Построение математической модели с помощью регрессионного анализа

    В этой же точке расчетное значение по уравнению регрессии, получается подстановкой табличных значений x_ib х_й,..., х* в уравнение (8):

У_т = ^ао + ^а_х^хп + ^а2^ха + - ^{+ а}тЧ • <*>

    Тогда сумма квадратов отклонений экспериментальных  средних значений отклика от расчетных значений по уравнению регрессии по всем точкам

    i = 1,..., п равна

п

^S = ХОЧ- - ^ао - ^ai^xn - - - ад*²)² • (10) 1=1

    Далее ставится задача нахождения таких коэффициентов  ао, ..., а_т , которые обеспечивают минимум суммы (10). Для их определения необходимо решить систему линейных уравнений

ds ds as

   = 0,  = 0,..., = 0 . (И)

да₀ сЦ да_т

    Система (11) называется системой нормальных уравнений  и содержит т+1 уравнение с т+1 неизвестной и в случае ее совместности имеет единственное решение.

    Рассмотрим  в качестве примера получение  системы нормальных уравнений для  уравнения

У_пр =a_ú+a_lx_l+a₂x₂+a₃x_l².

    В этом случае формула (10) примет вид (в  этом примере 2 означает суммирование по i от 1 до п)

S = £ (У_ср~ а₀ - а_х *_п - а₂х_а - а₃хц²)².

dS/düQ = Е (У_ср~ а₀ - а_{ х_п- а₂х_п -а_ъхп ) =0

2

    Тогда получим систему (11) в виде

2

dS/da_x = Е (у_ср - а₀ - а_х Хц - a₂x_i2 - а^х_и ²) хц =0

¿БШг = 2 (У_СР(~ «о - - «2^2 - ² ) х_а = О

    = 2 {УсрГ ^а0 - ^а\*п - ^а2*\2 - «3^1²) Хц² = 0 .

После преобразования система нормальных уравнений примет вид а₀п + а{£х_хХ + + а?£хц² =Ъу_ср,

    + а{£хп² + х_йх_п+ а&х^ = 1.у_ср1хц а₍Хх_а + а-£х-_йх_й + а₂Ъхл + а_ъЪх_{2х_{² = Иу_{р1х_а а₀1 х_п² + а^ хп + а₂Ъх_{2х₁² + а&хи⁴ = Ъу_ср1х_у² .

    Формула (8) предполагает решение задачи расчета  коэффициентов уравнения регрессии  для полного полинома второй степени  от К переменных. На практике число переменных К не превышает 2-5, а само уравнение, чаще всего, не является полным полиномом, т.е. в уравнении отсутствуют вторые степени и парные произведения для некоторых переменных, что значительно упрощает решение системы (11).

    Так, в курсовом расчете рассматривается построение двухфакторной модели, т.е. К = 2, и уравнение (8) принимает вид

у_пр = а₀ + а_хх_х + а₂х₂ + а_ъх_хх₂ + а_лх_г² + а₅х₂² ,

    при этом в зависимости от варианта задания  в уравнении могут отсутствовать некоторые слагаемые (вторые степени или произведение переменных).

    1.4 Оценка адекватности модели

    Заключительным  этапом регрессионного анализа является проверка адекватности (соответствия) полученной модели реальному процессу. Проверка адекватности сводится к статистическому  сравнению дисперсии воспроизводимости и величины, характеризующей ошибку приближения экспериментальных данных значениями, полученными по уравнению регрессии. Последняя оценивается дисперсией адекватности, показывающей средний квадрат отклонения табличных значений отклика от значений, полученных по уравнению регрессии:

    В формуле (12) у_пр1 -это приближенное значение отклика в 1 -ой

точке, полученное по найденному уравнению регрессии. Для количественной оценки адекватности полученной модели используется критерий Фишера

йср

    Расчетная величина Б сравнивается с табличным  значением Р_р(А, $2) при уровне значимости Р = 0,05 (см. табл. 2 Приложения 3). При этом числа степеней свободы равны

/¡=п-т-1 , /г = п(д-1) .

    Если  Б оказывается меньше Р_р , то полученная модель достаточно точно описывает экспериментальные данные, в противном случае модель не соответствует данным эксперимента и следует попытаться подобрать для нее другой вид, например, включая дополнительные нелинейные (относительно неизвестных) слагаемые.