2 * c2 - q4 * c2 * c2 / 2

B(3) = q1 * c1 * c1 / 2 - q2 * (L1 - c1) * (L1 - c1) / 2 + M1 - P2 * (L2 - c2) - q4 * c2 * (L2 - c2 / 2)

 Z(1) = 0: Z(2) = 0: Z(3) = 0   'начальное приближение решения

10 K = 0              'метод простых итераций

 FOR I = 1 TO N

  R(I) = -B(I)

  FOR J = 1 TO N: R(I) = R(I) + A(I, J) * Z(J): NEXT J

  IF ABS(R(I) / A(I, I)) >= E THEN K = 1

  R(I) = Z(I) - R(I) / A(I, I)

 NEXT I

 FOR I = 1 TO N: Z(I) = R(I): NEXT I

IF K = 1 THEN 10

PRINT "Опорные реакции балки”

FOR I = 1 TO N

  PRINT USING "R(#)=#####.##кН”;I; R(I)

NEXT I

R1 = R(1): R2 = R(2): R3 = R(3):

Y = -q1 * c1 + R1 - q2 * (L1 - c1)

X = -R2 - P2 - R3 - q4 * c2

IF ABS(Y) > .0001 OR ABS(X) > .0001 THEN

  PRINT "Ошибка вычисления опорных реакций"

  PRINT "Y="; Y; "X="; X

  SLEEP: GOTO 100

END IF

SLEEP

CLS

PRINT "                  Таблица ординат эпюр Q и M"

PRINT "     S        Q        M       QЇ       MЇ"

FOR S = 0 TO L1 + L2

 IF 0 <= S AND S < c1 THEN

  Q = -q1 * S

  M = q1 * S * S / 2

  GOTO 20

 END IF

 IF S = c1 THEN

  Q = -q1 * S

  M = q1 * S * S / 2

  QQ = -q1 * c1 - q2 * (S - c1) + R1

  MM = M1 + q1 * c1 * (S - c1 / 2) - R1 * (S - c1) + q2 * (S - c1) * (S - c1) / 2

  GOTO 30

 END IF

 IF c1 < S AND S < L1 THEN

  Q = -q1 * c1 - q2 * (S - c1) + R1

  M = M1 + q1 * c1 * (S - c1 / 2) - R1 * (S - c1) + q2 * (S - c1) * (S - c1) / 2

  GOTO 20

 END IF

 IF S = L1 THEN

  Q = -q1 * c1 - q2 * (S - c1) + R1

  M = M1 + q1 * c1 * (S - c1 / 2) - R1 * (S - c1) + q2 * (S - c1) * (S - c1) / 2

  QQ = -R2

  MM = q1 * c1 * (L1 - c1 / 2) - R1 * (L1 - c1) + q2 * (L1 - c1) * (L1 - c1) / 2 + M1 + R2 * (S - L1)